In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Prismen und Körper" lernen die Schülerinnen und Schüler die Begriffe und die Eigenschaften verschiedener Körper kennen. Sie berechnen die Oberfläche und das Volumen eines Quaders und eines Würfels. Sie lernen die Volumeneinheiten mit einfachen Umrechnungen kennen. Ziel ist die Umsetzung im Sinne des selbstgesteuerten Lernens. Diese Unterrichtseinheit hat das Ziel, die Lerninhalte zum Thema "Prismen und Körper" für eine 5. Klasse der Realschule mit den Elementen des selbstgesteuerten Lernens den Schülerinnen und Schülern zu vermitteln. Die Unterrichtseinheit ist thematisch in vier Lernmodule eingeteilt. Zu jedem Modul stehen Lernkarten als interaktives H5P Element bereit: Lernmodul 1: Begriffe zu Körper und Prismen mit den interaktiven H5P Lernkarten "Körperarten" . Lernmodul 2: Netze und Schrägbilder mit den interaktiven H5P Lernkarten "Begriffe" und "Netze und Schrägbilder" . Lernmodul 3: Mantelflächenberechnung und Oberflächenberechnung mit den interaktiven H5P Lernkarten "Oberflächenberechnung" . Lernmodul 4: Volumenberechnung und Volumenberechnung II mit den interaktiven H5P Lernkarten "Volumeneinheiten" und "Volumenberechnung" . Die Inhalte der Lernmodule sind jeweils der Beschreibung der Plenumsphase aus dem Unterrichtsablauf zu entnehmen. Vorkenntnisse Für die inhaltliche Umsetzung sind für die jeweiligen Lernmodule folgende Voraussetzungen relevant: Bestimmung der Begriffe Kanten, Ecken und Flächen und Bestimmung der Eigenschaften von Würfel, Quader, Zylinder, quadratische Pyramide, Kegel und Kugel mit der Zuordnung zu den Prismen (Lernmodul 1). Die Zuordnung von Netzen und das Erstellen von Schrägbildern fokussiert auf Würfel und Quader (Lernmodul 2). Die Berechnung der Oberfläche O ist beschränkt auf Quader und Würfel (Lernmodul 3). Die Berechnung der Volumina V ist beschränkt auf Quader und Würfel (Lernmodul 4). Didaktische und methodische Analyse Diese Einheit basiert auf dem Prinzip des eigenständigen Lernens. Die Lernenden arbeiten in den Übungsphasen an den Lernmodulen wöchentlich nach eigenem Zeitplan . Die Lehrkraft klärt in den Plenumsphasen, die sich nach einem festgelegten Zeitraster orientieren, mit den Lerngruppen die Themen- und Aufgabenstellung des jeweiligen Lernmoduls. Es empfiehlt sich, mehrere solcher Phasen in einer Woche anzubieten, sodass die Lernenden sich ihre "Präsenszeit" aussuchen können. Die Rückmeldungsphase gestaltet sich individuell über die Plenumsphasen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler operieren gedanklich mit Strecken, Flächen und Körpern. stellen Körper (zum Beispiel als Netz, Schrägbild oder Modell) dar und erkennen Körper aus ihren entsprechenden Darstellungen. berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie daraus zusammengesetzten Körpern. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler suchen, verarbeiten und bewahren Inhalte und Materialien auf. kommunizieren und kooperieren auf verschiedenen Ebenen miteinander. setzen digitale Werkzeuge zum Lösen von Problemen ein. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler kommunizieren sachlich. bearbeiten und führen gemeinsam Aufgaben aus. halten sich an Absprachen und Vereinbarungen.

Schülerinnen und Schüler untersuchen mit einem Fallkapselsystem die Veränderungen einer Kerzenflamme, wenn Gravitation in Mikrogravitation übergeht. Sie erstellen Videofilme und werten diese aus.Zu den ersten wissenschaftlichen Experimenten, die unter Mikrogravitationsbedingungen in einer Raumstation durchgeführt wurden, gehörte die Untersuchung einer Kerzenflamme. Ähnliche Experimente können in der Schule auch mit einem Fallkapselsystem durchgeführt werden, dessen Aufbau in dem Beitrag Mikrogravitation - Experimente im freien Fall ausführlich beschrieben wird. Der hier vorgestellte Versuch führt zu überraschenden Ergebnissen bezüglich der Bildung von Rußpartikeln unter den Bedingungen der Mikrogravitation.Wenn Schülerinnen und Schüler im Internet nach Phänomenen der Mikrogravitation suchen, werden sie auf faszinierende Bilder von Kerzenflammen stoßen, die kugelförmig und blau leuchten. Sie können die Entstehung des Phänomens gut verstehen, wenn sie eigene Experimente mit einem Fallkapselsystem durchführen. Zuvor müssen sie die Vorgänge in einer unter normalen Gravitationsbedingungen brennenden Kerze kennen lernen. Bei den Fallexperimenten werden sie im Flammenbereich interessante Strukturen entdecken, die nicht in Lehrbüchern zu finden sind. Sie können die Bildung von Ruß bei Mikrogravitation beobachten. Grundlagen, Ergebnisse und Deutung des Versuchs Videobilder dokumentieren die Veränderungen der Flamme bei Eintritt der Mikrogravitation. Neben der Deutung der Effekte finden Sie hier weiterführende Fragen, die die Lernenden zu eigenständigem Experimentieren anregen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Kerzenflamme vor und nach dem Start der Fallkapsel mit einer Digitalkamera filmen und aus den Videofilmen mit einem Computerprogramm Videobilder extrahieren können. die Struktur einer unter normalen Gravitationsbedingungen leuchtenden Kerzenflamme beschreiben und die Vorgänge in den charakteristischen Flammenzonen darstellen können. die Veränderung der Gestalt der Kerzenflamme beim Übergang zur Mikrogravitation beschreiben und erklären können. die Ursache für die vermehrte Bildung von Rußpartikeln beim Übergang zur Mikrogravitation nennen können. Thema Das Herz einer Kerzenflamme bei Mikrogravitation Autor Dr. Volker Martini Fach Physik Zielgruppe Jahrgangsstufen 9-11 Zeitraum 2 Doppelstunden oder freie Zeiteinteilung außerhalb des Unterrichts Technische Voraussetzungen Mikrogravitation - Experimente im freien Fall mit Digitalkamera; Computerprogramm zum Extrahieren von Videobildern aus einem Videofilm (MAGIX Video deluxe 15 oder vergleichbare Software) Für die Experimente bei Mikrogravitation ist die dunkle Zone, also das "kalte Herz" der Flamme, von besonderem Interesse. Eine Flamme lässt sich grob in drei Zonen gliedern: Eine blau leuchtende Zone (1), eine dunkle Zone (2) und eine weißlich-gelb leuchtende Zone (3). Die blau leuchtende Zone umgibt kelchförmig den unteren Teil der Flamme. Hier wird ein Teil des Paraffins vollständig zu Wasser und Kohlenstoffdioxid verbrannt. Die dunkle Zone ist gefüllt mit verdampftem Paraffin. Im oberen Teil dieser Zone beginnt infolge des Sauerstoffmangels die Pyrolyse des Paraffins, bei der Kohlenstoffpartikel entstehen. In der weißlich-gelb leuchtenden Zone schreitet die Pyrolyse weiter fort. Die entstehenden Kohlenstoffpartikel glühen und strahlen Licht und Wärme ab. An der Grenze zur umgebenden sauerstoffreichen Luft verbrennen die Kohlenstoffpartikel größtenteils zu Kohlenstoffdioxid. Abb. 2 zeigt das Videobild einer Kerzenflamme, das 0,167 Sekunden nach dem Start des Fallkapselsystems aufgenommen wurde. Man sieht eine kugelförmige Kerzenflamme mit einer kleinen "Krone" aus hell leuchtenden Partikeln, die aus der Flammenkugel herausragt. Dabei handelt es sich um glühende Rußpartikel, die im Zentrum der Kerzenflamme, ihrem "kalten Herz", gebildet wurden. Die Veränderungen der Kerzenflamme sind in Abb. 3 zu sehen. Die Bildserien wurden vor dunklem und vor hellem Hintergrund aufgenommen. Normale Gravitationsbedingungen Vor dem Start hat die Kerzenflamme die vertraute nach oben weisende kegelförmige Gestalt. Die heißen Gase in ihr sind leichter als die umgebende Luft und streben, angetrieben durch die Auftriebskraft, nach oben. Die dabei entstehende Konvektionsströmung versorgt die Flamme mit Sauerstoff aus der umgebenden Luft. Verkürzung der Flamme und Rußbildung Nach dem Start der Fallkapsel wird die Kerzenflamme kugelförmig und dunkler. Mit der Gravitationskraft verschwindet auch die durch sie verursachte Auftriebskraft. Die heißen Gase streben nicht mehr nach oben und die Flamme wird nicht mehr so gut mit Sauerstoff versorgt. Wegen der wegfallenden Konvektion muss der für die Verbrennung notwendige Sauerstoff durch die viel langsamere Diffusion bereitgestellt werden. Die Temperatur der Kerzenflamme sinkt und fällt unter den für die vollständige Verbrennung von Kohlenstoff notwendigen Mindestwert von 1.000 Grad Celsius. Es bilden sich Partikel aus nicht verbranntem Kohlenstoff. Die Kerzenflamme bildet vermehrt Ruß. Zeitverlauf In den Videobildern von Abb. 3 lässt sich gut verfolgen, wie sich nach dem Start des Fallkapselsystems in der Kerzenflamme relativ große Rußpartikel bilden. Bereits nach 0,1 Sekunden hat sich die helle Flammenzone zurückgebildet. Übrig bleibt die kugelförmige dunkle Zone mit einer aufgesetzten zylindrischen Struktur. Einzelne Partikel lassen sich noch nicht identifizieren. Nach 0,2 Sekunden erscheinen vor dunklem Hintergrund im oberen zylindrischen Teil der Flamme, der sich zum Docht hin kegelförmig erweitert, hell leuchtende, glühende Kohlenstoffpartikel. Ihr Durchmesser liegt in einer Größenordnung von 100 Mikrometern. Vor hellem Hintergrund sind diese Partikel nicht zu sehen. Hingegen erscheinen dort auf dem Mantel der inneren kegelförmigen Struktur dunkle Schleier, die auf kältere Kohlenstoffpartikel hindeuten. Nach 0,3 Sekunden ist die Anzahl leuchtender Partikel deutlich zurückgegangen. Es erscheinen vermehrt größere und dunkle Partikel, die vor hellem Hintergrund besonders gut zu sehen sind. Die Flamme rußt. Die Produktion der Rußpartikel konzentriert sich auf wenige Bereiche der Flamme. Auffallend ist eine in der Mitte der Flamme vom Docht ausgehende schmale Spur besonders großer Partikel. Die folgenden Fragen geben den Schülerinnen und Schülern Anregungen für vertiefende Untersuchungen. Von besonderer Bedeutung sind Fragen, die durch eigenständiges Experimentieren beantwortet werden können: Wie viele dunkle Rußpartikel, die größer als 50 Mikrometer sind, werden beim Fallexperiment gebildet? Welchen Durchmesser hat das größte Rußpartikel? Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Rußpartikel nach oben? Welches Bild liefert die Kerzenflamme im Fallversuch, wenn man die Kerze so dreht, dass der Docht nach hinten oder nach vorne weist? In dem Versuch wird eine Kerze aus Paraffin verwendet. Gibt es Unterschiede, wenn man stattdessen Kerzen aus Stearin oder Bienenwachs einsetzt? Neues entdecken So erfahren Schülerinnen und Schüler beispielhaft die unschätzbare Bedeutung von Experimenten, wenn es darum geht, komplexe Vorgänge besser verstehen zu können. Zudem ist die Chance groß, dass sie bei der Untersuchung der Fragen auch auf ganz neue Effekte stoßen.

Die Lernenden werden schrittweise an den Begriff der Raumkrümmung herangeführt. Sie erkennen, dass die Bahnen von Himmelskörpern in Gravitationsfeldern mithilfe des Modells einer gekrümmten Fläche sehr gut dargestellt werden können. Die Effekte der Raumkrümmung (Allgemeine Relativitätstheorie) lassen sich anschaulich mithilfe einer Gummimembrane demonstrieren, in deren Mitte eine schwere Kugel liegt, die die Fläche der Membrane eindellt. Eine kleine Kugel, die über diese Fläche rollt, wird durch die Mulde so beeinflusst, als würde sie von der großen Kugel angezogen werden. Solche Gummihaut-Modelle sind allerdings schwierig zu bauen. Das hier vorgestellte Computerprogramm simuliert eine solche deformierbare Fläche und ermöglicht die Darstellung der Bahnkurven einer kleinen Kugel, die über diese Fläche ?rollt?. Das hier vorgestellte Programm Raumkrümmung.exe ermöglicht die Erkundung von Auswirkungen der Flächenkrümmung auf die Bahn einer rollenden Kugel unter verschiedenen Parametereinstellungen (Tiefe der Mulde, Startposition und -geschwindigkeit der Kugel). Die Schülerinnen und Schüler können so schrittweise an den Begriff der Raumkrümmung herangeführt werden und erfahren, dass die bekannten Bahnen innerhalb von Gravitationsfeldern sehr gut durch die Vorstellung eines gekrümmten Raums (hier einer gekrümmten Fläche) anschaulich verstanden werden können. Das Programm wurde vom Autor mithilfe der Programmiersprache Delphi verfasst. Die Datei ist nach dem Herunterladen direkt ausführbar, muss also nicht installiert werden. Das simulierte Gummituch Das Programm zur Raumkrümmung ist eine sehr gute Alternative zum schwer herzustellenden "echten" Modell. Screenshots zeigen, was die Simulation kann. Einsatz der Simulation im Unterricht Hier finden Sie Beispielwerte für verschiedene Parameter, die in der Simulation unterschiedliche Bahnformen - Kreise, Ellipsen, Rosetten - erzeugen und Erläuterungen. Die Schülerinnen und Schüler sollen erfahren, dass sich die abstrakte Idee eines dreidimensionalen, gekrümmten Raums mithilfe eines Gummimembranen-Modells veranschaulichen lässt. mithilfe der Computersimulation die didaktischen Möglichkeiten eines solchen Modells spielerisch erfassen. mit konkreten Daten die unterschiedlichsten Bahnkurven von Körpern in der Nähe großer Massen mit dem Computer simulieren. erkennen, dass Abweichungen vom klassischen Gravitationspotential zu rosettenförmigen Umlaufbahnen führen. Thema Raumkrümmung, Gravitation, Allgemeine Relativitätstheorie Autor Matthias Borchardt Fächer Physik (Kegelschnittbahnen, Allgemeine Relativitätstheorie), Astronomie (Gravitation); Physik- und Astronomie-AGs, Projektkurse (neue Oberstufe NRW) Zielgruppe ab Klasse 10 Zeitraum 1 Stunde (je nach Vertiefung flexibel) Technische Voraussetzungen Präsentationsrechner mit Beamer; gegebenenfalls Computer in ausreichender Anzahl für Einzel- oder Partnerarbeit Verzerrung von Raum und Zeit durch Massen Eine zentrale Aussage der Allgemeinen Relativitätstheorie (Albert Einstein, 1915) ist die Behauptung, dass Gravitation ein Effekt der sogenannten Raumkrümmung ist. Eine große Masse verzerrt in ihrer Umgebung Raum und Zeit derart, dass Körper, die sich an der Zentralmasse vorbeibewegen, abgelenkt oder sogar auf Ellipsen- oder Kreisbahnen gezwungen werden. Reduktion des gekrümmten Raums auf eine zweidimensionale Membrane Die Krümmung des Raums kann man sich anschaulich nicht vorstellen - dazu müsste man sich ein vierdimensionales Koordinatensystem denken, in das der dreidimensionale Raum eingebettet ist. Um dennoch eine gewisse Vorstellung von der Raumkrümmung zu gewinnen, wird häufig das sogenannte Gummituch-Modell verwendet. Eine Masse deformiert eine Gummimembrane derart, dass eine Mulde entsteht. Eine Kugel, die sich zuvor auf einer geraden Linie bewegt hat, wird durch diese Mulde abgelenkt - es scheint eine Kraft (Gravitation) von der Masse auszugehen, die die Mulde verursacht hat. In diesem Modell wird also der gekrümmte Raum auf eine zweidimensionale Membrane reduziert, die in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist. Dieses Modell kann viele Effekte der Raumkrümmung hervorragend demonstrieren, wie zum Beispiel die Ablenkung einer Masse von ihrer geraden Bahn oder die Entstehung von kreis- und ellipsenförmigen Umlaufbahnen. Das Modell als Simulation Die Herstellung eines großen, funktionstüchtigen Gummituch-Modells ist allerdings aufwändig und oft nur größeren naturwissenschaftlichen Museen oder Planetarien vorbehalten. Eine sehr gute Alternative bietet das hier vorgestellte Simulationsprogramm Raumkrümmung.exe. Visualisierung der Membran Das Programm stellt das Schrägbild einer Fläche dar, in deren Mitte sich eine Mulde erzeugen lässt. Die Tiefe dieser Deformation ist über den Schieberegler "Tiefe der Mulde" einstellbar (Abb. 1; zur Vergrößerung bitte anklicken). Die Bahnkurve einer rollenden Kugel wird direkt auf dieser Fläche durch eine gelbe Linie abgebildet. Startort und Startgeschwindigkeit der Kugel lassen sich ebenfalls einstellen. Für eine optimale Darstellung kann die Situation aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden. Die Fläche lässt sich in beliebige Richtungen drehen (Rotation der Darstellung um die drei Achsen) oder per Klick auf den Button "von oben" in der Aufsicht darstellen (Abb. 2; zur Vergrößerung bitte anklicken). Das Muldenprofil folgt dem Newtonschen Gravitationspotenzial, also einer Hyperbel. Dieses Hyperbelprofil wäre allerdings nach unten offen. Daher wurde es unten durch eine Kugelfläche abgeschlossen, die sich tangential an die Hyperbelfläche anschmiegt (Abb. 3). So ist gewährleistet, dass eine (simulierte) Kugel durch diese Mulde rollen kann, ohne ins Bodenlose zu stürzen. Allerdings kann das zuweilen auch zu überraschenden Bahnformen führen. Ein solcher Fall wird weiter unten dargestellt. Wenn das Programm geöffnet wird, ist das Schrägbild einer Fläche zu sehen, die in ihrer Mitte eingedellt ist. Mit dem Start-Button kann man nun die Kugel starten, die über diese Fläche rollen soll. Zunächst ist der Ort mit x = 160, y = -500 und die Geschwindigkeit mit vx = 0, vy = 2000 für die Startsituation eingestellt. Man sieht deutlich, dass der Weg der Kugel gekrümmt verläuft. Bewegung der Kugel auf einer geraden Linie Sinnvoll ist es nun, die Flächenkrümmung auf Null zu setzen, was durch den Schieberegler "Tiefe der Mulde" (unten rechts) zu bewerkstelligen ist. Sehr schön ist zu erkennen, dass der Weg der Kugel nun eine Gerade ist. Ellipsenförmige Bahn Stellen Sie nun wieder die Mulde her. Um eine geschlossene Bahn (Ellipse) der Kugel zu erzeugen, wählen Sie zum Beispiel: x = 140, y = 0 und vx = 0, vy = 2000. Kreisförmige Bahn Eine fast ideale Kreisbahn ergibt sich zum Beispiel bei x = 120, y = 0 und vx = 0, vy = 1800. Rosettenförmige Bahn Stellen Sie nun ein: x = 200, y = 0 und vx = 0, vy = 1200. Es entsteht wieder eine Ellipsenbahn. Wenn Sie nun die Geschwindigkeit geringfügig ändern, zum Beispiel auf vy = 1100, entsteht überraschenderweise keine Ellipse mehr, sondern eine rosettenförmige, ständig wandernde Bahn um die Mulde herum (Abb. 4). Die Rolle der Kugelfunktion am Boden der Mulde Der "Rosetteneffekt" wird dadurch verursacht, dass bei den gewählten Parametern die Bahn der Kugel die Hyperbelfläche verlässt und ein kurzes Stück über die Kugelfläche unten in der Mulde läuft. Da die Kugelfunktion deutlich von der Hyperbelfunktion und damit vom Newtonschen Gravitationspotenzial V(r) = - G • M/r abweicht, kann keine Kegelschnittbahn, in diesem Fall also keine Ellipse, mehr entstehen. Es ist ja gerade das Besondere, dass allein aus der Hyperbelform des Potenzials die Kegelschnittbahnen folgen - jede Abweichung von der Hyperbel führt zu einer völlig veränderten Bahnkurve. Möchte man den Schülerinnen und Schülern also geschlossene Kegelschnittbahnen demonstrieren, sollte man die Bahnkurve der Kugel nicht zu tief in die Mulde führen, jedenfalls nicht so tief, dass sie die untere Halbkugelfläche berührt. Andererseits kann es auch recht interessant und lehrreich sein, die Auswirkungen der Abweichung von der Hyperbelform zu demonstrieren. Periheldrehung der Merkurbahn Übrigens beruht die Periheldrehung der Merkurbahn, also die langsame Verschiebung der Ellipse, auf einer Abweichung von der Hyperbelform des Potenzials. In der Nähe großer Massen folgt das Potenzial nämlich nicht mehr der klassischen Physik, sondern muss durch die Allgemeine Relativitätstheorie beschrieben werden. Vielfältige Einsatzmöglichkeiten Durch eine geschickte Wahl der Parameter ermöglicht das Programm Raumkrümmung.exe die Erzeugung der unterschiedlichsten Bahnen. Es bietet sich daher auch für ein spielerisches Erfassen der verschiedenen Situation durch die Schülerinnen und Schüler an. Zudem ist auch sehr gut geeignet, um zum Beispiel mithilfe eines Arbeitsblatts konkrete Situationen ausprobieren zu lassen. Die Schülerinnen und Schüler könnten so schrittweise an den Begriff der Raumkrümmung herangeführt werden und erfahren, dass die bekannten Bahnen innerhalb von Gravitationsfeldern sehr gut durch die Vorstellung eines gekrümmten Raums (hier einer gekrümmten Fläche) verstanden werden können. Auch am heimischen Rechner können die Lernenden mithilfe des kostenfreien Programms mit der Raumkrümmung "experimentieren". Anmerkung zu den Begriffen Raumkrümmung und Raumzeitkrümmung Im Sinne der Allgemeinen Relativitätstheorie sollte man bei der Beschreibung von Bahnkurven bewegter Körper eigentlich nicht den Begriff Raumkrümmung verwenden, sondern stattdessen von der Raumzeitkrümmung sprechen. Die Darstellung der Situation als gekrümmte Fläche (Gummituch) beinhaltet nämlich zwei starke Vereinfachungen: zum einen die Reduktion des dreidimensionalen Raumes auf zwei Dimensionen und zum anderen die Vernachlässigung der Zeitkomponente. Diese Vereinfachungen machen aber - gerade für jüngere Schülerinnen und Schüler- die Ideen der Relativitätstheorie begreifbar. In höheren Klassen sollte man jedoch auf diese didaktischen Reduzierungen hinweisen. Gedankenexperimente zu verschiedendimensionalen Räumen finden Sie auch in der Unterrichtseinheit Eine Reise ins "Flächenland" mit GEONExT . In dem darin verwendeten Humoreske "Flächenland" von Edwin Abbott (1838-1926) werden unter anderem die Probleme eines alten Quadrats beschrieben, das das zweidimensionale Flächenland bewohnt und das von einer Kugel Besuch aus der dritten Dimension bekommt. Ausgewählte Aspekte des Romans werden mithilfe der dynamischen Mathematiksoftware GEONExT visualisiert.

Ein Vulkanausbruch ist ein faszinierendes Ereignis, dem man sich nicht entziehen kann. Die PuR Sendung "Wenn die Erde Feuer spuckt" (nach dem gleichnamigen Buch von Sabrina Ließ und Julika Rieger) greift dieses schöne und zugleich schaurige Naturschauspiel auf. Jo Hiller und der Vulkanexperte Boris Behncke besteigen gemeinsam den Ätna und werden bei ihrer Forschungsarbeit gefilmt. Infoclips erklären das Geschehen unter der Erde und Reportagen zeigen die zerstörerische Wirkung von Vulkanen. Diese fächerübergreifende interaktive Lerneinheit vertieft die in der Sendung angerissenen Themen und kann als Einstieg für ein umfassenderes Unterrichtsprojekt dienen. Bis auf das Quiz zur Sendung ist sie jedoch so angelegt, dass auch Kinder, die keine Möglichkeit haben, die Sendung zu sehen, damit arbeiten können. Die Schülerinnen und Schüler sollen im Internet gezielt Arbeitsaufträge recherchieren, ein interaktives Quiz und Puzzle am Computer lösen, eine interaktive Zuordnungsaufgabe und einen interaktiven Lückentext lösen und herkömmliche Arbeitsblätter bearbeiten, für die die Internetrecherche als Informationsquelle dient. Organisation und Ablauf Kurzbeschreibung, zeitlicher und organisatorischer Ablauf, Vorraussetzungen, Erfolgskontrolle. Anmerkungen zu den einzelnen Lernbereichen Hier finden Sie Erläuterungen zu allen elf Arbeitsblättern, die die Hauptthemen der Lerneinheit behandeln. Arbeitsmaterial und interaktive Lernumgebung Elf Arbeitsblätter plus Deckblatt einzeln im PDF-Format. Die interaktive Lerneinheit können Sie hier herunterladen und auch ohne Internetzugang nutzen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen aus den Bereichen des Sachunterrichts, der Fächer Mathematik, Deutsch, Kunst und Religion vielfältige am Thema orientierte Aufgaben erarbeiten und auf dem Wege Lernziele Vulkane - "Wenn die Erde Feuer spuckt" erreichen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen gezielte Recherchen im Internet durchführen und das world wide web als Informationsquelle kennen lernen. Videoclips aus dem Web betrachten. eine interaktive Lerneinheit am Computer bearbeiten und dabei Erfahrungen mit dem Prinzip der Verlinkung machen. Lückentexte und Zuordnungsübungen per drag&drop bearbeiten. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen Absprachen zur Benutzung der Computer-Arbeitsplätze treffen. sich als Partner über die Reihenfolge der Aufgaben einigen. sich gegenseitig helfen. Thema Vulkane Autorin Margret Datz Fächer fächerübergreifend: Deutsch, Mathematik, Sachunterricht, Kunst, Religion Zielgruppe 3. bis 4. Schuljahr Zeitraum circa 1 Woche Technische Voraussetzungen Computerraum oder Medienecke mit Internetanschluss, Soundkarte, RealPlayer oder Windows Media Player Erforderliche Vorkenntnisse genereller Umgang mit dem PC, Erfahrungen im Bereich der offenen Unterrichtsformen Planung Verlaufsplan "Wenn die Erde Feuer Vulkane sind nicht nur gefährlich und nützlich zugleich, nicht nur faszinierend und schaurig. Ihre Entstehung und Wirkung gehören zu den Einblicken in die Beschaffenheit der Erde, die Kinder im 4. Schuljahr gewinnen sollten. Neben der anschaulichen PuR-Sendung, die als Einstieg dienen kann, gibt es im Internet eine Fülle von interessanten und für Kinder geeignete Seiten, die sich mit dem Thema befassen. Inhalt Die interaktive Lerneinheit besteht neben der Eingangsseite (mit Quiz und Puzzle) aus neun weiteren Hauptseiten (wie Vulkane entstehen; wie Vulkane aussehen; wie Vulkane ausbrechen; wie Vulkane schaden; wie Vulkane nützen; wie Vulkane erforscht werden; Vulkan-Aufgaben; Vulkan-Geschichten; Vulkan-Experimente, -Rätsel und Malen), einer intern verlinkten Zuordnungsübung, einem Lückentext (Hot Potatoes), drei Hilfe-Seiten (intern) und 21 externen Links. Die Inhalte der Hauptseiten decken sich mit dem Inhalt der PuR-Sendung. Arbeitsweise Die Arbeitsanweisungen auf den Arbeitsblättern beziehen sich jeweils auf direkt aufrufbare Internetseiten, was natürlich einen Internetzugang voraussetzt. Die internen Links dagegen können offline bearbeitet werden. Die einzelnen Seiten sind frei wählbar, müssen also nicht in einer bestimmten Reihenfolge abgerufen werden - das Kind entscheidet nach Neigung. Partnerarbeit Organisation des Unterrichts und Zeitraum der Arbeit hängen hier unmittelbar von der Anzahl der vorhandenen Computer-Arbeitsplätze ab und davon, ob sie in einem Netzwerk gemeinsamen Zugang zum Internet haben. Sinnvoll hat sich auf jeden Fall Partnerarbeit erwiesen, da sich zum einen so die Zahl der auf einen Computer wartenden Kinder halbiert und die Partner sich zum anderen gegenseitig unterstützen können. Arbeitsblätter Als zusätzliches Angebot können im Bedarfsfall weitere Arbeitsblätter zur Verfügung gestellt werden, die die in der Lerneinheit beziehungsweise in der Sendung angesprochenen Themen vertiefen: zum Beispiel Vulkane in Deutschland, Sachbücher zum Thema anschauen, weitere Übungen zur Rechtschreibung (Wörter mit V), zum geometrischen Körper Kegel, Arbeiten mit großen Zahlen. Feedback Der fächerübergreifende Ansatz ermöglicht es zudem, den normalen Stundenplan für die Projektdauer außer Kraft zu setzten. Wichtig sind jedoch eine gemeinsame Einführung und Erklärung der Handhabung der Lerneinheit und ein tägliches Feedback, bei dem exemplarisch einige Gruppensprecher über ihre Arbeit und etwaige Probleme berichten, für die dann gemeinsam Lösungswege gesucht werden. Wichtig ist außerdem die Organisation des Unterrichtsablaufs. Absprachen bezüglich der Computer-Nutzung müssen getroffen werden, da nicht alle gleichzeitig am Rechner sitzen können. Dabei sollten Vorschläge der Kinder aufgegriffen werden, weil sie erfahrungsgemäß die Einhaltung eigener Vorschläge auch selbst überprüfen. Außerdem ist festzulegen, ob die Arbeit als Partner- oder Gruppenarbeit erfolgen soll und eine entsprechende Einteilung vorzunehmen (freie Wahl, Zufallsprinzip durch Ziehen von Kärtchen oder vom Lehrer bestimmt). Die Kinder sollten an offene Unterrichtsformen gewöhnt sein. Kenntnisse im Umgang mit dem Internet sind nicht unbedingt nötig, da die Links direkt über die Lerneinheit angesteuert werden und keine Internetadressen eingegeben werden müssen. Erklären sollte man auf jeden Fall, dass die Rückkehr auf den heimischen Rechner über den Rückwärtspfeil des Browsers erfolgt. Jedes Kind heftet seine fertigen Arbeitsblätter und gelösten Aufgaben in einem Hefter ab, der nach Abschluss des Projekts eingesammelt und vom Lehrer überprüft wird. Die Feuerspucker Das Quiz zur Sendung ist natürlich nur zu lösen, wenn die Kinder die Sendung auch gesehen haben. Es ist das einzige Element der Lerneinheit, das sich ausschließlich auf die Sendung bezieht. Hausaufgabe: "fernsehen!" Vielleicht haben einige Kinder oder deren Eltern die PuR-Sendung auf Video aufgezeichnet, so könnten sie sich zum gemeinsamen Anschauen mit anderen verabreden. Wie Vulkane entstehen Die Schülerinnen und Schüler werfen einen Blick in das Innere der Erde und lernen die Begriffe Erdkern, Erdmantel und Erdkruste sowie ihre Lage kennen (Lückentext, Abbildung). Ein weiterer Lückentext befasst sich mit den Konvektionsströmen des zähflüssigen Gesteins im Erdmantel. Ein Kurzvideo auf der dazu gehörenden Internetseite zeigt eine Reise durch die Erde. Entsprechende Abbildungen aus dem Internet sollen nachgezeichnet werden. Wie Vulkane aussehen Hier lernen die Kinder den Aufbau eines Vulkans (Magma, Magmakammer, Schlot, Hauptkrater, Nebenkrater, Kegel/Vulkan), Aschen und Lava) und die wichtigsten Vulkantypen (Schildvulkan, Schichtvulkan, Caldera-Vulkan) kennen. In einer interaktiven Zuordnungsübung können sie ihr Wissen überprüfen. Wie Vulkane ausbrechen Beredter als alle Erklärungen ist hier das Anschauen entsprechender Bilder beziehungsweise Videoclips, die Vulkanausbrüche zeigen. Wie Vulkane schaden Die Kinder sollen sich vorstellen, am Fuße eines Vulkans zu wohnen und Überlegungen zur eigenen Befindlichkeit anstellen. Sie lernen die sieben vulkanischen Gefahren kennen (Lavaströme, Airfall-Ablagerungen, Pyroklastische Ströme, Gase, Schlammlawinen, Erdrutsche und Tsunamis) und sehen eindrucksvolle Bilder von Landschaften vor und nach einem Vulkanausbruch. Wie Vulkane nützen Warum es trotz der Gefahren immer noch Menschen gibt, die in der Nähe von Vulkanen leben, zeigt der Aspekt "Wie Vulkane nützen" (fruchtbare Erde, Rohstoffe, Energiegewinnung, Heilwirkung durch Thermen). Wie Vulkane erforscht werden Vulkanforscher wie die beiden jungen Buchautorinnen und die Akteure in der PuR-Sendung brauchen eine ganz bestimmte Ausrüstung, um ihrer Aufgabe nachkommen zu können. Einen Einblick in die Arbeit von Vulkanforschern gewinnen die Kinder, die die Sendung nicht gesehen haben, hier durch die entsprechenden Fotos. Vulkan-Aufgaben Höhenangaben von bekannten Vulkanen sollen hier nachgeordnet und Unterschiede berechnet werden. Außerdem lernen die Schülerinnen und Schüler den geometrischen Körper Kegel kennen und ordnen ihm Gegenstände aus dem Alltag und abstrakte Formen zu. Vulkangeschichten Wörter mit V sollen nach dem Klang (W oder F) geordnet werden (Arbeitsblatt 9). Für Arbeitsblatt 10 finden die Kinder die Wörter aus dem Roman "Stiller" von Max Frisch in der Lernumgebung. In beeindruckender Weise beschreibt er den Ausbruch des Paricutin in Mexiko. Sie können den gesamten Text auch dem Buch entnehmen und von den Kindern Nomen, Verben und Adjektive heraussuchen lassen. Vulkan-Exprimente, Rätsel, Malen Bau eines Mini-Vulkans mit Zitronensäure und Natron, Lösen der Rätselseite (Arbeitsblatt 11) und Malen eines Vulkanbildes.

Auf dieser Seite haben wir Unterrichtseinheiten und Anregungen für Ihren Mathematik-Unterricht im Bereich Analysis zusammengestellt: Differenzialrechnung, komplexere Probleme der Differenzialrechnung und Integralrechnung. Auch Unterrichtsmaterialien für die Begabtenförderung im Mathematik-Unterricht finden Sie hier. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen einüben. Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte berechnen können. den Einfluss eines Parameters auf eine Kurvenschar erkennen können. die Herleitung von Ortskurven vertiefen. grundlegende Zusammenhänge kontinuierlich wiederholen. kooperieren und sozial interagieren können. Thema Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Die ganzrationalen Funktionen bilden häufig den Einstieg in die Kurvendiskussion. Diese Unterrichtseinheit behandelt typische Standardaufgaben. Ihre Umsetzung in Form dynamischer Übungsblätter ermöglicht einen individualisierten, experimentellen und eigenaktiven Lösungsprozess. Technische Hinweise und Didaktik Tipps und Screenshots zur Nutzung der Bedienfelder und Informationen zum didaktischen Konzept der dynamischen Übungsblätter Die Schülerinnen und Schüler sollen ganz- und gebrochen-rationale Funktionen sicher ableiten können. Funktionswerte berechnen können. Funktionsterme in einen Computer (hier: Mobiltelefon) eingeben. Geradengleichungen bestimmen können. zu einem Punkt des Graphen einer Funktion die Tangente und die Normale bestimmen können. ihr Ergebnis anhand einer grafischen Darstellung selbst überprüfen. Thema Kurvendiskussionen, hier: Tangenten und Normalen mit Mobiltelefon-Unterstützung Autor Mirko König Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 2-3 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Java-Mobiltelefon pro Person (MIDP 2.0, CLDC 1.1) Software Analysis mobil (JavaME-Programm), möglichst auf jedem Mobiltelefon der Lernenden zu installieren (Shareware, 10 € pro Einzellizenz); Lehrpersonen, die mit ihrem Kurs gemeinsam das Programm nutzen möchten, können sich für eine kostenlose Klassen-Lizenz an den Autor wenden: mail-at-analysismobil.com). Bei den Kurvendiskussionen müssen die Schülerinnen und Schüler das in der Analysis Gelernte anwenden und in komplexer Form umsetzen. Dabei geht einigen schon einmal der Überblick verloren, und es entstehen Fragen wie: "Muss ich jetzt f, f' oder f'' verwenden?". Dies lässt sich durch übersichtliche Schrittfolgen vermeiden. Kommen aber Anwendungsaufgaben wie die zu Tangenten und Normalen hinzu, kann die als erreicht geglaubte Sicherheit wieder schwinden. Hier können Visualisierungen helfen, die Ergebnisse zu kontrollieren. Von den Lernenden mit Bleistift und Millimeterpapier erstellte Graphen reichen hier oft noch nicht aus, da der Erfahrungsschatz an bereits gesehenen Funktionen und deren Graphen noch zu klein ist. Überdies hängt die Richtigkeit des Graphen direkt von den Rechenfertigkeiten ab. Ein Computerprogramm mit einer Funktionseingabe und einer grafischen Funktionsanzeige (Funktionsplotter) kann hier die Anschauung gut unterstützen und eine unabhängige Kontrolle bieten. Der Computer ist in dem hier vorgestellten Fall ein Mobiltelefon, ein Gerät, das die Schülerinnen und Schüler in der Regel ständig parat haben. Allgemeine Hinweise und Materialien Ausgangssituation, Motivation und Zielstellung, allgemeine Anmerkungen zum Softwareeinsatz und Hinweise zum Einsatz der Materialien Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass die Steigung der Tangente an eine Funktion sowohl negativ als auch positiv sein kann. wissen, dass am "tiefsten" und "höchsten Punkt" des Grafen die Steigung gleich Null ist. erkennen, dass die Steigung der Tangenten einer Parabel, als Funktion abgetragen, eine Gerade ergibt. erkennen, dass die Steigung der Tangenten eines Polynoms dritten Grades, als Funktion abgetragen, eine Parabel ergibt. den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung einer Funktion erkennen. Thema Steigung und Ableitung einer Funktion Autor Markus Hohenwarter Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Schülerin/Schüler Software Java (Version 1.4 oder höher, kostenfrei); GeoGebra zum Erstellen eigener dynamischer Arbeitsblätter (kostenloser Download aus dem Internet) Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits die erste Ableitung einfacher Polynome berechnen können. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem Internet Browser (zum Beispiel Internet Explorer, Netscape, Mozilla) betrachtet werden können. Damit auch die dynamischen Konstruktionen funktionieren, muss Java 1.4 (oder höher) installiert sein. Hinweise zum Einsatz der dynamischen Arbeitsblätter Falls Ihnen noch die erforderliche Java-Abspielumgebung fehlt, können Sie hier mithilfe von Screenshots einen ersten Eindruck von den Arbeitsblättern gewinnen. Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Begriffe der mittleren Steigung und der mittleren Änderungsrate kennen lernen. die Begriffe der momentanen Änderungsrate beziehungsweise des Differenzenquotienten erlernen. erkennen, dass der Differenzenquotient beziehungsweise die Ableitung die Steigung in einem Punkt angibt. verschiedene Ableitungsregeln kennen und anwenden können. die Begriffe Monotonie, Hoch-, Tief- und Wendepunkte kennen lernen. aus vorgegebenen Eigenschaften eine Funktion bestimmen können (Kurvendiskussion rückwärts). Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Sachverhalte meist rein theoretisch kennen. In dieser Unterrichtsreihe wird der Versuch unternommen, unmittelbare Anschauung mit mathematischer Theorie zu verknüpfen. Den SchülerInnen wird veranschaulicht, was es bedeutet, wenn die erste Ableitung gleich Null ist und was passiert, wenn die zweite Ableitung ungleich Null ist. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Sekantensteigung berechnen können. den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung grafisch begründen können. erläutern können, warum die Differenz aus dem x-Wert des Punktes Q und dem x-Wert des Punktes P unendlich klein, aber niemals null wird. die Tangentensteigung als erste Ableitung der Funktion im Punkt P (1 / 1) erkennen und rechnerisch bestimmen können. den Differenzialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten kennen und bestimmen können. Thema Vom Differenzen- zum Differenzialquotient Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 2 bis 3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer; optional: grafikfähiger Taschenrechner TI-83, OHP-Projektion für Taschenrechner Die Schülerinnen und Schüler haben zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 die Bestimmung der Steigung von Geraden geübt und damit die Sekantensteigung wiederholt. Parallel dazu haben sie den Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate kennen gelernt, um so den Weg für eine einfachere Behandlung der Differenzialrechnung in Anwendungszusammenhängen frei zu machen. Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter und des Applets Das Verständnis der Thematik muss sukzessiv aufgebaut werden, um eine erfolgreiche Einführung in die Kurvendiskussion zu gewährleisten. Die Arbeitsblätter können Sie hier einzeln herunterladen. Die in dieser Unterrichtseinheit verwendete Lernumgebung nutzt diese Werkzeuge und bietet die Basis für einen aktiv-entdeckenden Zugang zur Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion, bei dem die Schülerinnen und Schüler weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen dabei auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion experimentell entdecken. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 11. bis 12. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java2-Unterstützung, Java Runtime Environment Software GEONExT (kostenloser Download) Beim Aufbau der Differentialrechnung stehen in der Regel Potenz- und Polynomfunktionen am Anfang, die Schülerinnen und Schüler bestimmen Ableitungen, indem sie den Differenzialquotienten als Grenzwert explizit berechnen. Bei der Ableitung der trigonometrischen Funktionen ist dieser Weg relativ aufwändig. Er erfordert trigonometrische und algebraische Umformungen, die in der Regel von der Lehrkraft in wohl durchdachter Reihenfolge vorgeführt und von den Schülerinnen und Schülern bestenfalls nachvollzogen werden, die allerdings zum Verständnis für das Wesen der Ableitung wenig beitragen. Deshalb erscheint insbesondere bei den trigonometrischen Funktionen ein experimenteller und entdeckender Zugang zur Ableitung sinnvoll und für die Schülerinnen und Schüler besonders einprägsam. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Bei der Arbeit mit der Lernumgebung ist eigenständiges Arbeiten und Entdecken ebenso gefordert wie der Austausch mit den Mitschülern. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler sollen gegebene Größen bestimmen. Zielfunktionen aus gegebenen Größen herleiten. Extremstellen der Zielfunktionen bestimmen und das Verfahren der Kurvendiskussion anwenden (notwendige Bedingung für Extremstellen). gewonnene Lösungen diskutieren und interpretieren. einfache Extremwertprobleme lösen. Titel Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0 Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 6 Stunden Technische Voraussetzungen 1 Rechner für zwei Lernende, Beamer Software Derive 5.0 Schullizenz, siehe Zusatzinformationen Bei der Behandlung der Extremwertprobleme stellen sich für die Schülerinnen und Schüler häufig zwei Probleme: die Isolierung gegebener und gesuchter Größen aus der vorhandenen Textaufgabe und das Aufstellen der entsprechenden Zielfunktion. Eine gemeinsam erarbeitete Strategie zur Lösung dieser Probleme ist notwendig, um den Lernenden die nötige Sicherheit im Umgang mit diesem Bereich der Mathematik zu geben. Ein Grundproblem, das im Mathematikunterricht immer wieder auftaucht - und nicht nur im Rahmen dieser Unterrichtsreihe -, ist die "Versorgung" der Rechenschritte und Lösungen mit verständlichen nachvollziehbaren Kommentaren und Erläuterungen für die Lernenden. Das CAS Derive bietet die dazu nötigen Möglichkeiten. Die Aufgaben dieser Unterrichtseinheit konnten von allen Lernenden gut nachvollzogen werden. Erarbeitete Lösungen ließen sich sofort am Graphen der Zielfunktion, insbesondere in den Extrempunkten, überprüfen. Unterrichtsverlauf Beschreibung der einzelnen Unterrichtsphasen Aufgaben und Musterlösungen Derive-Dateien und Screenshots Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand gegebener Informationen und Eigenschaften eine Funktionsgleichung bestimmen können. aus den gegebenen (notwendigen) Bedingungen der Funktion das Gleichungssystem aufstellen können. das aufgestellte Gleichungssystem mithilfe des TI-83, mithilfe von Derive beziehungsweise durch Additions-, Subtraktions- und Einsetzungsverfahren lösen können. Thema Steckbriefaufgaben (Kurvendiskussion rückwärts) Fach Mathematik Autorin Sandra Schmidtpott Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grundkurs) Zeitraum 4-6 Unterrichtsstunden grafikfähiger Taschenrechner (optional) TI-83, OHP-Projektion Derive (optional) ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer virtueller Klassenraum Einrichtung eines virtuellen Klassenraums durch die Lehrkraft bei lo-net (siehe Internetadresse), Zugriff der Lernenden außerhalb des Unterrichts auf Rechner mit Internetanschluss Die Lernenden arbeiteten während der Unterrichtseinheit motiviert und konzentriert. Als großes Plus hat sich die Arbeit am heimischen Rechner mit dem virtuellen Klassenraum von lo-net erwiesen. Dies hat nicht nur das Klima im Kurs nachhaltig positiv beeinflusst, sondern auch eine neue, "coole" Art des Unterrichts mit sich gebracht. Denn wo trifft man schon mal eine Lehrkraft im Chat oder wird von der Lehrerin dazu aufgefordert, Ergebnisse vor dem Unterricht den anderen zugänglich zu machen? Erfahrungen mit dem virtuellen Klassenraum Der Austausch von Hilfestellungen, Materialien Ergebnissen und Meinungen im virtuellen Klassenraum fördert die Selbstständigkeit der Schülerinnen und Schüler. Rechen- und Datenverarbeitungswerkzeuge, Arbeitsblätter Zur Bearbeitung der Steckbriefaufgaben konnten das CAS Derive sowie grafikfähige Taschenrechner (TI-83) verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen für Exponentialfunktionen der Form f(x) = ca x anhand der gegebenen Informationen Funktionsterme bestimmen können. den Unterschied zwischen a > 1 und a < 1 anhand des Grafen und der gegebenen Informationen erläutern können. analytisch und geometrisch begründen können, warum die Tangente an eine Exponentialfunktion an der Stelle x = 0 eine Steigung von 1 haben muss. eine geeignete Basis a bestimmen können, bei der die Ausgangsfunktion mit ihrer Ableitung übereinstimmt. die Eigenschaften der Eulerschen e-Funktion und die Ableitungsregeln für die e-Funktion kennen. Thema Einführung der Eulerschen Zahl Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 2-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen 1 Rechner mit Internetanschluss für je 1-2 Lernende, Java Runtime Environment ; idealerweise Beamer, grafikfähiger Taschenrechner, OHP-Projektion für Taschenrechner, CAS Die Exponentialfunktion begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Regel in der Sekundarstufe I, insbesondere in Klasse 10 im Zusammenhang mit der Behandlung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen. In der Sekundarstufe II geht es nun darum, an dieses Vorwissen anzuknüpfen und im weiteren Verlauf des Unterrichts zur Analysis die Ableitung der Exponentialfunktion zu bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler zeigten sich während dieser Unterrichtseinheit motiviert und engagiert, was unter anderem auf den anwendungsbezogenen Charakter der Aufgaben und den Einsatz des Java-Applets zurückzuführen ist. Das Applet machte anschaulich deutlich, was beim Bestimmen der Ableitung eigentlich genau rechnerisch bestimmt wird und was dem grafisch entspricht - eine echte Bereicherung der von den Lernenden als unverständlich empfundenen "üblichen rein theoretischen Rechnerei". ?Geh weg oder ich differenzier dich!? Der Mathematikerwitz diente als stummer Impuls, zu dem die Schülerinnen und Schüler Vermutungen sammelten und hinterfragten. Das anspruchsvolle Java-Applet unterstützte das experimentelle Finden der Zahl "e". Die Schülerinnen und Schüler sollen den Begriff der Ober- und Untersumme kennen und anwenden. erkennen, dass bei einer sehr feinen Unterteilung der Intervalle Ober- und Untersumme gegeneinander konvergieren. erkennen, dass der Unterschied zwischen beiden beliebig klein wird (Grenzwertbegriff) und dass der Grenzwert der Ober- und Untersumme der Fläche unter dem Graphen entspricht. den Unterschied zwischen Integral und Fläche erklären. Integrale und Flächen berechnen. Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Markus Hohenwarter ist zurzeit Dissertant an der Abteilung für Didaktik der Mathematik , Universität Salzburg. Sein Dissertationsprojekt GeoGebra wird von der Österreichischen Akademie der Wissenschaften gefördert. Die Schülerinnen und Schüler sollen ihr Wissen über die Berechnung von Dreiecksflächen anwenden. Funktionen integrieren und die Stammfunktionen an bestimmten Stellen auswerten. den Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt entdecken. die Methode der Annäherung mithilfe von Rechtecken an einen Graphen erkennen. die Begriffe Unter- und Obersumme kennen lernen und verstehen, welche Bedeutung deren Differenz hat. sich in die TurboPlot-Software einarbeiten. mithilfe des Computers Werte für Unter- und Obersummen ermitteln und in Arbeitsblätter übertragen. abschließend gemeinsam in der Klasse ihre Beobachtungen zusammentragen. Thema Flächenberechnung mit TurboPlot Fach Mathematik Autorin Sonja Kisselmann Zielgruppe Jahrgangsstufe 12, Grundkurs Zeitraum 2 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Ein Rechner pro zwei Lernende, Software TurboPlot (kostenloser Download aus dem Internet) Planung Verlaufsplan Flächenberechnung mit TurboPlot Anhand verschiedener Abbildungen eines Funktionsgraphen werden die Begriffe Ober- und Untersumme eingeführt und das Verfahren der immer genaueren Annäherung an den Flächeninhalt unter einem Graphen verdeutlicht. Schließlich sollen sich die Lernenden von der Richtigkeit ihrer anfangs aufgestellten Vermutung (Zusammenhang zwischen Integral und Flächengröße) überzeugen, indem sie mithilfe der TurboPlot-Software die Annäherung von Ober- und Untersummen an die Fläche unter einer quadratischen Funktion beobachten und die vom Programm angezeigten Werte mit ihrem eigenen Ergebnis des bestimmten Integrals vergleichen. Hier können Sie sich Arbeitsblätter einzeln ansehen und herunterladen. Die jeweiligen Einsatzszenarien werden skizziert. Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration In arbeitsteiliger Gruppenarbeit setzen sich die Lernenden mit Dreiecksflächen auseinander, berechnen das bestimmte Integral der zugehörigen linearen Funktion und formulieren eine erste Vermutung über den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration. Unter- und Obersummen Die Lernenden setzen sich mit einem Blumenbeet auseinander, das durch eine Parabel begrenzt wird. Fragend-entwickelnd werden Möglichkeiten der Flächenberechnung erarbeitet, bevor die Bildung von Unter- und Obersummen mithilfe von Folien verdeutlicht wird. TurboPlot als zeitsparender Zeichenknecht Die Lernenden nutzen die Software TurboPlot, um zu einer Funktionsgleichung verschiedene Unter- und Obersummen zu visualisieren. Nach einer Präsentationsphase führt die Vervollständigung von Lückentexten zur Konkretisierung der Beobachtungen und begründet den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Integral. Diese und andere Fragen werden im Kurs "Ein(-)Blick ins Chaos" auf mathematischer Grundlage erforscht. Intention des Kurses ist es, die Schülerinnen und Schüler in das Forschungsgebiet nichtlinearer, dynamischer Systeme einzuführen und verschiedene Aspekte der "Chaos-Theorie" und der damit verbundenen fraktalen Geometrie aufzuzeigen. Dabei werden mithilfe des Computers (Tabellenkalkulationen, Basic- und Pascal-Programme) Populationsdynamiken analysiert und daraus resultierende fraktale Mengen visualisiert. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen anhand repräsentativer Gleichungen Kerninhalte der Chaosforschung und erhalten somit eine Grundlage für weiterführende Studien und eigene Experimente. Besondere Bedeutung kommt dabei auch dem fächerübergreifenden Bildungs- und Erziehungsziel "Entwicklung von Weltbildern und Weltdeutung" zu. Der hier vorgestellte Kurs wurde schon mehrmals im Rahmen einer "Schülerakademie" (ein lehrplanunabhängiges Enrichment-Programm zur Förderung hochbegabter Gymnasiasten) durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Abgrenzung chaotischer Systeme vom schwachen beziehungsweise starken Kausalitätsprinzip erkennen. mit der Herleitung der logistischen Gleichung die Konzeption der Rückkopplung und Iteration verstehen. bereits in der Unter- und Mittelstufe erworbene mathematisch analytische Fertigkeiten auf die Diskussion der logistischen Gleichung anwenden können. verschiedene Darstellungsformen nichtlinearer Iterationen vergleichend interpretieren und selbst einfache Computerprogramme zur Analyse und Visualisierung erstellen können. Sensitivität, Transitivität und dicht liegende periodische Punkte als Kennzeichen chaotischer Systeme begreifen. Zusammenhänge nichtlinearer dynamischer Systeme und fraktaler Strukturen erkennen. über die philosophischen Aspekte des Determinismus beziehungsweise Indeterminismus und der Berechenbarkeit von Systemen nachdenken. Thema "Ein(-)Blick ins Chaos" - nichtlineare dynamische Systeme Autor Claus Wolfseher Fach Mathematik Zielgruppe ab Klasse 10, hochbegabte Schülergruppen (Mathematik-AG, Projektarbeit) Zeitraum abhängig von Behandlungstiefe 10 oder mehr Doppelstunden Technische Voraussetzungen Computer mit einfacher Programmierumgebung (zum Beispiel Basic, Pascal oder Java) und Tabellenkalkulationssystem (zum Beispiel "Calc" - siehe OpenOffice.org - oder Excel) Im ersten Teil der Unterrichtseinheit werden die Lernenden ausgehend von einer Reihe realer Papierkegel mit unterschiedlichen Öffnungswinkeln auf den nichtlinearen Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Kegels und seinem Öffnungswinkel hingeführt. Nachdem dies rein intuitiv festgestellt wird, taucht dieser Aspekt in der algebraischen Herleitung der entsprechenden Formel wieder auf. Diese wird einer regulären Kurvendiskussion unterzogen, wobei sich bereits hier interessante Ergebnisse zeigen. Im zweiten Teil werden die Pfade des Lehrplans vorübergehend verlassen. Durch Spiegelung das Graphen der Volumenfunktion an den Koordinatenachsen entsteht eine Kurve, die im Weiteren vorbei an der Lemniskate von Jakob Bernoulli hin zur Tschirnhaus-Kubik führt. Die Kurven sollen dabei mit einem CAS erzeugt werden. Die Eigenschaft der Tschirnhaus-Kubik als Katakaustik der Parabel lässt sich dabei sehr einfach und schön mit einer dynamischen Geometriesoftware darstellen. Über die Kegelschnitte kommen die Lernenden von der Parabel zurück zum Ausgangskörper - dem Kegel. Dieser Zirkel zeigt einen großen Zusammenhang im Gebäude der Mathematik auf und soll dazu ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen. Die Schülerinnen und Schüler sollen Hypothesen über mathematische Zusammenhänge aus der Anschauung heraus formulieren können. einen nichtlinearen Zusammenhang erkennen und herleiten können. ein CAS zur grafischen Erzeugung von numerischen Näherungslösungen und höheren algebraischen Kurven bedienen können. selbstständig nach mathematik-historischen Zusammenhängen im Internet und einschlägiger Literatur recherchieren. in der Lemniskate von Bernoulli und der Tschirnhaus-Kubik exemplarische Vertreter höherer algebraischer Kurven kennen lernen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 11 konzipiert, die bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Sie bietet sich daher beispielsweise im Rahmen eines "Pluskurses", einer Projektarbeit oder einer AG an. Die abschießende Aufgabe (siehe "arbeitsblatt_kegel_algebraische_kurven"), in der die Lernenden selbstständig recherchieren sollen, welche tiefgreifende Verbindung es zwischen einer Parabel und einem Kegel gibt, ist bewusst offen gehalten. Sie soll die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit diesem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen. Materialien und Literatur Hier können Sie die Materialien zum Beitrag einzeln herunterladen: Aufgaben, Geogebra-Applet, Beispiel-Code für das CAS Maple; außerdem finden Sie hier Literaturtipps. Ausgehend von einer elementaren Konstruktion einer Mittelsenkrechten erzeugen die Schülerinnen und Schüler mithilfe von GeoGebra Geradenscharen, deren Hüllkurve eine Parabel zu sein scheint. Die Lernenden erarbeiten Schritt für Schritt den Beweis dieser Vermutung. Ihr Ergebnis können sie wiederum an der GeoGebra-Konstruktion überprüfen. Indem sie anschließend die allgemeine Gleichung einer Parabeltangente aufstellen, erkennen sie, dass die anfangs konstruierten Mittelsenkrechten gerade die Parabeltangenten sind. Mithilfe dieser Erkenntnisse lässt sich nun ein einfaches Verfahren zur Konstruktion von Parabeltangenten finden. Die Schülerinnen und Schüler sollen Geradenscharen und deren Hüllkurve mithilfe eines dynamischen Arbeitsblattes erzeugen können. die Parabel als Ortskurve der konstruierten Mittelsenkrechten kennen lernen und die zugehörige Parabelgleichung aus den Konstruktionseigenschaften herleiten können. einen Zusammenhang mit den ihnen bekannten Parabeltangenten herstellen können. aus den gewonnen Erkenntnissen eine einfache Vorschrift zur Konstruktion einer Parabeltangente in einem vorgegebenen Punkt herleiten können. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Geradenscharen und Parabeln Autor Birgit Siebe Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik AG Zeitraum 3-8 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Computer pro Person Software Java-Plugin (Version 1.4 oder höher, kostenloser Download), GeoGebra (kostenloser Download) Ausgehend vom Beispiel des radioaktiven Zerfalls von Jod-131 werden die Eigenschaften der Funktionen vom Typ f(x) = Ca x untersucht. Hauptaspekte dabei sind die Modellierung von exponentiell ablaufenden Prozessen, die Proportionalität der lokalen Änderungsrate zum Bestand und die Abhängigkeit des Proportionalitätsfaktors von der Basis a. Erst zum Schluss wird die Zahl e als ausgezeichnete Basis zur Normierung des Proportionalitätsfaktors k = f '(x)/f(x) eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler sollen Zerfalls- beziehungsweise Wachstumsprozesse mit geometrischer Progression numerisch beherrschen und durch eine auf dem Zahlenkontinuum definierte Funktion modellieren. die lokale Änderungsrate f '(x) grafisch bestimmen und ihre Proportionalität zum Bestand f(x) entdecken. diesen Sachverhalt vom Eingangsbeispiel auf die gesamte betrachtete Funktionenklasse verallgemeinern (und gegebenenfalls beweisen). die Abhängigkeit der Konstanten k = f '(x)/f(x) von der Basis a numerisch und analytisch beschreiben (gegebenenfalls mit Beweis). die Tangentensteigung als Grenzwert von Sekantensteigungen enaktiv (durch Handlung) erfahren und das Verständnis ihrer Bedeutung als lokale Änderungsrate vertiefen. die Zahl e als "normierte" Basis zu k = 1 numerisch bestimmen und die wichtigsten Eigenschaften von e kennen. Thema Exponentialfunktionen und die eulersche Zahl e Autor Dr. Hans-Joachim Feldhoff Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grund- oder Leistungskurs) Zeitraum 3-5 Stunden Technische Voraussetzungen je ein Computer für 1-2 Lernende Software Webbrowser mit aktiviertem Java, ergänzend (optional) das kostenlos erhältliche GeoGebra Selbstgesteuertes Lernen Die Sequenz besteht aus fünf HTML-Dokumenten, in die jeweils eine GeoGebra-Anwendung als Java Applet eingebettet ist. Zur Bearbeitung genügt ein Webbrowser mit aktiviertem Java. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten allein oder zu zweit am Computer die Sequenz durch und bestimmen dabei das Lerntempo selbst. Ergänzend kann das Material auch auf eine Lernplattform wie lo-net² gestellt und zu Hause (weiter-)bearbeitet werden. Modifizierbare Arbeitsblätter Die Seiten sind untereinander verlinkt. Die vorangegangenen Ergebnisse werden jeweils zu Beginn einer Seite kurz zusammengefasst, was unter Umständen die Kontrolle des Lernfortschritts und der Selbstständigkeit der Arbeit erschwert. Es empfiehlt sich, zusätzliche Aufgaben mit weiteren Anwendungsbeispielen als Ergänzung einzuflechten. Dazu können bei Bedarf die im Download-Paket enthaltenen GeoGebra-Dateien modifiziert werden. Optionale Beweise Die beiden Beweisaufgaben enthalten in schülergerechten Häppchen die Rückführung der Ableitungsregeln für die Exponentialfunktionen auf die Grenzwertaussage (Die Existenz einer Zahl e mit dieser Eigenschaft wird nicht bewiesen.) Die Behandlung der Beweise muss von den Gegebenheiten des Kurses abhängig gemacht werden. Die Lösung erhält man jeweils durch Anklicken des Links "Hilfe" als PDF-Dokument. Wer Wert auf eine selbstständige Erarbeitung der Beweise legt, sollte diese Dateien zunächst sperren. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Kurvendiskussion von Polynomen durchführen können. mit trigonometrischen Funktionen rechnen können. Linearkombinationen erstellen können. Interpolation durchführen können. algorithmisches Verständnis erwerben. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Umgang mit GeoGebra lernen. den Umgang mit wxMaxima lernen. kleine Programmroutinen selbst erstellen können. Thema Tschebyscheff-Polynome Autor Georg Wengler Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 4 Stunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Schülerin oder Schüler Software GeoGebra , wxMaxima (kostenloser Download) Voraussetzung für diese Unterrichtseinheit ist, dass die Schülerinnen und Schüler Polynome und die Grundlagen der Differenzial- und Integralrechnung kennen. Sie sollten über den Hauptsatz der Algebra und die Zerlegbarkeit von Polynomen laut Vieta Bescheid wissen. Grundlegendes Vorwissen über Matrizen und Determinanten wird benötigt und die Nutzung von GeoGebra und wxMaxima sollte keine Probleme bereiten. Hinweise zur Durchführung im Unterricht Hier finden Sie verschiedene Zugänge und Aufgabenstellungen zu Tschebyscheff-Polynomen. Anregung und Erweiterung Eine Anregung zur Erweiterung des Themas bietet die Gauss-Tschebyscheff-Quadratur.

Diese Unterrichtseinheit hat das mathematische Modellieren eines Hühnereis zum Ziel. Dazu werden zunächst Schnittflächen von Ebenen mit einem Würfel sowie Rotationsebenen und daraus entstehende Körper betrachtet und dann mithilfe der Differential- und Integralrechnung Volumen und Oberflächeninhalte bestimmt. Die Inhalte werden mit GeoGebra visualisiert. In dieser Unterrichtseinheit werden die Lernenden mit vier Arbeitsblättern zur Idee herangeführt, wie sie mithilfe der Differential- und Integralrechnung ein Hühnerei vermessen können. In allen Arbeitsblättern steht der Einsatz von GeoGebra zur Visualisierung im Mittelpunkt. Auf dem ersten Arbeitsblatt werden Schnitte eines Würfels mit Ebenen betrachtet. Die Art der Schnittflächen hängt stark damit zusammen, wie die schneidende Ebene bezüglich des Würfels verläuft. Da sich die schneidende Ebene bewegt, lassen sich unterschiedliche Konstellationen betrachten. Auf dem zweiten Arbeitsblatt werden diese Betrachtungen durch weitere Lagen und Bewegungsmöglichkeiten der Ebenen bezüglich des Würfels erweitert und es erfolgen Betrachtungen von Schnitten mit weiteren Körpern. Es werden vor allem auch Körper mit gekrümmten Oberflächen betrachtet. Den Lernenden wird verdeutlicht, dass die Kenntnis der Schnittflächen ausreicht, um Körper zu beschreiben. Kenntnis von Maßzahlen wie Höhen und Längen und anderer beschreibender Größen führen zu einem bekannten Formelapparat für Volumen und Ober- beziehungsweise Mantelflächen. Eine interaktive Übung dient als Ergänzung zum Arbeitsblatt. Auf dem dritten Arbeitsblatt findet ein Übergang zur Differential- und Integralrechnung statt. Rotationskörper, die durch die Rotation einer Fläche um eine Achse entstehen, können mithilfe der Differential- und Integralrechnung erfasst werden. Anwendungen zu Körpern, die durch Rotation eines Halbkreises, der Wurzelfunktion oder einer Parabel entstehen, werden erarbeitet. Drei interaktive Übungen dienen als Ergänzung zum Arbeitsblatt. Auf dem letzten Arbeitsblatt geschieht der Übergang vom Halbkreis über Ellipsen zur "Eiform". Neben den Möglichkeiten durch Integration und Differentiation exakte Maßzahlen zu bestimmen, wird auch die Möglichkeit einer Annäherung thematisiert, um das Hühnerei möglichst exakt rechnerisch erfassen zu können. Wo Berechnungen von Hand mühsam – ja teilweise unmöglich – sind, können mit dem Einsatz von GeoGebra den Körpern Maßzahlen zugeschrieben werden. Am Bespiel der Körperform eines Eies wird aber auch gezeigt, dass die Software an Grenzen stößt. Für die Betrachtung eines eiförmigen Körpers werden zunächst die Formelapparate für die Körper Zylinder, Kegel und Kugel erarbeitet, sodass mit Radien, Längen und Höhen Volumen, Mantel- und Oberfläche bestimmt werden können. Im Zusammenhang mit der Differential- und Integralrechnung werden schließlich komplexere Rotationskörper mithilfe bestimmter Integrale berechenbar. Da für eine Ellipse und für ein Ei die Integrandenfunktionen zu komplex für händisches Rechnen werden, nutzt man CAS. Mithilfe mehrerer GeoGebra Simulationsdateien wird den Lernenden das Arbeiten mit der Integral- und Differentialrechnung vorgestellt, bis hin zu einem eiförmigen Körper. Interaktive Übungen dienen als Ergänzung zur Unterrichtseinheit. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler gewinnen Erkenntnisse zu verschiedenen Schnittflächen und Rotationskörpern durch experimentellen Umgang mit GeoGebra. wiederholen Teile des bekannten Formelapparates für Oberflächen und Volumen. erweitern und festigen Kenntnisse im Zusammenhang der Differential- und Integralrechnung. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler experimentieren mit interaktiven GeoGebra-Dateien. setzen mobile Endgeräte im Unterricht zur Modellierung des Hühnereis ein. analysieren und reflektieren mit von GeoGebra erzeugten Rotationskörpern. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler steigern ihr Selbstwertgefühl und ihre Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien sowie Rückmeldungen und Hinweise beim Erarbeiten von Lösungen). lernen sich selbst durch die Differenzierungsmöglichkeiten in den Aufgabenstellungen einzuschätzen. zeigen durch offene Fragestellungen Engagement und Motivation und stoßen auf neue Ideen durch das Experimentieren in den Experimentierecken der verschiedenen Einheiten.

Dieser Unterrichtsvorschlag fokussiert Iridium Flares: Antennen der so genannten Iridium-Satelliten reflektieren das Sonnenlicht zur Erdoberfläche und können insbesondere in der Dämmerung außergewöhnliche Leuchterscheinungen erzeugen. So kann man auch an den langen Sommerabenden interessante - wenn auch nicht astronomische - Phänomene am Himmel beobachten.Erblickt man einen Iridium-Flare zufällig und unvorbereitet, kann einem schon etwas unheimlich zumute werden. Die fast spukhafte, etwa fünf bis zwanzig Sekunden andauernde Erscheinung beginnt mit einem punktförmigen Aufleuchten, das sich sekundenschnell verstärkt, dabei fast grell werden kann, und dann ebenso schnell wieder abklingt und verschwindet. Die Lichtquelle bewegt sich, wirkt aber nicht sternschnuppenartig. Wenn Sie so etwas schon einmal beobachtet haben, war wohl kein UFO oder Netzhautriss die Ursache, sondern die Reflexion des Sonnenlichts durch eine der stark reflektierenden Antennen eines Kommunikations-Satelliten. Ausweichobjekte für die kurzen Sommernächte Das Auftreten der hier vorgestellten nicht-astronomischen "Artefakte", die man zum Beispiel zurzeit der kurzen Nächte im Sommer alternativ zu astronomischen Objekten in der Dämmerung (oder sogar am Tag) mit dem bloßen Auge beobachten kann, lässt sich auf den Internetseiten "Heavens above" und "CalSky" (siehe Internetadressen) für jeden Beobachtungsort berechnen. So haben auch jüngere Schülerinnen und Schüler Gelegenheit, an Sommerabenden interessante Erscheinungen am Himmel zu beobachten, ohne sich die halbe Nacht um die Ohren schlagen zu müssen. Erstellung der Prognose Jüngeren Lernenden sollte die Erstellung der Flare-Prognosen in der Schule demonstriert und erläutert werden (Beamerpräsentation, Computerraum), damit diese gegebenenfalls am heimischen Rechner die Koordinaten ihres Standortes möglichst exakt eingeben können. Da die maximale Helligkeit der Flares nur in einem etwa zwei Kilometer schmalen Streifen zu sehen ist, kann eine typische "Schülerpopulation" die Helligkeit eines Flares sehr unterschiedlich wahrnehmen, wenn das Ereignis an verschiedenen Standorten beobachtet wird. Allgemeine Informationen und Tipps zum Fotografieren Informationen zu Entstehung, Häufigkeit und Helligkeit der "Leuchtkugeln" sowie Hinweise zur Fotografie von Iridium-Flares Die Schülerinnen und Schüler erhalten Kenntnis von der Existenz der Iridium-Satelliten. lernen Online-Rechner als Werkzeuge zur Vorhersage künstlicher Himmelserscheinungen kennen und nutzen. dokumentieren Iridium-Flares fotografisch (optional). Die Satelliten wurden für den Aufbau eines weltweiten Sprach- und Datenübermittlungssystem, das ohne Funkstationen auf dem Boden auskommt, in den Orbit geschossen. Ursprünglich waren 77 Satelliten geplant. 77 ist die Ordnungszahl des chemischen Elements Iridium, das der Namensgeber für das Projekt war. Zurzeit sind allerdings nur 66 Satelliten aktiv. Das System nahm 1998 den Betrieb auf und wurde wirtschaftlich schnell zum Flop - Ursachen waren hohe Gesprächskosten und teure Endgeräte. Nach dem Konkurs übernahm im Jahr 2001 die neu gegründete Firma Iridium Satellite LLC das System. Bis zu 1.000 Mal heller als Sirius Die Iridium-Satelliten tragen drei Antennen, die eine Länge von 188 Zentimetern und eine Breite von 86 Zentimetern haben. Diese kleinen, aber stark reflektierenden Flächen werfen, wenn sie im richtigen Winkel stehen, das Sonnenlicht als schmalen Lichtkegel auf die Erdoberfläche. Am Boden ist die Reflexion in einem Streifen von etwa zwei Kilometern mit maximaler Helligkeit zu beobachten. Ein Iridium-Flare kann dabei 1.000 Mal heller strahlen als Sirius, unser hellster Stern. Abbildung 1 (zur Vergrößerung anklicken) zeigt ein Foto von Claus Seifert. Zu sehen ist ein Flare des Iridiumsatteliten Nr. 70. Im Hintergrund befinden sich der Sternhaufen M 44 (Praesepe im Sternbild Krebs, rechts) und der Kopf des Sternbilds Löwe (links). Das Licht der Sonne kann auch über einen Umweg vom Mond zum Satelliten und von dort zur Erde gelenkt werden. Diese Flares sind jedoch entsprechend lichtschwach. Wann kann man Iridium-Flares beobachten? Wie alle Leuchterscheinungen, die von Reflexionen im Orbit verursacht werden, sind Iridium-Flares vorzugsweise am Abend (kurz nach Sonnenuntergang) sowie am frühen Morgen (kurz vor Sonnenaufgang) zu sehen. Aufgrund der hohen Umlaufbahn der Satelliten (780 Kilometer) können die Lichtblitze in den Sommermonaten während der gesamten Nacht auftreten. Sehr helle Flares können sich sogar gegen das Tageslicht durchsetzen, sind allerdings weniger beeindruckend als Flares in der Dämmerung oder bei Nacht. Wie oft sind Flares zu sehen? Bei 66 Satelliten ist die Wahrscheinlichkeit für die Chance auf ein Flare-Ereignis Nacht für Nacht (an jedem Ort) recht hoch - so lange nur das Wetter mitspielt. Etwa alle acht Minuten fliegt ein Satellit der Flotte auf einer der in Nord-Süd-Richtung verlaufenden Umlaufbahnen an derselben Stelle am Himmel vorbei. Im Schnitt kann man pro Nacht mehr als drei Iridium-Flares sehen, die heller sind als der Stern Vega (Leier) - immerhin der hellste Stern des Sommerdreiecks. Mit einer auf ein Stativ montierten digitalen oder analogen Spiegelreflexkamera (lichtstarke Objektive mit Festbrennweite sind von Vorteil) hat man gute Chancen, mit relativ einfachen Mitteln interessante Aufnahmen machen zu können. Wichtig bei der Flare-Fotografie ist ein Draht- oder Fernauslöser. Die Kamera muss zur vorherberechneten Zeit in die richtige Richtung und Höhe zeigen. Der Anstieg der Helligkeit eines Flares ist oft zu niedrig, um mit dem Auge erkennt zu werden. Um den Anfang des Schauspiels nicht zu verpassen, sollte man daher der Flare-Prognose "blind" vertrauen und zum Beispiel zehn bis fünfzehn Sekunden vor Erreichen der berechneten Maximalhelligkeit auslösen. Wenn man deutlich über die Flare-Zeit hinaus belichtet, hinterlassen auch die Sterne entsprechende Lichtspuren. Wie das Ergebnis aussehen kann, zeigt das Foto von Mario Weigand in Abbildung 2. Hilfreiche Tipps zur Flare-Fotografie erhält man in den diversen Astronomie-Foren.