Systematisches Zählen und stochastisches Denken

Unterrichtsablauf

• Einführung: Kombinatorik mit Legosteinen

  Permutation ohne Wiederholung mit Legosteinen

  Die Schülerinnen und Schüler erhalten drei Legosteine in den Farben rot, gelb und grün mit dem Auftrag, daraus Türme zu bauen. Innerhalb eines Turmes dürfen sich die Farben nicht wiederholen (Permutation ohne Wiederholung). Diese Aufgabenstellung bietet einen guten Einstieg in das systematische Abzählen von Möglichkeiten, da sich hier nur sechs Möglichkeiten für unterschiedliche Türme ergeben.

  Erweiterung der Aufgabenstellung

  Die Kinder erhalten einen vierten Legostein in blauer Farbe und sollen nun alle möglichen Vierertürme mit unterschiedlichen Farbkombinationen ermitteln. Es gilt weiterhin, dass sich die Farben innerhalb eines Turmes nicht wiederholen dürfen. Durch den vierten Legostein erhöht sich die Zahl der möglichen Türme auf 24. Ist die Lösung bei der Einstiegaufgabe auch mit unsystematischem Probieren schnell zu finden, ist für die erfolgreiche Ermittlung der vollständigen Anzahl an Möglichkeiten in dieser Erweiterungsaufgabe schon systematisches Probieren erforderlich.

  Dokumentation der Ergebnisse

  Die Dokumentation der Ergebnisse erfolgt in dieser Einstiegssequenz zunächst nur handschriftlich in Form von Zeichnungen oder mithilfe von farbigen Papierrechtecken, die als Türme aufgeklebt werden können.

  Einzel-, Gruppenarbeit

• Erarbeitung I: Geburtstagsfeier mit Luftballons

  Permutation ohne Wiederholung mit Luftballons

  Analog zur Aufgabe mit Legosteintürmen sollen in dieser Sequenz alle Möglichkeiten gefunden werden, vier Luftballons nebeneinander an eine Schnur zu knoten. Die analoge Struktur (lediglich Richtungswechsel und Materialwechsel) zur Legosteinaufgabe ist bewusst gewählt. Der Lernzuwachs aus der vorangegangenen Sequenz kann bereits bei der Problemstellung deutlich werden, in dem die Lernenden schon vor der Bearbeitung der Aufgabenstellung ihre Vermutungen über die Anzahl der Möglichkeiten äußern und schlüssig begründen.

  Dokumentation

  Zudem werden die Schülerinnen und Schüler in dieser Stunde den Computer als Möglichkeit zur Dokumentation ihrer Ergebnisse kennen lernen, sodass die Aufgabenstellung an sich durch die Einbeziehung des neuen Mediums nicht zu komplex sein darf. Der Schwerpunkt dieser Sequenz liegt somit auf der Gestaltung einer übersichtlichen und systematisch geordneten Dokumentation aller gefundenen Möglichkeiten, vier Luftballons mit Hilfe des Computers an die Schnur zu knoten.

  Präsentation der Ergebnisse

  Die Präsentation der Ergebnisse kann über einen Beamer erfolgen, sodass alle Ergebnisse gewürdigt und die jeweiligen systematischen Aufstellungen durch die Lernenden erläutert und begründet werden können.

  1 bis 2 Unterrichtsstunden

  Plenum

• Erarbeitung II: Plättchenmuster

  Variation ohne Wiederholung

  In der Folgesequenz wird ein neuer kombinatorischer Aspekt durch die gewählte Aufgabenstellung thematisiert. Vier Plättchen sollen nebeneinander in eine Reihe gelegt werden, wobei in diesem Fall nur zwei Farben (Rot und Blau) zur Verfügung stehen und die Anzahl der roten und blauen Plättchen in der Viererreihe beliebig sein kann. Diese Variation mit Wiederholung erfordert eine modifizierte systematische Zählweise und führt zu einer erweiterten Einsicht in kombinatorische Aufgabenstellungen, die spätestens im Rahmen der Reflexion über die gefundene Anzahl an Möglichkeiten erkannt und verbalisiert werden sollte.

  Dokumentation

  Die Schülerinnen und Schüler dokumentieren ihre Ergebnisse erneut am Computer und stellen sie ihren Mitschülern über den Beamer vor.

  1 bis 2 Unterrichtsstunden

  Plenum, Partnerarbeit

• Erarbeitung III: Schulfrühstück

  Kombination ohne Wiederholung

  Ausgehend von der Sachsituation "Schulfrühstück" wird nun ein weiterer kombinatorischer Aspekt ins Zentrum der mathematischen Auseinandersetzung gerückt. Ein fiktives Kind möchte aus einem Obstkorb mit sechs verschiedenen Obstsorten für sein Schulfrühstück zwei Obstsorten auswählen. Zu ermitteln ist in diesem Fall, wie viele unterschiedliche Kombinationsmöglichkeiten sich zusammenstellen lassen. Hierbei handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholung, da es nicht erlaubt ist, zweimal dieselbe Obstsorte zu wählen.

  Mehrwert des Computereinsatzes

  Besonders bei dieser Aufgabenstellung zeigt sich der Mehrwert des Computers bei der Dokumentation der Ergebnisse, da sich die gefundenen Möglichkeiten schnell und in ansprechender Gestalt festhalten lassen. Das Zeichnen aller Möglichkeiten in Form von Freihandzeichnen der Obstsorten würde im Vergleich dazu sehr aufwändig sein. Zudem lässt die Arbeit am Computer nachträglich das Umordnen der gefundenen Möglichkeiten zu, um so eine geordnete systematische Aufstellung zu erhalten.

  1 bis 2 Unterrichtsstunden

  Plenum, Partnerarbeit

• Erarbeitung IV (optional): Eigene Aufgabenstellung

  Gestalten eigener kombinatorischer Aufgabenstellungen

  Je nach Lerngruppe kann sich an die beschriebenen Unterrichtssequenzen eine weitere vertiefende Arbeit anschließen. Auf der Grundlage der Auseinandersetzung mit den ausgewählten Aufgaben können die Mädchen und Jungen nun eigene Aufgabenstellungen entwickeln und dazu auf dem Computer Arbeitsblätter für ihre Mitschüler gestalten.

  Differenzierungsmaterial

  Als Differenzierungsmaterial kann die Lehrperson den Kindern aus alltagsrelevanten Sachbereichen, beispielsweise Kleidung, Blumenstrauß oder Knopfreihe an einer Jacke in Form von Gegenständen oder als Grafiken vorbereitete Hilfen zur Verfügung stellen, damit auch leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler diese anspruchsvolle Aufgabe bewältigen können.

  Die Kinder bearbeiten ihre selbst erstellten Aufgaben

  Die Schülerinnen und Schüler tauschen die fertigen Arbeitsblätter untereinander aus und bearbeiten die Aufgaben. Dies kann am Computer erfolgen, alternativ drucken die Kinder die Aufgaben aus und bearbeiten sie handschriftlich. Die gesamte Lerngruppe bearbeitet ausgewählte Arbeitsblätter und kann diese auch einer Parallelklasse zur Verfügung stellen. Mit den Arbeitsblättern kann darüberhinaus eine Arbeitskartei für die Klasse zusammengestellt werden, die in der Freiarbeit zum Einsatz kommt.

  Einzel-, Partnerarbeit