In dieser Unterrichtseinheit zum Rechnen in Restklassen stellen die Schülerinnen und Schüler nach einer Einführung Multiplikationstafeln modulo n auf und färben diese ein – sowohl von Hand als auch mithilfe einer programmierten Excel-Tabelle. Anhand der Farbmuster der Tabellen lassen sich spielerisch Strukturen der Multiplikationstafeln entdecken und analysieren. Erkenntnisse über Besonderheiten der zu n teilerfremden Reste führen hin auf das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion. In einer Fortsetzung der Unterrichtsreihe können später auch Potenzen modulo n in analoger Weise mit gefärbten Tabellen untersucht werden. In der Unterrichtseinheit "Rechnen in Restklassen" arbeiten die Schülerinnen und Schüler überwiegend in Kleingruppen. Wichtigstes Medium sind die hier bereitgestellten Arbeitsblätter, die zur Diskussion und Sicherung der Ergebnisse auch als Folien vorliegen sollten. Um die Vorwegnahme von Ergebnissen zu vermeiden, dürfen nicht alle in einer Datei enthaltene Arbeitsblätter gleichzeitig ausgegeben werden. Die zentralen Teile 2 und 3 dieser Unterrichtsreihe wurden für eine Arbeitsgemeinschaft begabter Schülerinnen und Schüler der Klassen 7-8 konzipiert. Der vorbereitende Teil 1 wurde in derselben Lerngruppe bereits in Klasse 5 behandelt. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien Die Einheit besteht aus drei Teilen: (1) Einführung in Restklassen, (2) Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien, (3) Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen, phi-Funktion. Die Schülerinnen und Schüler kennen grundlegende Begriffe und Rechenregeln für das Rechnen in Restklassen und wenden sie an. stellen Multiplikationstafeln für Restklassen auf und beschreiben deren Strukturen, zum Beispiel Symmetrien, mithilfe von Einfärbungen erkunden und für andere verständlich. beschreiben Symmetrien von quadratischen Matrizen ("Tabellen") formal. entwickeln Argumentationen und elementare zahlentheoretische Beweise. erkunden die Werteverteilung von a x mod n (bei festem a und n) mithilfe der eingefärbten Multiplikationstafeln, beschreiben sie und beweisen die Aussagen formal. lösen lineare Kongruenzen. bestimmen Multiplikationstafeln für das reduzierte Restsystem erzeugen und phi(n) für kleine n. Begriffe und Regeln für das Rechnen in Restklassen Im ersten Teil der Unterrichtsreihe (zwei Zeitstunden) lernen die Schülerinnen und Schüler in Analogie zur Unterscheidung von geraden und ungeraden Zahlen die Begriffe "Restklasse", "Modul", "Kongruenz" sowie elementare Regeln für das Rechnen in Restklassen anhand von Arbeitsblättern kennen (restklassen_1.pdf; im Download-Paket der Startseite befinden sich neben den PDFs auch alle Dateien im editierbaren RTF-Format). Einfärbung der Multiplikationstafeln von Hand Im zweiten Teil (zwei bis drei Zeitstunden) stellen die Lernenden zunächst selbst Multiplikationstafeln modulo n auf. In einem weiteren Arbeitsblatt (alle Arbeitsblätter siehe restklassen_2.pdf) färben sie die bereits fertig ausgedruckten Multiplikationstafeln bis n = 12 von Hand ein (gleiche Reste - gleiche Farben). Dadurch wird der Blick auf die Struktur der Tabellen gelenkt und eine spielerische Analyse ihrer Eigenschaften eingeleitet, die durch ein Arbeitsblatt zur formalen Beschreibung der Symmetrieeigenschaften vertieft wird. Durch die Einfärbung der Multiplikationstafeln von Hand haben die Schülerinnen und Schüler Zeit und sind gehalten, sich eingehend mit den Tafeln und ihrer Struktur zu beschäftigen. Einige interessante Schülerbeobachtungen aus diesem Teil der Unterrichtsreihe sind dokumentiert (restklassen_2_schuelerbeitraege.pdf). Automatische Einfärbung mit Excel Erst nach der händischen Arbeit mit den Tabellen kommt die Excel-Datei (produkte_in_restklassen.xls) zum Einsatz, um bei der systematischen Erforschung schnell zwischen verschiedenen, auch größeren, Moduln wechseln zu können. Bei Eingabe des Moduls erfolgt die Einfärbung automatisch. Bei kleinen Lerngruppen reicht es, die Datei auf einem Rechner mit angeschlossenem Beamer auszuführen und den jeweils gewünschten Modul auf Zuruf einzugeben. Ergänzend dazu erhalten die Schülerinnen und Schüler ein Arbeitsblatt mit fertig eingefärbten Tafeln bis n = 10. Besser ist es jedoch (vor allem in Teil 3), wenn die Schülerinnen und Schüler eigene Rechner benutzen und verschiedene Moduln selbst eingeben können. Fortführung der Untersuchung der Multiplikationstafeln Im dritten Teil (zwei bis drei Zeitstunden) wird die systematische Untersuchung der Multiplikationstafeln fortgesetzt. Die zugehörigen Arbeitsblätter (restklassen_3.pdf) enthalten engere Fragestellungen, die auf die Anzahl und die Verteilung der in einer Tabellenzeile auftretenden Farben beziehungsweise Reste in Abhängigkeit von der Zeilennummer abzielen, also auf die Werteverteilung von a x mod n bei festem a und n. Dabei ist insbesondere der Fall ggT(a,n) = 1 von Interesse. Die Antworten werden mithilfe der Excel-Datei (produkte_in_restklassen.xls) zunächst empirisch gefunden und dann bewiesen. Lineare Kongruenzen, reduziertes Restsystem, phi-Funktion Die Ergebnisse führen auf die Lösung von linearen Kongruenzen, das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion, die aber im hier dargestellten Rahmen nur ansatzweise behandelt wird. Die praktischen Anwendungen in Form von "handfesten" Rechenaufgaben (lineare Kongruenzen) wurden von den Schülerinnen und Schülern dankbar angenommen. Bei der Bestimmung von phi(n) leistet die Excel-Datei wieder gute Dienste, da man mit der Tastenkombination Strg+R zum reduzierten Restsystem übergehen kann. Auch hier gilt: Computer nicht zu früh einsetzen! Beobachtungen und Beweise Die intendierten Beobachtungen und die zugehörigen Beweise werden hier ebenfalls zum Download angeboten (restklassen_3_beobachtungen.pdf). Die Beweise können in dieser Form auch der Lerngruppe zum Nacharbeiten zur Verfügung gestellt werden, zumal unter Umständen nicht alle im Unterricht vollständig ausgeführt werden können.