Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten selbstständig anhand eines YouTube-Videos das Skalarprodukt und die damit verbundenen mathematischen Eigenschaften. Vertieft wird dieses Wissen durch verschiedene Aufgaben, die nach dem "Flip the Classroom"-Prinzip strukturiert sind. Die Schülerinnen und Schüler lernen im – vom Autoren produzierten – YouTube-Video "Skalarprodukt" , wie das Skalarprodukt definiert ist. Das Arbeitsblatt führt in das mathematische Beweisen anhand der Eigenschaften des Skalarprodukts ein. In Aufgabe 1 zeigen die Lernenden durch Ausmultiplizieren, dass die Kommutativität für das Skalarprodukt gilt. Sie lernen, dass ein einzelnes Beispiel zwar eine Aussage veranschaulichen kann, jedoch kein allgemeiner Beweis ist. Daher beweisen sie diese Eigenschaft auch allgemein. In Aufgabe 2 wird die mathematische Aussage überprüft, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren stets positiv sei. Die Schülerinnen und Schüler widerlegen diese Behauptung durch ein Gegenbeispiel. In Aufgabe 3 setzen sich die Lernenden mit dem "Beweis durch Widerspruch" auseinander und erarbeiten ein Beispiel anhand der Eigenschaften des Skalarprodukts. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik und wenden diese auf Anwendungsaufgaben an. werden in die mathematische Beweisführung eingeführt. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen das Internet eigenständig zur Vorbereitung auf den Unterricht. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler unterstützen sich gegenseitig beim gemeinsamen Lösen der Aufgaben.

In diesem Videokurs für den Mathematik-Unterricht der Oberstufe erlernen die Schülerinnen und Schüler die wichtigsten Grundlagen der Vektorrechnung, der Addition und Subtraktion von Vektoren, der Berechnung der Länge eines Vektors sowie der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Streckung).Die Schülerinnen und Schüler lernen diese Basistechniken der Vektorrechnung anhand einfacher Rechenaufgaben kennen, um sie zu automatisieren. Anwendungsbeispiele finden sich jeweils im zum Video passenden Lösungscoach. Darüber hinaus wird das Skalarprodukt behandelt, das Grundlage für alle räumlichen Winkelberechnungen in der Oberstufe ist.Im Video "Vektoren addieren und subtrahieren" lernen Schülerinnen und Schüler, wie sie Vektoren addieren und subtrahieren können, indem sie die gewöhnliche Addition von Zahlen auf die einzelnen Vektorkomponenten anwenden. Diese Technik wird in der Geometrie der Oberstufe immer wieder gebraucht. So liefert zum Beispiel die Subtraktion zweier Ortsvektoren den Verbindungsvektor der zugehörigen Punkte, über den der Abstand zweier Punkte im Raum berechnet werden kann. Der Betrag eines Vektors ist nichts anderes als seine Länge. In diesem Video lernen Schülerinnen und Schüler in knapp drei Minuten, wie sie die Länge eines Vektors mithilfe der Längenformel berechnen (dreidimensionale Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras aus der Mittelstufe). Diese Technik wird häufig im Zusammenhang mit Abstandsberechnungen benötigt. Das Skalarprodukt ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Die Multiplikation zweier Vektoren ergibt eine reelle Zahl. Das Skalarprodukt wird benötigt, um Winkel im Raum zu berechnen und um zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Die Schülerinnen und Schüler lernen anhand des Videos, die Formel für das Skalarprodukt am Beispiel einer einfachen Rechenaufgabe anzuwenden. Im Lösungscoach finden sich die Anwendungsbereiche des Skalarprodukts, wie etwa die Bestimmung eines Normalenvektors.

In diesem interaktiven Arbeitsmaterial geht es um Produkte von Vektoren sowie das Skalarprodukt von zwei Vektoren. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten dazu digitale Arbeitsblätter mit Visualisierungen durch GeoGebra sowie Übungen als Lernkontrolle.In diesem Arbeitsmaterial geht es um die Multiplikation von Vektoren. Anfangs wird kurz auf die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl eingegangen. Das sogenannte Vervielfachen eines Vektors wird koordinatenweise durchgeführt. Hingewiesen wird ebenfalls auf die Änderung des Richtungssinns des Vektors bei negativen Koeffizienten. Die Skalarmultiplikation wird ausführlicher erklärt, da hierbei auch auf die Orthogonalitätsbedingung für Vektoren eingegangen wird. Des Weiteren wird die Möglichkeit erläutert, anhand des Skalarproduktes den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen. Es folgen interaktive Übungen zur Anwendung des Gelernten. In den GeoGebra Animationen werden die Aspekte "Vervielfachen eines Vektors durch Multiplikation mit einer positiven Zahl", "Vervielfachen eines Vektors durch Multiplikation mit einer negativen Zahl (Richtungsumkehr)" und "Berechnen des Skalarprodukts und des eingeschlossenen Winkels" visualisiert. Die Lernenden können die Arbeitsblätter in Einzel- oder Paararbeit nutzen. Die im Material integrierten GeoGebra-Dateien stehen für Sie als Lehrkraft zusätzlich als Download zur Verfügung. So können die Dateien auch über die interaktiven Arbeitsblätter hinaus verwendet werden. Weitere Materialien des Autors zum Themenbereich Vektorrechnung finden Sie hier: Einführung des Vektorbegriffs Addition und Subtraktion von Vektoren Kreuzprodukt von Vektoren Spatprodukt von Vektoren Anwendung der Vektorrechnung Vorwissen und technische Voraussetzungen Bei der Einführung des interaktiven Arbeitsblattes sollte der Umgang mit GeoGebra erläutert werden, falls die Software den Lernenden nicht bekannt ist. Diese kann zum Beispiel mithilfe eines Beamers durchgeführt werden. Für die Nutzung der Übungen zur Einführung der Vektorrechung bedarf es Tablets oder Computer mit einer Internetverbindung, da die Informationstexte, Grafiken, Videos, Applets und 3D-Animationen in einer HTML-Seite eingebunden sind. Alle 3D-Konstruktionen (die mit dem 3D Rechner von GeoGebra erstellt worden sind) können mit der GeoGebra-App auch in Augmented Reality betrachtet werden. So kann man diese Konstruktionen direkt in den Klassenraum holen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler beherrschen die Vervielfachung eines Vektors mit einer reellen Zahl. bestimmen und interpretieren das Skalarprodukt zweier Vektoren. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Vektordarstellungen mithilfe des Computers oder Tablets. verwenden dynamische Geometriesoftware. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien).

In diesem Videokurs für den Mathematik-Unterricht in der Oberstufe lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie die Koordinatengleichung einer Ebene aufstellen, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor vorgegeben sind.Für Abstandsberechnungen und Winkelbestimmungen mit Ebenen sowie für die Berechnung des Schnittpunkts einer Ebene mit einer Gerade ist eine Koordinatengleichung der Ebene erforderlich. Neben Aufstellung der Koordinatengleichung werden ebenfalls die Ermittlung einer Ebenengleichung in Hesse’scher Normalform und die Umwandlung einer Ebenengleichung von Parameterform in Koordinatenform behandelt.In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie die Koordinatengleichung einer Ebene aufstellen - für den einfachsten Fall, bei dem bereits ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind. Sie lernen, wie die allgemeine Form einer Koordinatengleichung aussieht und lernen die Bedeutung des Normalenvektors kennen. Die Aufgabe wird in einen Sachzusammenhang eingebettet, die den Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Normalenvektors und den Koeffizienten der Koordinatengleichung verdeutlicht. Die Hesse’sche Normalform einer Ebene ist eine besondere Koordinatengleichung, bei der die Koeffizienten der Variablen zusammen einen Vektor der Länge 1 bilden. Das hat den Vorteil, dass man sehr leicht den Abstand eines beliebigen Punktes von der Ebene berechnen kann. Wie man diese im einfachsten Fall bestimmt (wenn bereits eine Koordinatengleichung vorliegt), zeigt dieses Video. Die Aufgabe "Umwandlung Parameterform in Koordinatenform" ist ein Klassiker im Abitur und wird üblicherweise mit Abstandsbestimmungen oder Winkelbestimmungen verbunden. Der wesentliche Schritt dabei ist die Bestimmung eines Normalenvektors der Ebene mithilfe des Skalarprodukts oder des Vektorprodukts. Das Video zeigt Schritt für Schritt, wie eine Ebene in Parameterform in die Koordinatenform umgewandelt wird.

Die Einführung des Spatproduktes von Vektoren wird in diesem Arbeitsmaterial durch GeoGebra 3D-Animationen unterstützt und damit die Anschaulichkeit erhöht.In diesem Arbeitsmaterial geht es um das Spatprodukt von Vektoren. Der Begriff des Spates (Parallelepiped) wird erklärt und der Zusammenhang zwischen Spatprodukt und dem Volumen des Parallelepipedes erläutert. Anhand einer Beispielrechnung wird die Bildung des Spatproduktes ausführlich dargestellt. In der GeoGebra 3D-Animation der Einführungsseite wird ein Parallelepiped visualisiert und zu den gegebenen Vektoren der Spat angezeigt. Durch die Betrachtungsmöglichkeit aus unterschiedlichen Perspektiven wird der Zusammenhang zwischen den Ausgangsvektoren und dem Spat sehr deutlich. Die Lernenden können die Arbeitsblätter in Einzel- oder Paararbeit nutzen. Die im Material integrierten GeoGebra-Dateien stehen für Sie als Lehrkraft zusätzlich als Download zur Verfügung. So können die Dateien auch über die interaktiven Arbeitsblätter hinaus verwendet werden. Weitere Materialien des Autors zum Themenbereich Vektorrechnung finden Sie hier: Einführung des Vektorbegriffs Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation von Vektoren und das Skalarprodukt Kreuzprodukt von Vektoren Anwendung der Vektorrechnung Vorwissen und technische Voraussetzungen Bei der Einführung des interaktiven Arbeitsblattes sollte der Umgang mit GeoGebra erläutert werden, falls die Software den Lernenden nicht bekannt ist. Diese kann zum Beispiel mithilfe eines Beamers durchgeführt werden. Für die Nutzung der Übungen zur Einführung der Vektorrechung bedarf es Tablets oder Computer mit einer Internetverbindung, da die Informationstexte, Grafiken, Videos, Applets und 3D-Animationen in einer HTML-Seite eingebunden sind. Alle 3D-Konstruktionen (die mit dem 3D Rechner von GeoGebra erstellt worden sind) können mit der GeoGebra-App auch in Augmented Reality betrachtet werden. So kann man diese Konstruktionen direkt in den Klassenraum holen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler beherrschen das Spatprodukt. berechnen das Volumen eines Parallelepipeds. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Vektordarstellungen mithilfe des Computers oder Tablets. verwenden dynamische Geometriesoftware. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien).

In diesem interaktiven Arbeitsmaterial dreht sich alles um die Addition und Subtraktion von Vektoren. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten dazu digitale Arbeitsblätter mit Visualisierungen durch GeoGebra sowie Übungen als Lernkontrolle.In diesem interaktiven Arbeitsmaterial geht es um die ersten Rechenoperationen mit Vektoren. Dazu wird zuerst das Prinzip der koordinatenweisen Addition der Vektoren erläutert. Die entsprechende geometrische Interpretation wird über eine 3D-GeoGebra-Datei veranschaulicht. Der zweite Schwerpunkt ist die Vektorsubtraktion. Diese basiert im Wesentlichen auf der Vektoraddition. Statt einen Vektor von einem anderen Vektor zu subtrahieren, wird nun der entgegengesetzte Vektor gebildet und dieser zum anderen Vektor addiert. Die hinterlegte GeoGebra-Datei zeigt analog zur Vektoraddition die geometrische Interpretation der Vektorsubtraktion. Die Lernenden können die Arbeitsblätter in Einzel- oder Paararbeit nutzen. Die im Material integrierten GeoGebra-Dateien stehen für Sie als Lehrkraft zusätzlich als Download zur Verfügung. So können die Dateien auch über die interaktiven Arbeitsblätter hinaus verwendet werden. Weitere Materialien des Autors zum Themenbereich Vektorrechnung finden Sie hier: Einführung des Vektorbegriffs Multiplikation von Vektoren und das Skalarprodukt Kreuzprodukt von Vektoren Spatprodukt von Vektoren Anwendung der Vektorrechnung Vorwissen und technische Voraussetzungen Bei der Einführung des interaktiven Arbeitsblattes sollte der Umgang mit GeoGebra erläutert werden, falls die Software den Lernenden nicht bekannt ist. Diese kann zum Beispiel mithilfe eines Beamers durchgeführt werden. Für die Nutzung der Übungen zur Einführung der Vektorrechung bedarf es Tablets oder Computer mit einer Internetverbindung, da die Informationstexte, Grafiken, Videos, Applets und 3D-Animationen in einer HTML-Seite eingebunden sind. Alle 3D-Konstruktionen (die mit dem 3D Rechner von GeoGebra erstellt worden sind) können mit der GeoGebra-App auch in Augmented Reality betrachtet werden. So kann man diese Konstruktionen direkt in den Klassenraum holen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler beherrschen die Addition von Vektoren. beherrschen die Subtraktion von Vektoren. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Vektordarstellungen mithilfe des Computers oder Tablets. verwenden dynamische Geometriesoftware. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien).

Dieses Arbeitsmaterial zur Vektorrechnung thematisiert die Anwendungen in der räumlichen Geometrie.Das Arbeitsmaterial "Anwendung" beinhaltet die interaktive Lösung eines Problems, das in der Praxis häufig vorkommt: die Berechnung des Flächeninhalts eine Dreiecks im Raum. Die Schülerinnen und Schüler werden schrittweise zur Lösung der Aufgabe geführt: Von der Erstellung der Ortsvektoren sowie der Richtungsvektoren des Dreieckes über die Berechnung des Kreuzproduktes bis hin zur Berechnung des Flächeninhaltes sind die Lernenden angehalten, die Aufgabe in kleineren Teilschritten selbstständig zu lösen. Die GeoGebra 3D-Animation zeigt auch hier wieder deutlich den Zusammenhang zwischen den Punktkoordinaten und dem Flächeninhalt des aufgespannten Dreiecks. Durch die Veränderung der Lage der Punkte wird simultan der entsprechende Flächeninhalt berechnet und angezeigt. Durch die freie Wahl der Lage der Dreiecksebene wird klar, dass diese Zusammenhänge wirklich für jedes räumliche Dreieck gelten müssen. Die Lernenden können die Arbeitsblätter in Einzel- oder Partnerarbeit nutzen. Die im Material integrierten GeoGebra-Dateien stehen für Sie als Lehrkraft zusätzlich als Download zur Verfügung. So können die Dateien auch über die interaktiven Arbeitsblätter hinaus verwendet werden. Weitere Materialien des Autors zum Themenbereich Vektorrechnung finden Sie hier: Einführung des Vektorbegriffs Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation von Vektoren und das Skalarprodukt Kreuzprodukt von Vektoren Spatprodukt von Vektoren Vorwissen und technische Voraussetzungen Bei der Einführung des interaktiven Arbeitsblattes sollte der Umgang mit GeoGebra erläutert werden, falls die Software den Lernenden nicht bekannt ist. Diese kann zum Beispiel mithilfe eines Beamers durchgeführt werden. Für die Nutzung der Übungen zur Einführung der Vektorrechung bedarf es Tablets oder Computer mit einer Internetverbindung, da die Informationstexte, Grafiken, Videos, Applets und 3D-Animationen in einer HTML-Seite eingebunden sind. Alle 3D-Konstruktionen (die mit dem 3D Rechner von GeoGebra erstellt worden sind) können mit der GeoGebra-App auch in Augmented Reality betrachtet werden. So kann man diese Konstruktionen direkt in den Klassenraum holen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler beherrschen die Addition von Vektoren. beherrschen die Subtraktion von Vektoren. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler interpretieren mithilfe des Computers räumliche Darstellungen mittels Vektorrechnung. führen mithilfe des Computers Körperberechnungen mittels Vektorrechnung durch. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien).

In diesem interaktiven Arbeitsmaterial dreht sich alles um das Kreuzprodukt von Vektoren. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten dazu digitale Arbeitsblätter mit Visualisierungen durch GeoGebra sowie Übungen als Lernkontrolle.Dieses Arbeitsmaterial widmet sich der auch als Kreuzprodukt bezeichneten Vektormultiplikation. Es wird gezeigt, wie man mithilfe der Sarruschen Regel und der Einheitsvektoren das Kreuzprodukt ermittelt. Die Erläuterungen dazu erfolgen kleinschrittig und mit Unterstützung eines Farbcodes. Sie führen zwingend zu der Erkenntnis, dass der Ergebnisvektor ein Normalenvektor für beide Operanden sein muss. Diese Erkenntnis wird dann auch gleich mittels der Orthogonalitätsbedingung für Vektoren überprüft. In der GeoGebra 3D-Animation wird die Eigenschaft des Ergebnisvektors – ein Normalenvektor zu sein – verdeutlicht, indem der Ergebnisvektor erzeugt und die Ebene der Ausgangsvektoren farbig markiert wird. Durch Schwenken des Koordinatensystems kann man sich anschaulich davon überzeugen, dass der Ergebnisvektor senkrecht auf der Ebene steht. Interaktive Übungen runden das Arbeitsmaterial ab. Die Lernenden können die Arbeitsblätter in Einzel- oder Paararbeit nutzen. Die im Material integrierten GeoGebra-Dateien stehen für Sie als Lehrkraft zusätzlich als Download zur Verfügung. So können die Dateien auch über die interaktiven Arbeitsblätter hinaus verwendet werden. Weitere Materialien des Autors zum Themenbereich Vektorrechnung finden Sie hier: Einführung des Vektorbegriffs Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation von Vektoren und das Skalarprodukt Spatprodukt von Vektoren Anwendung der Vektorrechnung Vorwissen und technische Voraussetzungen Bei der Einführung des interaktiven Arbeitsblattes sollte der Umgang mit GeoGebra erläutert werden, falls die Software den Lernenden nicht bekannt ist. Diese kann zum Beispiel mithilfe eines Beamers durchgeführt werden. Für die Nutzung der Übungen zur Einführung der Vektorrechung bedarf es Tablets oder Computer mit einer Internetverbindung, da die Informationstexte, Grafiken, Videos, Applets und 3D-Animationen in einer HTML-Seite eingebunden sind Alle 3D-Konstruktionen (die mit dem 3D Rechner von GeoGebra erstellt worden sind) können mit der GeoGebra-App auch in Augmented Reality betrachtet werden. So kann man diese Konstruktionen direkt in den Klassenraum holen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die Definition und Eigenschaften der Orthogonalitätsbedingung für Vektoren kennen. beherrschen das Vektorprodukt (Kreuzprodukt). Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Vektordarstellungen mithilfe des Computers oder Tablets. verwenden dynamische Geometriesoftware. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien).