In dieser Unterrichtseinheit zum "Rucksackproblem" befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit diesem als Beispiel von NP-vollständigen Problemen sowie anderen, daran angelehnten (teils offenen) Aufgaben. NP-vollständige Probleme sind nicht gerade einfach zu verstehen. Das dazu zählende Rucksackproblem können Lernende zwar nicht in allen Facetten nachvollziehen, die grundlegende Fragestellung können sie aber sehr wohl verstehen. In vielen "einfachen" Fragestellungen geht es um Aspekte, die NP-vollständige Probleme berühren. Die Lösung solcher Aufgaben erfordert jedoch oft ein hohes Maß an mathematischen Kompetenzen, die im modernen Mathematikunterricht verstärkt gefordert werden sollen. Die Aufgaben: Von Frachträumen, Stromautobahnen und Einfahrten Bei den hier vorgestellten Aufgaben zum Rucksackproblem fehlen gelegentlich "Angaben". Die Lernenden sollen durch mathematische Argumentation und Modellierung diese Lücken mit Werten füllen, damit sie mathematische Lösungen für die Rucksackprobleme finden und mit entsprechenden mathematischen Ausdrücken formulieren und vorstellen können. Oft sind die Lösungen der an das Rucksackproblem angelehnten Fragestellungen nicht eindeutig, weil sie unterschiedliche Argumentationen zulassen. Dabei geht es zum Beispiel darum, den Frachtraum eines Transportflugzeugs effektiv zu nutzen, neue "Stromautobahnen" ökonomisch zu planen oder eine Einfahrt mit möglichst geringen Kosten zu bepflastern. Die Lösungsideen Es liegt in der Natur der Sache, dass zu diesen teils offenen Aufgaben (die diskussionsanregend wirken) keine kompletten Lösungen vorgegeben werden können (und sollen). Stattdessen werden hier "Lösungsideen" vorgestellt, die die richtigen Impulse geben. Die Aufgaben können - mit den hier ebenfalls vorgestellten Erweiterungen für höhere Klassenstufen - von Klasse 5 bis in die Oberstufe hinein verwendet werden. Einsatz im Unterricht Jede Teilaufgabe in Anlehnung an das Rucksackproblem wird mit den Lernenden vor der Bearbeitung ausführlich besprochen. So soll mathematische Argumentation und Kommunikation schon im Vorfeld der Lösungen erfolgen. Danach stellen die Lernenden ihre Lösungen im Plenum vor. Sie können die Rucksackprobleme auch außerhalb des Unterrichts bearbeiten. Die Materialien sind so konzipiert, dass sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen auch zum Selbststudium verwendet werden können. Eine Vorstellung der Ergebnisse im Unterricht ist jedoch wünschenswert. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren mathematisch. lösen Probleme mathematisch. modellieren mathematisch. verwenden mathematische Darstellungen. gehen mit mathematischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um. kommunizieren mathematisch. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien), vor allem beim Vorstellen der Lösungen. zeigen im Rahmen der Teamarbeit Hilfsbereitschaft. zeigen durch einige offene Fragestellungen Engagement und Motivation. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung.

Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist eine Kugel im Raum, aus der durch geschicktes Aufsetzen von sechs Kegelhütchen ein neuartiger Körper mit interessanten Eigenschaften entsteht. Die Konstruktion führt schließlich zu den Platonischen Körpern, der Frage nach dichtesten Kugelpackungen und Euklid, der in der Tradition von Platons Sicht der Mathematik steht.Die Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler innerhalb eines Mathematik-Pluskurses oder einer Mathematik AG der Mittelstufe geeignet. Die verwendete POV-Ray-Software steht kostenfrei zur Verfügung. Geometrische Argumentationsaufgaben wechseln sich mit POV-Ray-Aufgaben zur Veranschaulichung der Ergebnisse ab. Der Schwierigkeitsgrad steigt von Aufgabe zu Aufgabe. Während der Arbeit an den POV-Ray-Konstruktionen ist eine Internetverbindung hilfreich, da die Schülerinnen und Schüler dann stets auf Online-Manuals zu POV-Ray zugreifen oder sich bei Problemen Hilfe über eine Suchmaschine holen können.Die Schülerinnen und Schüler müssen mit dem Satz des Thales und dem Satz des Pythagoras vertraut sein und bereits Kegel im Unterricht behandelt haben. Ausgehend von der Betrachtung einer Kugel im Raum klären sie die ersten geometrischen Überlegungen durch die Anfertigung von geeigneten Schnittbildern. Dadurch werden Probleme der räumlichen Geometrie auf elementargeometrische Fragestellungen in der Ebene reduziert. Parallel wird das kostenlose 3D-Programm POV-Ray zur Visualisierung herangezogen. Als Grundlage dafür wird die Datei "basis.pov" zur Verfügung gestellt, welche einen Hintergrund, eine geeignete Kameraperspektive und eine Lichtquelle erzeugt. Darauf aufbauend sollen die Lernenden mithilfe geeigneter POV-Ray-Funktionen ("sphere", "cone" oder "cylinder") den betrachteten Körper sukzessive zusammenbauen und darstellen. Die Datei "basis.pov" ist so vorgefertigt, dass sich schnell erste Erfolgserlebnisse einstellen. Zudem werden auch die Lösungs-Codes zur Verfügung gestellt. Themen und Verlauf der Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler erstellen mit POV-Ray Konstruktionen zu den Themen Verpackung einer Kugel im Oktaeder, dichteste Kugelpackung und Platonische Körper. Hinweise zu einigen Teilaufgaben und Materialien Kommentare zu ausgewählten Teilaufgaben der Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler sollen ihr räumliches Vorstellungsvermögen trainieren. erkennen, dass zur Lösung räumlicher Lageprobleme oft elementargeometrische Überlegungen in geeigneten Schnittebenen ausreichen. ein 3D-Programm (hier POV-Ray) zur grafischen Erzeugung von einfachen und zusammengesetzten Körpern erfolgreich bedienen können. anhand eines mathematikhistorischen Originaltextes einen Beweis nachvollziehen. anhand eines mathematikphilosophischen Originaltextes Einblick in eine mögliche (die platonische) Sichtweise auf die Mathematik gewinnen. durch die Recherche über eine aktuelle mathematische Problemstellung einen Eindruck von der Entwicklung mathematischen Wissens (beziehungsweise mathematischer Wahrheiten) bekommen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Geometrie mit POV-Ray - Platonische Körper und dichteste Kugelpackungen Autor Prof. Dr. Matthias Brandl Fach Mathematik (Informatik) Zielgruppe Mathematik-Pluskurs, Mathematik AG, begabte Schülerinnen und Schüler der Mittelstufe Zeitraum mindestens 4 Stunden Technische Voraussetzungen ein Computer pro Person oder Schülergruppe, möglichst mit Internetanschluss Software POV-Ray (kostenfreier Download aus dem Internet) Filler, A., Rieper, F. 3D-Computergrafik … und die Mathematik dahinter, Verlag Jutta Pohl, Remchingen, 2007 Filler, A. Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik in den Mathematikunterricht der Sekundarstufe II im Stoffgebiet Analytische Geometrie, Habilitationsschrift , 2007 Platon Der Staat, deutsch von Rudolf Rufener, dtv München, 4. Auflage, 2004 Euclides Die Elemente: Bücher I-XIII / von Euklid, aus dem Griechischen übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer mit einem Vorwort von W. Trageser, Reprint, 2. Auflage - Thun; Frankfurt am Main: Deutsch, 1996 Kegel-Kugel-Kombination Der Körper entsteht durch geschicktes Aufsetzen von Kegeln auf eine Kugel. Hierdurch entstehen glatte Übergänge, so dass die paarweise Verbindung von je zwei Kegelspitzen einen neuen Körper (Oktaeder) entstehen lässt, in dem die Kegel-Kugel-Kombination "nahtlos verpackt" ist. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt die Zwischenschritte der Konstruktion mit der POV-Ray-Software (siehe Arbeitsblatt "geometrie_mit_povray.pdf"). Variation der Aufgabenstellung Eine Variation erfolgt durch die Frage nach Kugeln innerhalb beziehungsweise außerhalb des Oktaedergitters, deren Oberfläche nicht die Kanten, sondern die Seiten beziehungsweise die Ecken des Oktaeders berührt (Abb. 2). Dadurch werden erneut die räumliche Vorstellungskraft der Schülerinnen und Schüler sowie ihr Umgang mit POV-Ray trainiert. Die Frage nach einem "dichten" Ausfüllen des Oktaeder-Gitters mit sechs kleinen Kugeln führt nach der geometrischen und computergrafischen Lösung auf die mathematisch hoch aktuelle Frage nach der dichtesten Kugelpackung. Bisher gibt es nur einen Computerbeweis von Thomas C. Hales aus dem Jahr 1998, von dessen Richtigkeit man bislang aber "nur" zu 99 Prozent überzeugt ist. Man schätzt, dass die Erstellung eines rein formalen Beweises noch etwa zwanzig Jahre dauern wird. Die Schülerinnen und Schüler sollen hierzu selbstständig recherchieren, ihre Funde präsentieren und eine dieser Packungen mit POV-Ray realisieren (Abb. 3). Im Folgenden geht es weiter mit dem Oktaeder als Platonischem Körper. Die Tatsache, dass es nur fünf Platonische Körper gibt, soll anhand des Originalbeweises aus Euklids Elementen nachvollzogen werden. Schließlich beschäftigen sich die Lernenden auf einem separaten Arbeitsblatt (mathematik_bei_platon.pdf) mit einem Auszug aus Platons "Der Staat", worin sich Aufschlüsse über Platons Philosophie und insbesondere die Sicht auf die Mathematik gewinnen lassen, die erklären, warum Euklid keine Anwendungen der Mathematik in seine Elemente aufgenommen hat. Die fünf platonischen Körper Den Abschluss der Unterrichtseinheit bildet der Auftrag, sich über die Eulersche Polyederformel zu erkundigen und sie anhand der Platonischen Körper zu illustrieren. Mit POV-Ray lassen sich durch vorimplementierte Funktionen dann auch noch zügig die fünf regulären Polyeder erzeugen (Abb. 4). Förderung der "scientific literacy" Diese "Spiele" mit Kugel, Kegel und den Platonischen Körpern sollen die Schülerinnen und Schüler ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen. Insbesondere die Beschäftigung mit mathematikhistorischen und -philosophischen Originaltexten soll die Lernenden "abseits" der reinen Rechenmathematik für das Wesen dieser Wissenschaft gewinnen. Zudem ist es erstaunlich, wie leicht mathematikphilosophische Originaltexte aufgrund ihrer Prosa- beziehungsweise Dialogform verständlich sind! Teilaufgabe p: Dichteste Kugelpackung Die Aufgabe führt zu einer noch immer aktuellen mathematischen Fragestellung, die das Wesen eines mathematischen Beweises in Frage stellt. Sind Computer bei Beweisen zulässig oder nicht? In Form einer kleinen Präsentation sollen die Lernenden ihre "Funde" zum Problem der dichtesten Kugelpackung präsentieren und schließlich auch eine solche mit POV-Ray erzeugen (Abb. 5), was hohe Anforderungen an ihre geometrisch-räumliche Abstraktionsfähigkeit stellt. Allerdings wird zur Bestimmung der Kugelmittelpunkte keine höhere Mathematik, sondern im Wesentlichen nur der Satz des Pythagoras beziehungsweise die Höhe im gleichseitigen Dreieck benötigt. Die kanonische Schulmathematik reicht also völlig aus. Teilaufgabe r: Platonische Körper Ab hier weitet sich der mathematische Blickwinkel beträchtlich. Die Beschäftigung mit einem Originalbeweis von Euklid und das Studium einer Original-Textpassage aus Platons "Der Staat" führen zwar weg vom "harten Rechnen und Programmieren", tragen aber wesentlich dazu bei, das Verständnis der Lernenden von und für Mathematik auf dem Weg einer "(scientific) literacy" zu fördern. Es findet eine Verknüpfung mathematischer Abstraktionsfähigkeit und literarischer Lesefähigkeit statt. Teilaufgabe t: Eulersche Polyederformel Die Aufgabe fordert die Schülerinnen und Schüler schließlich dazu auf, sich selbstständig in einen unbekannten Sachverhalt einzuarbeiten und diesen mit dem bisher Gelernten zu verknüpfen.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Abbildung" lernen die Schülerinnen und Schüler, wie durch eine Zentralprojektion ein dreidimensionaler Raum in eine zweidimensionale Ebene abgebildet wird.Wie stellt man die sich in drei Hauptrichtungen erstreckende Alltagswelt korrekt auf der nur zweidimensionalen Fläche eines Bildes dar? Dieses Problem beschäftigte die Maler der Renaissance, und sie lösten es mithilfe der Mathematik. Das Thema Abbildung betrifft in den Mathematiklehrplänen meist nur Abbildungen der Ebene in sich selbst. Kulturhistorisch interessant und faszinierende Querverbindungen in die Bildende Kunst eröffnend ist dagegen die Zentralprojektion als Abbildung des Raums in die Ebene. Im Mathematikcurriculum lässt sich die Zentralprojektion in dem Lernzielkomplex "Geraden und Ebenen im Raum" unterbringen. Hier kann das Thema dazu beitragen eine erhebliche Praxisrelevanz der Analytischen Geometrie aufzuzeigen - man denke nur an die Bedeutung bildgebender Verfahren für die moderne medizinische Diagnostik und die Planung komplizierter operativer Eingriffe. Voraussetzungen Für den Umgang mit den im MuPAD-Notebook "zentralprojektion.mn" dargestellten Befehlssätzen müssen Grundkenntnisse im Umgang mit dem Computeralgebrasystem MuPAD vorhanden sein (Wertzuweisung, Prozeduraufruf, Graphikkommandos). Eine elementare Einführung in die Handhabung des CAS bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Mathematik und Bildende Kunst Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit ist eine von zweien zu dieser Thematik. Sie widmet sich dem Thema eher aus der Sicht der Mathematik, während die andere mehr auf der Seite des Fachs Bildende Kunst steht (siehe Unterrichtseinheit Verlust einer Dimension - die Zentralperspektive im Fachportal Kunst). Im Idealfall wird diese Unterrichtseinheit in einem fächerübergreifenden Projekt zwischen Mathematik und Bildender Kunst realisiert. Hinweise zum unterrichtlichen Einsatz Herstellung einer Zentralprojektion mit dem CAS und Erweiterung des Modells Die Schülerinnen und Schüler begreifen die mathematische Beschreibung der Zentralprojektion als Schnitt eines Geradenbüschels mit einer Ebene im Raum (Mathematik). lernen Abbildungseigenschaften der Zentralprojektion im Vollzug von Computerexperimenten kennen (Mathematik). gewinnen Einblick in die Bemühungen um Exaktheit der räumlichen Darstellung bei Künstlern der Renaissance (Bildende Kunst). Ausgehend von einer in Bild und Text vorliegenden Darstellung Albrecht Dürers wird die dort enthaltene Handlungsanweisung zur Herstellung einer Zentralprojektion in eine Auflistung von MuPAD-Kommandos umgesetzt. Sie läuft darauf hinaus, ein vom Augpunkt ausgehendes Geradenbüschel - die Geraden verlaufen durch die Eckpunkte des darzustellenden Körpers - mit einer zwischen Körper/Gegenstand und Augpunkt befindlichen Projektionsebene zum Schnitt zu bringen. Mit dem so erstellten mathematischen Modell kann nunmehr experimentiert werden: Die Lage des Augpunkts relativ zur Projektionsebene kann verändert werden, ebenso die Entfernung und relative Orientierung des Gegenstands zur Projektionsebene (durch seine Translation und Rotation). So werden Abbildungseigenschaften der Zentralprojektion erfahrbar: Parallelenscharen parallel zur Projektionsebene bleiben im Bild parallel. Schräg zur Projektionsebene verlaufende Parallelenscharen gehen in Geradenbüschel über. Die Länge von Strecken verkleinert sich im Bild, je größer der Abstand dieser Strecken von der Projektionsebene ist. Anaglyphe Darstellungen Die Erweiterung des mathematischen Modells der Zentralprojektion zum Modell des dreidimensionalen Sehens bietet sich an: Durch die Definition eines zweiten Augpunkts können leicht anaglyphe Darstellungen von Körpern erzeugt werden. Parallelprojektionen Durch Vergrößerung des Abstands des Augpunkts von der Projektionsebene kann die Parallelprojektion als Sonderfall der Zentralprojektion dargestellt werden (der Augpunkt liegt im Unendlichen, das Geradenbüschel durch den Augpunkt geht in eine Parallelenschar über). Auch kann der Schattenwurf auf eine ebene Fläche als Zentralprojektion identifiziert werden. Nicht nur in der Bildenden Kunst, in der Architektur und in den Ingenieurswissenschaften spielen perspektivische, quasi-räumliche Darstellungen eine bedeutsame Rolle. Inzwischen haben auch in der Medizin bildgebende Verfahren, die - wie in der MuPAD-Darstellung räumlicher Szenen - manipulierbare 3D-Darstellungen erzeugen, eine große Bedeutung erlangt. Hierauf zu verweisen, kann den für die Motivation der Schülerinnen und Schüler so wichtigen Anwendungsbezug verdeutlichen.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Fibonacci-Zahlen lernen die Schülerinnen und Schüler die Fibonacci-Folge kennen. Die Materialien sind so konzipiert, dass interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen durch die Lehrperson auch für ein Selbststudium verwenden können.Im Unterricht werden meist nur Funktionen und Integrale behandelt. Folgen und Reihen spielen – wenn überhaupt – eine untergeordnete Rolle. Dabei ermöglichen sie wichtige mathematische Betrachtungen, die den Lernenden auch nach der Schulzeit noch oft begegnen werden. Die Einfachheit der Entstehung der Fibonacci-Zahlen ist eine gute Motivation, im Unterricht auch einen Blick auf Folgen und Reihen zu werfen. Die Zahlen lassen interessante Grenzwertbetrachtungen zu - ebenfalls die Formel von Moivre-Binet, die in diesem Zusammenhang auftaucht. Die Beweisidee der vollständigen Induktion wird als wichtige Beweismethode erklärt und angewendet. Ein kurzer Blick über die Inhalte der Schulmathematik hinaus rundet die Unterrichtseinheit ab. Warum die Behandlung von Folgen und Reihen sinnvoll ist Dass für große x-Werte die Funktionswerte f(x) gegen einen endlichen Wert streben, wird den Lernenden häufig vermittelt. Folgen werden im Unterricht dagegen selten erörtert. Einen kurzen Einblick erhält man, wenn das Integral über einer Funktion im ersten Quadraten durch Rechtecke angenähert wird. Dabei ist es wichtig den Grenzwert zu bestimmen, falls die Breite der Rechtecke gegen Null und somit die Anzahl der Rechtecke gegen Unendlich geht. Oft wird nur in diesem Zusammenhang kurz über Folgen und Reihen gesprochen. Viele Alltagsbetrachtungen können jedoch durch Folgen und Reihen verständlicher beschrieben werden. Als Beispiel betrachtet man ein monatliches Ansparen eines festen oder flexiblen Betrages, der in Abhängigkeit zur Anzahl der Monate beschrieben werden kann. Hinweise zum Einsatz im Unterricht Leonardo da Pisa (etwa 1170-1240), auch Fibonacci genannt, war Rechenmeister in Pisa und gilt als bedeutendster Mathematiker des Mittelalters. Neben den nach ihm benannten Zahlen sollen die Schülerinnen und Schüler in dieser Unterrichtseinheit vor allem die Beweismethode der vollständigen Induktion kennen lernen. Der Funktionsbegriff sowie die Idee der Stamm- und Integralfunktion ist ihnen bereits bekannt. Sollen sie auch erste Erfahrungen mit Folgen und Reihen machen, so ist im ersten Abschnitt der Unterrichtseinheit eine Ergänzung nötig, denn die hier bereitgestellten Materialien setzen voraus, dass auch diese Begriffe bereits bekannt sind. Die Arbeitsblätter vermitteln, dass auch Folgen und Reihen analoge Betrachtungen zu Grenzwerten zulassen. Die Art der Annäherung an einen Grenzwert von beiden Seiten ist eine Besonderheit. Zum Abschluss wird ein Begriff aus der Mathematik vorgestellt, der über den Lehrplan hinaus einen Blick in die Welt der Mathematik bietet: Nachbarbrüche. Die Materialien sind so konzipiert, dass interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen durch die Lehrperson auch für ein Selbststudium verwenden können. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die Fibonacci-Zahlen kennen. erkennen die Analogie von Folgen und Reihen zur Idee von Funktion und Integral. lernen die Beziehung zwischen Goldenem Schnitt und Fibonacci-Zahlen kennen. können die Beweismethode der vollständigen Induktion durchführen. können mathematisch argumentieren und Probleme mathematisch lösen. können mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). zeigen Hilfsbereitschaft bei der Teamarbeit. zeigen Engagement und Motivation durch einige offene Fragestellungen. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung. Die Schülerinnen und Schüler lernen die Fibonacci-Zahlen kennen. erkennen die Analogie von Folgen und Reihen zur Idee von Funktion und Integral. lernen die Beziehung zwischen Goldenem Schnitt und Fibonacci-Zahlen kennen. können die Beweismethode der vollständigen Induktion durchführen. können mathematisch argumentieren und Probleme mathematisch lösen. können mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). zeigen Hilfsbereitschaft bei der Teamarbeit. zeigen Engagement und Motivation durch einige offene Fragestellungen. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung.

Ziel dieser Unterrichtseinheit ist es, einen Einblick in die mathematische Modellierung zu erlangen. Dies geschieht in einer Lernumgebung mit digitalen Hilfsmitteln. Zentraler Inhalt ist die Ermittlung der Evakuierungsdauer eines Gebäudes, indem die Analyse von Einflussfaktoren auf das Evakuierungsergebnis fokussiert wird.In dieser Unterrichtseinheit mit Arbeitsheft tauchen Lernende in ein komplexes mathematisches Projekt ein: Die Modellierung einer Gebäude-Evakuierung. Dabei sollen sie erkennen, dass es mithilfe mathematischer Modellierungen möglich ist, Vorhersagen (über die Welt) zu treffen, ohne diese erst kost- oder zeitspielig zu erproben. Den Schülerinnen und Schülern wird zunächst eine fertige Modellierung in einer digitalen Lernumgebung, deren Ergebnis sie zunächst nur nachvollziehen und rechnerisch überprüfen, zur Verfügung gestellt. Ausgehend von diesem Modell können die Lernenden selbständig Änderungen an den Szenarien vornehmen, indem sie etwa die Breite von Gängen und Türen verändern oder andere Annahmen über die durchschnittliche Laufgeschwindigkeit treffen. Der Einfluss dieser Variablen auf das Ergebnis soll festgehalten und im weiteren Verlauf analysiert werden. Während dieser Analyse werden Kennzahlen zu den Änderungen identifiziert und berechnet. Diese werden anschließend benutzt, um verschiedene Optionen zur Verbesserung der Evakuierbarkeit des betrachteten Gebäudes zu bewerten und daran anschließend eine datenbasierte Entscheidung für ein Maßnahmenpaket an Verbesserungen zu treffen. Indem die Schülerinnen und Schüler analysieren und bewerten, erleben sie, dass die Ergebnisse mathematischer Modellierungen nur so gut sein können wie die benutzten Annahmen und Modelle. Zentrales Ziel der Unterrichtseinheit ist es, Fähigkeiten zur Enttarnung unrealistischer Situationen zu erhalten und so etablierte Simulationen in anderen Wissenschaftsbereichen (Klimawandel, Pandemien et cetera) besser einschätzen zu können. Das Thema "Mathematische Modellierungen" im Unterricht Komplexe Simulationen bestimmen die wissenschaftliche Erkenntnisgewinnung in vielen Bereichen. So stützen sich etwa die Empfehlungen in der Corona-Pandemie und Maßnahmen zum Klimaschutz wesentlich auf Computer-Simulationen. Die Validität derartiger Simulationen wird in der öffentlichen Wahrnehmung immer wieder hinterfragt oder sogar grundlos negiert. Dieses Arbeitsheft hilft Lernenden zu verdeutlichen, wie ein Erkenntniserwerb mithilfe geeigneter Simulationen möglich ist und wie auf der Grundlage von – simulierten – Daten Entscheidungen getroffen werden können. Exemplarisch verdeutlicht wird das am Beispiel der Gebäude-Evakuierung. Didaktische Analyse Das Beispiel wurde gewählt, da Annahmen ohne größere domänenbezogene Kenntnisse evaluiert werden können. Zudem ist das Thema durch seinen Alltagsbezug motivierend und Ergebnisse können unkompliziert im schulischem Rahmen experimentell überprüft beziehungsweise erprobt werden – etwa im Rahmen einer regelmäßig stattfindenden Evakuierungsübung. Darüber hinaus kann dieses Thema auch in weiteren Unterrichtseinheiten wieder aufgegriffen werden. Beispielhaft wären hier die Auswertung von mathematischen Ergebnissen mit statistischen Methoden oder die Formulierung komplexer Algorithmen, etwa zum Fluchtverhalten, zu nennen. Entsprechende Arbeitshefte zu diesen Themenbereichen sind in Kürze ebenfalls auf der Projekt-Webseite zu finden. Methodische Analyse Das Arbeitsheft zur Unterrichtseinheit ist so konzipiert, dass die Lernenden schrittweise begleitet werden. Ausgehend von Leitfragen und Vorüberlegungen wird das zentrale Modell motiviert und eingeführt. Vorstrukturierte Leitaufgaben, die schrittweise selbstständiger und offener werden, begleiten die Schülerinnen und Schüler in ihrem Lernprozess und ermöglichen der Lehrkraft, sich auf die Rolle als Lernbegleiterin oder Lernbegleiter zu fokussieren und auf individuelle Probleme einzugehen. Aus diesem Grund gilt die Eigenständigkeit der Lernenden bei der Bearbeitung der Aufgaben als Voraussetzung. Daher wird die Bearbeitung des Arbeitsheftes primär für Schülerinnen und Schüler ab Klasse 10 bis 13 empfohlen. Alle weiteren Inhalte werden im Arbeitsheft eingeführt. Digitale Kompetenzen, die Lehrende zur Umsetzung der Unterrichtseinheit benötigen Die Umgebung kann vollständig aus dem Browser (Firefox, Chrome, Safari, Opera, Edge, et cetera) heraus benutzt werden. Sie benötigt einen Bildschirm mit hinreichend großer Auflösung (mindestens 1024 mal 768). Weitere Voraussetzungen oder Kenntnisse sind nicht erforderlich. Die Funktionalität der Umgebung wird im Arbeitsheft beschrieben. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler vertiefen ihre Modellierungsfähigkeit anhand eines komplexen Beispiels. überprüfen Annahmen mathematischer Modellierungen kritisch. ordnen Ergebnisse mathematischer Modellierungen kritisch ein. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler benutzen eine vorgegebene, digitale Simulation als Unterstützung bei der Modellierung. erkennen die Relevanz automatisierter Prozesse bei komplexen Modellierungsaufgaben. hinterfragen Chancen und Risiken digitaler Simulationen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verstärken ihre Teamkompetenz durch die gemeinsame Arbeit an mathematischen Problemen. kommunizieren über die Herangehensweise und Lösungen mathematischer Probleme. präsentieren und begründen ihre Ergebnisse und Herangehensweisen in einem Vortrag. 21st Century Skills Die Schülerinnen und Schüler benutzen mathematische Denk- und Arbeitsweisen, um Phänomene der realen Welt zu beschreiben und zu erklären. benutzen mathematische Modelle und daraus gewonnene Daten zur Lösung komplexer Probleme der realen Welt. setzen mathematische Technologien reflektiert ein, um schnell und zielgerichtet Daten zu generieren.

In dieser Unterrichtseinheit ­­­­­­entdecken die Lernenden die Eigenschaften von Quadraten und Rechtecken mithilfe der mathematischen Radiosendung "Wer wohnt im Haus der Vierecke?" vom hr2-Kinderfunkkolleg Mathematik. Diese soll die Schülerinnen und Schüler darin unterstützen, Zusammenhänge und Beziehungen zwischen den beiden Viereckarten (fach)sprachlich beschreiben zu können. Vierecke zählen zu den bekanntesten geometrischen Formen in der Mathematik. Sie können in vielen unterschiedlichen Formen auftreten und sind aufgrund ihrer Vielfältigkeit ein spannender Anlass, um im Geometrieunterricht Zusammenhänge zwischen geometrischen Formen zu entdecken und zu begründen. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit zwei besonderen Vierecken: dem Quadrat und dem Rechteck. Sie lernen die geometrischen Eigenschaften von Quadraten und Rechtecken kennen, bevor sie diese vergleichen, zueinander in Beziehung setzen und in das (vereinfachte) "Haus der Vierecke" einordnen. Da die Schülerinnen und Schüler mathematische Fachsprache nutzen müssen, um die Eigenschaften besonderer Vierecke und Zusammenhänge zwischen diesen beschreiben zu können, beinhaltet die folgende Lerneinheit neben der Förderung fachmathematischer Kompetenzen auch sprachförderliche Elemente. Dadurch werden mathematische und (fach)sprachliche Kompetenzen gleichermaßen gefördert. Zur Erarbeitung der Begriffe "Quadrat" und "Rechteck" werden Ausschnitte aus dem Radiobeitrag verwendet. In diesen werden die Eigenschaften des Quadrats und des Rechtecks beschrieben und miteinander verglichen. Zudem werden beide Vierecke in das vereinfachte "Haus der Vierecke" eingeordnet. Die Schülerinnen und Schüler erhalten Höraufträge in Form von Steckbriefen, welche sie während des Hörens der Radiobeiträge ausfüllen sollen. Auf diese Weise kann der Prozess des Zuhörens, insbesondere selektives Zuhören und sinnentnehmendes Zuhören, unterstützt werden. Außerdem wird die Möglichkeit gegeben, das Gehörte eigenständig zu visualisieren. In Paararbeit werden die Ergebnisse verglichen sowie Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Viereckarten erarbeitet. Abschließend werden das Quadrat und das Rechteck gemeinsam in das "Haus der Vierecke" eingeordnet und Zusammenhänge zwischen ihnen begründet. Nach ähnlichem Schema können anschließend die noch fehlenden Viereckarten behandelt, das "Haus der Vierecke" weiter gefüllt werden und so vertiefende Gespräche über die Zusammenhänge zwischen allen Viereckarten stattfinden. Fachlich fundierte Informationen zur Methode des sprachsensiblen Unterrichtens finden Sie in unserem Fachartikel " Sprachsensibler Mathematikunterricht mithilfe einer Radiosendung ". Quadrate und Rechtecke sind bereits aus dem geometrischen Anfangsunterricht bekannt und eignen sich besonders als Einstieg in die Arbeit mit dem "Haus der Vierecke". An diese Vorerfahrungen knüpft die hier dargestellte Lerneinheit an. Die Lernenden sollten dafür bereits Vorkenntnisse zu den Aspekten "rechter Winkel", "Parallelität" sowie "Symmetrie" mitbringen. Bei der Unterrichtseinheit handelt es sich um eine sprachsensible Lernumgebung mit einem mathematischen und einem sprachlichen Lernpfad. Aus mathematischer Perspektive ist herauszuarbeiten, inwiefern das Quadrat und das Rechteck miteinander verwandt sind. In sprachlicher Hinsicht soll bei der Beschreibung der Vierecke und ihrer Zusammenhänge mathematische Fachsprache genutzt werden. Ausschnitte eines mathematischen Radiobeitrages werden hierfür als (fach)sprachliches Vorbild eingesetzt. Um den Zuhörprozess zu unterstützen, sollen Höraufträge in Form von auszufüllenden Steckbriefen zum Quadrat und zum Rechteck bearbeitet werden. Insgesamt kann durch den Radiobeitrag in Kombination mit den Höraufträgen der Begriffserwerb in Bezug auf Eigenschaften geometrischer Formen gefördert werden. Die Lernenden füllen während des Hörens der Radioausschnitte zum Quadrat und zum Rechteck die entsprechenden Steckbriefe aus. Dadurch, dass diese in Unterpunkte strukturiert sind, wird die Aufmerksamkeit während des Zuhörprozesses auf wichtige Teilaspekte gelenkt. Die Abbildungen der Vierecke auf den Arbeitsblättern ermöglichen ein Markieren oder Beschriften, wodurch das Gehörte eigenständig visualisiert und in der vergleichenden Partnerarbeit besser nachvollzogen werden kann. Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den Eigenschaften von Quadrat und Rechteck erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler in Paararbeit und halten die Ergebnisse auf einem Arbeitsblatt schriftlich fest. Als sprachliche Unterstützung befinden sich auf dem Arbeitsblatt passende Satzanfänge. Darüber hinaus kann ein Wortspeicher mit wichtigen geometrischen Begriffen genutzt werden. Das gemeinsame Einordnen der beiden Vierecke in das "Haus der Vierecke" soll Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften von Quadrat und Rechteck deutlich machen und Begriffshierarchien verdeutlichen. Das mathematische Begründen stellt dabei eine große Herausforderung dar und kann beispielsweise durch den Einsatz des Wortspeichers oder der festgehaltenen Ergebnisse unterstützt werden. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erkennen, benennen und unterscheiden Quadrate und Rechtecke voneinander aufgrund ihrer Eigenschaften. nutzen mathematische Fachsprache, um die Eigenschaften von Quadraten und Rechtecken zu beschreiben. ordnen das Quadrat und das Rechteck begründet in das "Haus der Vierecke" ein. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen das Medium Radio zur Unterstützung ihres Lernprozesses, indem sie einem Radiobeitrag relevante Informationen entnehmen und mit diesen arbeiten. bedienen ein technisches Endgerät für die Wiedergabe eines auditiven Mediums. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler stellen ihre Arbeitsergebnisse adressatengerecht vor. kooperieren mit ihren Mitschülerinnen und Mitschülern und berücksichtigen deren Meinungen und Vorgehensweisen während der Paararbeit. helfen sich gegenseitig bei Fragen und Problemen.