Die Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler innerhalb eines Mathematik-Pluskurses oder einer Mathematik AG der Mittelstufe geeignet. Die verwendete POV-Ray-Software steht kostenfrei zur Verfügung. Geometrische Argumentationsaufgaben wechseln sich mit POV-Ray-Aufgaben zur Veranschaulichung der Ergebnisse ab. Der Schwierigkeitsgrad steigt von Aufgabe zu Aufgabe. Während der Arbeit an den POV-Ray-Konstruktionen ist eine Internetverbindung hilfreich, da die Schülerinnen und Schüler dann stets auf Online-Manuals zu POV-Ray zugreifen oder sich bei Problemen Hilfe über eine Suchmaschine holen können.
Platonische Körper und dichteste Kugelpackungen
Unterrichtseinheit
Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist eine Kugel im Raum, aus der durch geschicktes Aufsetzen von sechs Kegelhütchen ein neuartiger Körper mit interessanten Eigenschaften entsteht. Die Konstruktion führt schließlich zu den Platonischen Körpern, der Frage nach dichtesten Kugelpackungen und Euklid, der in der Tradition von Platons Sicht der Mathematik steht.
- Mathematik / Rechnen & Logik / Informatik / Wirtschaftsinformatik / Computer, Internet & Co.
- Sekundarstufe I
- mindestens 4 Stunden
- Arbeitsblatt, Lernkontrolle, Projekt, Software, entdeckendes Lernen
- 1 Arbeitsmaterial
Beschreibung der Unterrichtseinheit
Didaktisch-methodischer Kommentar
Die Schülerinnen und Schüler müssen mit dem Satz des Thales und dem Satz des Pythagoras vertraut sein und bereits Kegel im Unterricht behandelt haben. Ausgehend von der Betrachtung einer Kugel im Raum klären sie die ersten geometrischen Überlegungen durch die Anfertigung von geeigneten Schnittbildern. Dadurch werden Probleme der räumlichen Geometrie auf elementargeometrische Fragestellungen in der Ebene reduziert. Parallel wird das kostenlose 3D-Programm POV-Ray zur Visualisierung herangezogen. Als Grundlage dafür wird die Datei "basis.pov" zur Verfügung gestellt, welche einen Hintergrund, eine geeignete Kameraperspektive und eine Lichtquelle erzeugt. Darauf aufbauend sollen die Lernenden mithilfe geeigneter POV-Ray-Funktionen ("sphere", "cone" oder "cylinder") den betrachteten Körper sukzessive zusammenbauen und darstellen. Die Datei "basis.pov" ist so vorgefertigt, dass sich schnell erste Erfolgserlebnisse einstellen. Zudem werden auch die Lösungs-Codes zur Verfügung gestellt.
- Themen und Verlauf der Unterrichtseinheit
Die Schülerinnen und Schüler erstellen mit POV-Ray Konstruktionen zu den Themen Verpackung einer Kugel im Oktaeder, dichteste Kugelpackung und Platonische Körper. - Hinweise zu einigen Teilaufgaben und Materialien
Kommentare zu ausgewählten Teilaufgaben der Unterrichtseinheit
Download
- platon_koerper_kugelpackung.zip
Arbeitsblätter, Grafiken der POV-Ray-Konstruktionen und die Datei "basis.pov" als Grundgerüst für die Konstruktionsaufgaben mit POV-Ray in einem Rutsch
Im Classroom-Manager speichern
Vermittelte Kompetenzen
Die Schülerinnen und Schüler sollen
- ihr räumliches Vorstellungsvermögen trainieren.
- erkennen, dass zur Lösung räumlicher Lageprobleme oft elementargeometrische Überlegungen in geeigneten Schnittebenen ausreichen.
- ein 3D-Programm (hier POV-Ray) zur grafischen Erzeugung von einfachen und zusammengesetzten Körpern erfolgreich bedienen können.
- anhand eines mathematikhistorischen Originaltextes einen Beweis nachvollziehen.
- anhand eines mathematikphilosophischen Originaltextes Einblick in eine mögliche (die platonische) Sichtweise auf die Mathematik gewinnen.
- durch die Recherche über eine aktuelle mathematische Problemstellung einen Eindruck von der Entwicklung mathematischen Wissens (beziehungsweise mathematischer Wahrheiten) bekommen.
- weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten.
Internetadresse
- POV-Ray-Homepage
Informationen zur kostenfreien Raytracing-Software in englischer Sprache; hier können Sie die Software auch herunterladen.
Zusatzinformationen
- Andreas Filler: 3D-Computergrafik und die Mathematik dahinter
Einführung in die Erstellung fotorealistischer Bilder mit Raytracing-Software und Beispielaufgaben zur Visualisierung von Objekten der Analytischen Geometrie
- Friedrich A. Lohmüller: POV-Ray-Tutorial
Hier finden Sie neben deutschsprachigen Anleitungen zum Einsatz von POV-Ray eindrucksvolle Raytraycing-Galerien mit vielen Grafiken und auch Filmen.
- Wikibooks: Raytracing mit POV-Ray
Das Wikibook soll Leser in die Lage versetzten, eigene Szenen in POV-Ray zu schreiben und Bilder aus 3D-Szenen berechnen zu lassen.
Kurzinformation zum Unterrichtsmaterial
| Thema | Geometrie mit POV-Ray - Platonische Körper und dichteste Kugelpackungen |
|---|---|
| Autor | Prof. Dr. Matthias Brandl |
| Fach | Mathematik (Informatik) |
| Zielgruppe | Mathematik-Pluskurs, Mathematik AG, begabte Schülerinnen und Schüler der Mittelstufe |
| Zeitraum | mindestens 4 Stunden |
| Technische Voraussetzungen | ein Computer pro Person oder Schülergruppe, möglichst mit Internetanschluss |
| Software | POV-Ray (kostenfreier Download aus dem Internet) |
Literatur
Filler, A., Rieper, F.
3D-Computergrafik … und die Mathematik dahinter, Verlag Jutta Pohl, Remchingen, 2007Filler, A.
Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik in den Mathematikunterricht der Sekundarstufe II im Stoffgebiet Analytische Geometrie, Habilitationsschrift, 2007Platon
Der Staat, deutsch von Rudolf Rufener, dtv München, 4. Auflage, 2004Euclides
Die Elemente: Bücher I-XIII / von Euklid, aus dem Griechischen übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer mit einem Vorwort von W. Trageser, Reprint, 2. Auflage - Thun; Frankfurt am Main: Deutsch, 1996
ANZEIGE
