Mathematik- und Informatik-Unterricht kombiniert: In der Einheit "Statistik meets Wahrscheinlichkeitsrechnung" werden in erster Linie mithilfe von Simulationen am PC Daten zu Zufallsexperimenten erfasst. Als Ergänzung werden Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet, um Erwartungswerte und andere Größen bei solchen Experimenten zu berechnen. Mit dem Vergleichen der Werte aus der Datensammlung mit den theoretischen berechneten Werten soll ein tieferes Verständnis für die Größen gefördert werden."Es gibt für alles eine App" - aber einige Fragen lassen sich oft nur mit Programmieren beantworten. Der PC erzeugt Zufallszahlen, mit welchen man reale Experimente simulieren kann. Hat man ein Grundverständnis für dieses Programmieren, kann man schnell eigene Experimente modellieren und anschließend simulieren. Der Informatik-Unterricht sieht den Umgang mit Tabellenkalkulationen und einer Programmiersprache vor. Damit lassen sich auch Zufallsexperimente simulieren. Im Mathematik-Unterricht werden auch Methoden zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten erarbeitet. In der Unterrichtseinheit werden Zufallsexperimente simuliert. Der Vergleich mit Daten aus der berechnenden Statistik schließt sich den Simulationen an. So kann das Material einerseits im Informatik-Unterricht eingesetzt werden - die Berechnungen können vorgestellt werden, um den simulierten Wert mit berechnetem zu vergleichen -, andererseits in der Mathematik, um die berechneten Werte mit Ergebnissen aus der Simulation zu vergleichen. Ein tieferes Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs und der Größe des Erwartungswertes stellt sich ein. Das Thema "Statistik meets Wahrscheinlichkeitsrechnung" im Unterricht Digitalisierung wird immer wichtiger - in der Mathematik haben viele Möglichkeiten der Statistik leider wenig Raum im Lehrplan finden können, da diese sehr vielfältig sind. Um den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeiten der Statistik näher zu bringen, sollen hier relativ einfache Probleme erarbeitet werden. Das Anwenden der statistischen Methoden an eigenen Daten soll eine Motivation darstellen, die vorgestellten Größen besser kennen zu lernen. Vorkenntnisse Grundlagen im Umgang mit einer Tabellenkalkulation beziehungsweise einer Programmiersprache sollten vermittelt worden sein. Werden nur fertiggestellte Simulationen in den letzten Klassen des Mathematikunterrichts eingesetzt, können Erwartungswert und Standardabweichung mithilfe der Simulationen nähergebracht werden. Didaktische Analyse Dem Zufall begegnet man täglich. Viele Wahrscheinlichkeitsaussagen werden mithilfe messbarer Größen vorhergesagt. Mit einer Wahrscheinlichkeitsaussage möchte man eine relative Häufigkeit voraussagen. Wie gut gelingt das? Es ist nicht möglich, eine sehr große Anzahl von Versuchsdurchführungen in überschaubarer Zeit in echt durchzuführen - deswegen wird simuliert. Einen Einblick, wie man mit dem PC simuliert und was man aus diesen Daten machen kann, sollen die Themen zeigen. Kombination aus Informatik- und Mathematik-Unterricht Erarbeitet man mit der Programmierung Simulationen, kann die Lösung der Mathe Arbeitsblätter verwendet werden, um relative Häufigkeiten mit berechneten Werten zu vergleichen. Auch umgekehrt: Erarbeitet man die Wahrscheinlichkeitsberechnungen, kann man mit Lösungen der Simulationen die berechneten Werte durch relative Häufigkeiten bei Simulationen prüfen. Methodische Analyse Die Themen müssen nicht alle und nicht chronologisch abgearbeitet werden. Ziel der Art der Aufbereitung ist es, an Stellen im eigenen Unterricht mit einem "Thema" zu ergänzen. Für Lernende der Abschlussklassen werden die kurz vorgestellten Größen im Zusammenhang mit Zufallsgrößen möglicherweise als theoretische Konstrukte empfunden - mit der Verwendung vieler Daten (ohne im Detail zu verstehen, wie der Rechner diese erarbeitet) können diese Größe in ihrer Bedeutung nähergebracht werden. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können mathematisch argumentieren (K1). Probleme mathematisch lösen (K2). mathematisch modellieren (K3). können mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik und Informatik umgehen (K5). modellieren und implementieren (Informatik). kommunizieren und kooperieren (Informatik). darstellen und interpretieren (Informatik). Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sicher am PC mit einer Tabellenkalkulation. verstehen, wie eine Tabellenkalkulation oder der PC viele Werte bestimmen und darstellen kann. erlernen den Umgang mit einer Programmiersprache. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich bei der Erarbeitung und der Präsentation von Inhalten und Ergebnissen in die Gruppenarbeit ein. werten Daten kritisch aus und kommentieren diese. geben selbst Hilfestellung oder fragen andere nach Hilfe.

Mit alltäglichen Materialien wird eine Versuchsanordnung entwickelt, mit der sich eine Kettenreaktion auslösen lässt, die wie zufällig wirkt. Durch die Aufzeichnung des Ereignisses mit der Videokamera entsteht eine künstlerische Arbeit.Das Künstlervideo Der Lauf der Dinge des schweizer Künstlerduos Fischli & Weiss gibt die Anregung für ein kontrolliertes Happening nach den Gesetzen der Physik und Chemie. Es bildet den Einstieg für eine grundlegende Reflexion und künstlerische Bearbeitung des Alltagsphänomens Zufall mit neuen Medien. Die Unterrichtseinheit zeigt eine Möglichkeit für die Arbeit mit einem erweiterten Kunstbegriff und für fächerübergreifendes Lernen. Sie entstand im Rahmen des kubim-Projekts "KLiP - Kunst und Lernen im Prozess", das Möglichkeiten erprobte, wie prozesshafte Kunst unter den institutionellen Bedingungen von Schule für Lernprozesse von Kindern und Jugendlichen fruchtbar gemacht werden können. Durch Beobachtung zum eigenen Experiment Den Einstieg in die Thematik bilden Beobachtungsaufgaben. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Naturgesetzlichkeiten der Kettenreaktion im Film von Fischli & Weiss beobachten und erkennen, um diese in einem eigenen Experiment anwenden zu können. Nach der Auswertung des Films bekommen die Schülerinnen und Schüler ein Materialpaket, um einen eigenen Versuchsaufbau zu konstruieren. Sie arbeiten dabei im Team. Der Arbeitsprozess und das fertige Ergebnis werden mit der Videokamera dokumentiert und als Film aufbereitet. Das Thema Zufall kann durch philosophische Texte und Literatur erweitert werden. Beobachten und Analysieren Durch das Beobachten der Vorgänge im Künstlervideo ergeben sich Fragen. Ereignisse hervorrufen Zur Beziehung von Kunst und Naturwissenschaft. Ergebnisse aufzeichnen Die Kettenreaktionen werden filmisch dokumentiert und zu einem Künstlervideo geschnitten. Ergebnisse beurteilen und vertiefen Der fertige Film wird vorgeführt, der Entstehungsprozess reflektiert und vertieft. Inhaltliche Ziele Die Schülerinnen und Schüler sollen die Erscheinungsweise physikalischer Phänomene in ein ästhetisches Produkt umwerten. prozesshaftes künstlerisches Arbeiten kennen lernen und anwenden. sich mit dem Phänomen des Zufalls und der Kettenreaktion praktisch und theoretisch auseinander setzen. Ziele im Bereich der Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen Einstellungsgrößen und Schwenks als wesentliche Bestandteile der Filmsprache üben. Identität von Dokumentation und Kunstvideos praktisch erfahren. das filmdramaturgische Konzept des Intervalls kennen lernen und anwenden. Thema Den Zufall erfahren - Experiment mit einer Kettenreaktion Autorin und Autor Susanne Thäsler-Wollenberg, Carsten Eggers Fach Kunst, fächerübergreifend mit Physik oder Chemie Zielgruppe Sekundarstufe I und II Zeitraum 4 bis 12 Unterrichtsstunden Medien Digitale Videokamera, digitale Fotokameras mit Videofunktion, Computer Software Bildpräsentationsprogramm, Videoschnittprogramm Voraussetzungen Grundkenntnisse in der Bedienung der digitalen Videokamera Der Film Das Video "Der Lauf der Dinge" von Fischli & Weiss ist die vermeintlich amateurhaft produzierte Dokumentation einer 30-minütigen Kettenreaktion: Labile Arrangements von Alltagsgegenständen werden zum Einsturz gebracht, wodurch fortwährend gerade so viel Energie freigesetzt wird, um das nächste Arrangement umzustoßen. Der Platz, die Zeit und das Material scheinen hierfür unbegrenzt zur Verfügung zu stehen. Die Künstler, die - bei allem Understatement - Effekte wie Feuerwerkskörper und künstlichen Nebel einsetzen, scheinen wie zufällig auf Materialien wie Autoreifen, Müllsäcke und Trittleitern gestoßen zu sein. Dass das Künstlerduo Fischli & Weiss aber hauptsächlich mit dem gearbeitet haben, was sie im Atelier vorfanden, verleiht dem Video seine Glaubwürdigkeit: Die Betrachterinnen und Betrachter erkennen darin eine "Spielregel", die das Projekt für sie nachvollziehbar macht. Die Ästhetik der kinetischen Energie Die Schülerinnen und Schüler sehen im Film zahlreiche Vorgänge, die eine Ursache und einen Ausdruck haben. Im Gegensatz zur rein naturwissenschaftlichen Betrachtungsweise ist die Beobachtung des Filmes vielschichtiger. Es sollen daher nicht nur physikalische Gesetzmäßigkeiten wie Rückstoß, Hydraulik und schiefe Ebene erkannt werden. Darüber hinaus geht es um die Erscheinungsweise der Bewegung, die mit einer Choreografie verglichen werden kann. Wie sieht ein Vorgang aus, welche Qualität hat die Bewegung? Welche subjektiven Reaktionen folgen? Gefühle wie Erschrecken, Vorahnung und Erleichterung begleiten die Kettenreaktion. Die Faszination macht sich während der Betrachtung in Kommentaren und Gelächter bemerkbar. Der emotionalen Dimension folgt die inhaltliche: "Es geht in diesem Film natürlich auch um das Problem von Schuld und Unschuld. Ein Gegenstand ist schuld, dass es nicht weiter geht, und auch schuld, wenn es weitergeht." (Fischli & Weiss) Filmzeit und Intervall Die Abläufe im Film sind mit nur wenigen Schnitten dargestellt und wirken trotz ihrer Rohheit poetisch. Die Zuschauerinnen und Zuschauer erfahren eine magische Beziehung zu den Gegenständen, die sich auf das Zeiterlebnis ausdehnt. Die Zeit des Films wird in Intervalle gegliedert, in denen gewartet werden muss, bis die nächste Aktion stattfindet. Den Schülerinnen und Schülern, deren Sehgewohnheiten durch extrem schnelle Bildfolgen geprägt sind, werden diese Intervalle des Wartens eine Eingewöhnung abverlangen. Dies führt zur Fragestellung, worin die besondere Attraktion dieses Filmes besteht. Die Schnitte sind im Film so geschickt eingebracht, dass sie erst mit einem Beobachtungsauftrag bewusst werden: Die gleiche Umgebung täuscht einen langen Weg vor, den rollende Objekte zurücklegen; bei chemischen Prozessen verkürzt ein Schnitt die Zeit. Schnitte und Schwenks lassen Rückschlüsse auf den Aufbau und die Entstehung der Kettenreaktion zu. Diese filmischen Mittel sind wichtig für eine gelungene Filmdokumentation der eigenen Arbeit. Ist der Unterricht fächerübergreifend angelegt, erweitert sich das Spektrum der Möglichkeiten. Es kann in den Fachräumen der Physik und Chemie experimentiert werden. Außerdem können die Kenntnisse der Naturwissenschaftler einbezogen werden. Spannend für Schülerinnen und Schüler ist es, wenn sie wie im Film mit Alltagsgegenständen hantieren können, die jetzt ein Schicksal erfahren sollen und eine Aufgabe zugewiesen bekommen. Es kann sinnvoll sein, zunächst jeder Schülerin und jedem Schüler ein einfaches Materialpaket zu geben, mit dem das Gesetz der schiefen Ebene experimentell erfahrbar wird. In der Schule wird man jedoch aus Sicherheitsgründen auf die Energie aus chemischen Reaktionen und den Einsatz von Flüssigkeiten verzichten müssen. Im Team experimentieren und kreative Lösungen finden Sind die Grundlagen verstanden worden, können die Schülerinnen und Schüler im Team zusammen arbeiten. Es lassen sich jetzt kompliziertere Gegebenheiten konstruieren, die mehr als zwei Hände zur Herstellung brauchen. In einer offenen Phase wird durch spielerisches Experimentieren Erfahrungswissen mit verschiedenen Gegenständen gesammelt. Zufall und Planung, Versuch und Irrtum bilden die pragmatische Komponente, in der sich die gemeinsame Intelligenz und Kreativität widerspiegeln. Die Erfahrung zeigt, dass die Zusammenarbeit in solchen Gruppen intensiv ist, da auf ein gemeinsames Ziel hingearbeitet wird und sich die Brauchbarkeit von Ideen an der Realität messen lässt. Werden Lösungen gefunden, stellt sich die Frage der ästhetischen Bewertung. Hier bildet sich die ästhetische Beziehung zum Experiment. In der Diskussion um die dramaturgische Tauglichkeit eines Ereignisses für das Gesamtergebnis wird ästhetisches Urteilsvermögen entwickelt und der Bezug zur Kunst hergestellt. Zeit und Raum für Experimente Die Abläufe im Künstlervideo "Der Lauf der Dinge" funktionieren: es geht manchmal stockend, jedoch kontinuierlich weiter. Die Schülerinnen und Schüler haben die Aufgabe, einen solchen Ablauf nachzubauen, sind jedoch in ihren Mitteln wesentlich eingeschränkter. Es wird je nach Zeit und Raum, die für die Experimente zur Verfügung stehen, zu entscheiden sein, wie lang eine Sequenz pro Gruppe sein kann. Im beschriebenen Experiment erarbeiteten je vier Schüler eine zehn Sekunden andauernde Kettenreaktion in einer Doppelstunde. Erarbeitung von Bewertungskriterien Die Frage der Bewertung einer Versuchsanordnung ist Kriterien unterworfen, die die Schülerinnen und Schüler auch in anderen kreativen Tätigkeiten zu erfüllen haben. Diese ergeben sich bereits durch die Beobachtungsaufträge. Denn die Vielfältigkeit der gefundenen Aktionen und Antriebsarten, die Problemlösung eines funktionierenden Ablaufs und die Dauer der Versuchsanordnung sind objektivierbar. Es gibt naheliegende Lösungen, die sich stark an das Vorbild des Filmes anlehnen, und es wird neue und originelle Ereignisse geben. Die Schülerinnen und Schüler sollten insbesondere in die Beurteilung der Wirkung einbezogen werden. Mögliche Kriterien werden in der Gruppe diskutiert, verschriftlicht und können zur Selbstbewertung herangezogen werden. Wie in jeder künstlerischen Arbeit muss auch in diesem Experiment die Unsicherheit einer offenen Fragestellung einkalkuliert werden. Da das Ergebnis im Team entwickelt wurde, ist die soziale Form der Zusammenarbeit ein weiteres maßgebliches Kriterium. Vorbereitung der filmischen Arbeit in Expertengruppen Die Arbeit im Team sieht vor, dass die Gruppen selbstständig experimentieren. Bis die ersten Ergebnisse gefunden sind, kann je ein Teammitglied zum Kameraexperten ausgebildet werden. Die Schülerinnen und Schüler lernen die Handhabung der Videokamera, den Gebrauch des Stativs für den Schwenk, die Kameraperspektiven und den Gebrauch des Zooms. Aus den Beobachtungen des Künstlervideos und den Notizen können die Regeln für die praktische Filmarbeit leicht abgeleitet werden. Authentisch wirkt die einfache Aufzeichnung der Verlaufsketten. Es muss sorgfältig überlegt werden, wo die Kamera positioniert werden kann, um die Bewegungen günstig darzustellen. Sind Schwenks nötig, muss der Kameramann oder die Kamerafrau vorher üben, in welche Richtungen sie schwenken muss. Auf ausreichendes Licht und das Vermeiden einer Gegenlichtsituation muss ebenfalls geachtet werden. Aufzeichnung und Schnitt von Videosequenzen Ziel des Kamerabeauftragten ist die Dokumentation von Zwischen- und Endergebnissen. Die Experimente können bereits als Teilsequenzen aufgenommen werden. Diese Methode ist auch sinnvoll, wenn mehrere Unterrichtsstunden an dem Thema gearbeitet wird, sich ein Übergang von einer Sequenz zur nächsten herstellen lässt oder die Versuchsanordnung nicht wiederholt werden kann. Der Filmschnitt kann mit einfacher Schnittsoftware erfolgen. Die Bedienung von Programmen wie dem kostenfreien Windows Movie Maker lernen die Schülerinnen und Schüler in wenigen Minuten. Unterstützung der Wirkung durch den Filmschnitt Gelingt eine gute Vorführung und Dokumentation der Kettenreaktion, kann auf einen Schnitt des Materials verzichtet werden, da der Film seinen Reiz aus der Authentizität bezieht. Sind Ereignisse als Sequenzen aufgenommen worden, kann ein Zusammenschnitt filmdramaturgische Überlegungen einbeziehen. Den Schnitt sollten mindestens zwei Gruppenmitglieder durchführen. Die Schülerinnen und Schüler müssen erkennen, wo die Kettenreaktion zu schnell oder zu langsam abläuft, wo überflüssige Passagen gekürzt oder durch ein Zeitlupentempo verändert werden können. Impulse durch die eigene Arbeit Das Ergebnis der eigenen Arbeit ist der Anlass, weiterführende Fragestellungen zu bearbeiten. Die praktische Erfahrung, die sich nun in einem eigenen Medienkunstwerk spiegelt, kann künstlerische Ebenen aufschließen, deren Verständnis Zugang zu weiteren Werken der zeitgenössischen Kunst eröffnet. Der künstlerische Prozess kann bei den Schülerinnen und Schülern neue Ideen ausgelöst haben, die sie weiter bearbeiten wollen. Reflexion über den Zufall "Man spricht von Zufall, wenn ein Ereignis nicht notwendig oder nicht beabsichtigt auftritt. Umgangssprachlich bezeichnet man ein Ereignis auch als zufällig, wenn es nicht absehbar, vorhersagbar oder berechenbar ist. Zufälligkeit und Unberechenbarkeit oder Unvorhersagbarkeit sind jedoch nicht dasselbe. Als zufällig gelten Ereignisse wie eine Augenzahl beim Würfeln oder das Ergebnis eines Münzwurfs, jedenfalls wenn eine Manipulation ausgeschlossen wurde." ( Artikel "Zufall", Wikipedia ) Zusammenschau des Phänomens Die Unterrichtseinheit greift ein grundlegendes philosophisches und naturwissenschaftliches Problem auf, welches in seiner Vielschichtigkeit historisch in unterschiedlichen Geistes- und Naturwissenschaften bearbeitet worden ist und auf die es keine endgültigen Antworten gibt. Da das Thema an Alltagserfahrungen anknüpft, eignet es sich grundsätzlich für jede Altersstufe und kann in seiner Reflexionstiefe in unterschiedliche Richtungen weitergedacht werden. Die unmittelbaren und vergleichbaren Erlebnisse mit dem Zufall beinhalten die poetische und schicksalhafte Dimension des Lebens und eröffnen den Blick auf grundlegende philosophische Fragestellungen. In Zusammenarbeit mit andern Fächern, in denen ergänzend die Peripherie bearbeitet wird, kann eine Zusammenschau des Phänomens erfolgen.

Schülerinnen und Schüler testen das Phänomen der Serien von gleichen Würfelzahlen mit einer Excel-Simulation und erarbeiten eine rekursive Funktion zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse.Wie wahrscheinlich ist es, beim 100maligen Würfeln mindestens viermal die gleiche Zahl hintereinander zu werfen? Vielen Menschen scheint das "kein Zufall mehr" zu sein und am Würfel oder am Zufallsgenerator stimmt vielleicht etwas nicht, wenn so ein Ereignis eintritt. Ist es bei einem Laplace-Würfel aber wirklich so selten? Dies können begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 8 mit den hier vorgestellten Aufgaben und Materialien untersuchen. Einsatz von Excel Die Schülerinnen und Schüler sollen zunächst selbst Zufallszahlen erzeugen. Sie simulieren Würfelserien und diskutieren ihre Beobachtungen (serien_beim_wuerfeln_aufgaben.rtf). Die Excel-Tabellenblätter "serien_beim_wuerfeln.xls" zur Simulation von Würfelserien und zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit können von der Lehrkraft vorgegeben oder von den Schülerinnen und Schülern selbst in ähnlicher Weise erstellt werden. Wenn den Lernenden das gebrauchsfertige Tabellenblatt zur Verfügung gestellt wird, sollte zuvor diskutiert werden, was dort sinnvollerweise zu berechnen ist. Gegebenenfalls erfolgt eine Einführung in die Arbeit mit der Exceltabelle durch die Lehrperson. Für die vorgegebenen Blätter gilt: Auf dem Tabellenblatt "Würfelsimulation" wird pro Spalte hundertmal gewürfelt. In der Spalte danach wird gezählt, ob viermal die gleiche Zahl hintereinander gefallen ist. In Zeile 121 werden die Anzahlen der 4er-Serien ermittelt und schließlich wird gezählt, wie groß die Häufigkeit von "mindestens eine Viererserie" ist. Auf dem anderen Tabellenblatt werden die Wahrscheinlichkeiten rekursiv für 4er- und 5er-Serien jeweils auf zwei Arten ermittelt. Rekursionsformel gesucht! Dem Wunsch nach einer einfachen Formel, mit der die gesuchten Wahrscheinlichkeit zu berechnen sind, kann nicht nachgekommen werden. Daher müssen die Schülerinnen und Schüler mit der Idee vertraut gemacht werden, nach einer rekursiven Formel zu suchen. Sie sollen dies zunächst selbstständig tun. Gegebenenfalls kann die Lehrperson Tipps geben, zum Beispiel darauf hinweisen, die Anzahl der Würfe zunächst klein zu halten. Man könnte auch die Anzahl der Wiederholungen kleiner machen ("zweimal die gleiche Zahl hintereinander" oder "dreimal"). Außerdem könnte statt Würfeln ein wiederholter Münzwurf betrachtet werden (bei jedem Wurf gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse). Auf solche Vorgaben kann auch im Nachhinein die gefundene Rekursionsformel abgeändert werden. Realität und Simulation Als Test, ob ihre Formel wirklich die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet, können die Schülerinnen und Schüler ihre Ergebnisse mit den Werten der Excel-Simulation vergleichen und bekommen so einen gewissen Anhaltspunkt für die Richtigkeit ihrer Formel. Bei der Simulation sehen sie aber auch, dass durchaus gewisse Schwankungen auftreten können (die Werte für die Häufigkeit, wie oft eine 4er- Serie auftritt, schwanken oft zwischen 25 und 40 von 100).Die Schülerinnen und Schüler sollen Zufallszahlen in einem Excel-Tabellenblatt erzeugen können. Simulationen von Zufallsexperimenten durchführen und auswerten können. eine rekursive Funktion zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten verstehen und eventuell sogar selbst erstellen können. rekursive Funktionen mithilfe einer Tabellenkalkulation auswerten. Hypothesen aufstellen und überprüfen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten.

Mit einer interaktiven Lernumgebung auf der Basis der Tabellenkalkulation Excel erkunden Schülerinnen und Schüler die Monte-Carlo-Methode zur Bestimmung von Flächeninhalten. Ein integriertes Hilfesystem unterstützt die Lernenden beim selbstständigen und kooperativen Arbeiten.Die Monte-Carlo-Methode ist in den vierziger Jahren des 20. Jahrhunderts im Rahmen des Manhattan-Projekts entstanden, um die zufällige Diffusion von Neutronen in spaltbarem Material zu simulieren. Bei der Namensgebung der Methode stand tatsächlich das weltberühmte Casino in Monte-Carlo Pate, denn die ersten Tabellen von Zufallszahlen hat man aus den Ergebnissen der Roulettspiele, die in diesem Casino regelmäßig ausgehängt wurden, gewonnen.Bei der Monte-Carlo-Methode handelt es sich um numerische Verfahren, die mithilfe von Zufallszahlen mathematische Probleme lösen beziehungsweise simulieren. So können Probleme, die deterministischer Art sind, zum Beispiel Berechnungen von Integralen, Berechnung von Summen, im Rahmen einer stochastischen Genauigkeit (Gesetz der großen Zahlen) näherungsweise gelöst werden. Problemstellungen, die probabilistischer Natur sind, zum Beispiel Warteschlangenprobleme, Lagerhaltungskosten, Versicherungsprobleme, können dagegen nur simuliert werden. Im Folgenden wird die Monte-Carlo-Methode genutzt, um Problemstellungen zum Thema Flächeninhalt näherungsweise zu lösen. Voraussetzungen, Ablauf der Unterrichtseinheit, Materialien Die vorliegende Lerneinheit ist zum selbstständigen Arbeiten am Computer konzipiert. Das individuelle Lernen wird durch verschiedene interaktive Elemente unterstützt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Monte-Carlo-Methode erläutern können. den Flächeninhalt eines Kreises mit der Monte-Carlo-Methode näherungsweise berechnen können. erkennen, dass durch die Erhöhung der Anzahl der Zufallspunkte die Wahrscheinlichkeit für das Abweichen des approximativ berechneten Ergebnisses vom algebraisch berechneten Ergebnis abnimmt. mithilfe der Monte-Carlo-Methode den Flächeninhalt unter einer Parabel approximieren können. mithilfe einer Tabellenkalkulation Monte-Carlo-Methoden rechnerisch durchführen können. Thema Bestimmung von Flächeninhalten mit der Monte-Carlo-Methode Autor Thomas Borys Fach Mathematik Zielgruppe ab Klasse 9, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik-AG Zeitraum 2-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl (Einzelarbeit) Software Microsoft Excel Damit alle eingebauten Funktionen genutzt werden können, müssen bei Excel die Makros aktiviert werden. Vor dem Öffnen der Datei muss dazu im Menu "Extras/Optionen", auf der Registerkarte die Makrosicherheit mindestens auf "mittel" gestellt werden. Als Lernvoraussetzungen sind grundlegende Kenntnisse im Umgang mit einer Tabellenkalkulation notwendig, wie zum Beispiel die Eingabe von Rechenoperationen. Weiterführende Kenntnisse, wie das Erzeugen von Zufallszahlen, werden nicht vorausgesetzt. Diese können selbstständig erarbeitet werden. Erarbeitung der notwendigen Kenntnisse im Umgang mit EXCEL Auf der Start-Seite der interaktiven Lerneinheit werden die Schülerinnen und Schüler nach ihren Excel-Kenntnissen gefragt. Je nach Antwort werden sie mit Hyperlinks weiter geleitet. Nach entsprechender Auswahl können die Schülerinnen und Schüler die Eingabe von Zufallszahlen und die Eingabe von Wenn-Funktionen erlernen beziehungsweise bereits Bekanntes vertiefen. Auch steht eine weitere zielorientierte Übung zur Verfügung Zentrale Problemstellung Die Einführung in die Monte-Carlo-Methode erfolgt an Hand der näherungsweisen Bestimmung des Flächeninhalts eines Kreises mit einem Radius Eins. Dazu steht den Schülerinnen und Schülern ein ausführliches Aufgabenblatt zur Verfügung. Unterstützt werden sie unter anderem durch ein interaktives Schaubild, nach dem Erzeugen der Zufallspunkte erscheinen diese auch im Schaubild. Aufgaben zum selbstständigen Arbeiten Zur weiteren Vertiefung der Monte-Carlo-Methode stehen noch sechs weitere Aufgabenblätter zur Verfügung. Die ersten beiden Aufgabenblätter vertiefen die näherungsweise Bestimmung des Flächeninhalts eines Kreises. Des Weiteren wird der Vergleich mit dem algebraischen Ergebnis thematisiert. Die beiden folgenden Arbeitsblätter behandeln die Thematik "Flächeninhalt unter einer Geraden", wobei auch hier der Vergleich mit dem algebraischen Ergebnis möglich ist. Die letzten beiden Aufgabenblätter geben schon einen kleinen Einblick in die Integralrechnung, denn die Schülerinnen und Schüler sollen den Flächeninhalt unter einer Parabel bestimmen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). An dieser Stelle wird die Notwendigkeit der Monte-Carlo-Methode richtig plastisch: Die Lernenden sind durch diese Methode in der Lage, einen Flächeninhalt näherungsweise zu bestimmen, den sie algebraischen noch nicht berechnen können. Makros aktivieren Damit alle eingebauten Funktionen genutzt werden können, müssen bei Excel die Makros aktiviert werden. Vor dem Öffnen der Datei muss dazu im Menü "Extras/Optionen", auf der Registerkarte die Makrosicherheit mindestens auf "mittel" gestellt werden. Dateien mit und ohne Blattschutz Die erste Tabelle (monte_carlo.xls) ist so angelegt, dass die Lehrperson diese komplett ändern kann. Allerdings können auch die Lernenden Dinge verändern, die sie eigentlich nicht ändern sollten. Die zweite Tabelle (monte_carlo_schutz.xls) ist mit dem für Excel üblichen Blattschutz teilweise geschützt, das heißt die Schülerinnen und Schüler können nur auf gewissen Feldern Eintragungen vornehmen, die nicht geschützt sind. Dopfer, G., Reimer, R. Tabellenkalkulation im Mathematikunterricht, Klett Verlag, Stuttgart 1995 Engel, A. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band 1, Klett Studienbücher, Stuttgart 1973 Hermann, D. Monte-Carlo-Integration, in: Stochastik in der Schule, 12 (1), 1992, Seite 18-27

In dieser Unterrichtsstunde zu Medienwirkungstheorien und medialer Gewalt lernen Schülerinnen und Schüler verschiedene Medienwirkungstheorien kennen, nehmen kritisch zu ihnen Stellung und beurteilen die Relevanz der Theorien in der sozialpädagogischen Praxis. Es gibt verschiedene Theorien zum Einfluss medial dargestellter Gewalt auf die Gewaltbereitschaft Jugendlicher. Helfen Sie bei der Entscheidung, wie viel Gewaltdarstellung in Medien Jugendlichen zugemutet werden kann? Die Theorie-Kenntnisse sowie Kenntnisse von Fallbeispielen aus der sozialpädagogischen Praxis, die in dieser Unterrichtsstunde erworben werden, vertiefen die Reflexion des persönlichen Verhaltens der Schülerinnen und Schüler beim Medienkonsum. Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten in arbeitsteiligen Zufallsgruppen den Inhalt der Medienwirkungstheorien, stellen sich die wesentlichen Aspekte der Theorien in Expertenrunden gegenseitig vor und nehmen kritisch zu ihnen Stellung. Des Weiteren bewerten sie, inwiefern Theorien eine Hilfe zur Beurteilung medialer Gewalt in der sozialpädagogischen Praxis sein können. Die Schülerinnen und Schüler lernen eine Medienwirkungstheorie vertieft und weitere Theorien zur Medienwirkung oberflächlich kennen. finden Pro- und Contra-Argumente zu den verschiedenen Medienwirkungstheorien und können diese begründet vortragen. erkennen die begrenzte Einsetzbarkeit der Medienwirkungstheorien in der sozialpädagogoischen Praxis. arbeiten in Zufallsgruppen ergebnisorientiert zusammen und präsentieren sich gegenseitig die Arbeitsergebnisse.

In dieser Unterrichtseinheit erkunden die Lernenden die faszinierende Welt der Quantenphysik und erfahren, dass der Zufall eine zentrale Rolle spielt. Anhand des Doppelspaltexperiments mit Elektronen wird erläutert, wie sich das Verhalten von Quantenobjekten nur noch durch Wahrscheinlichkeiten vorhersagen lässt und wie dies die klassische Physik revolutioniert hat. Die Lernenden sollen die Gesetzmäßigkeiten der normierten Wellenfunktion für Quantenobjekte nachvollziehen und Berechnungen hierzu ausführen. Lösungen zu den Übungsaufgaben stehen hierzu bereit. Die Hinführung zu dem durchaus schwierigen, weil unanschaulichen Thema "Wahrscheinlichkeit in der Quantenphysik" führt einmal mehr über den Doppelspaltversuch mit Elektronen . Der Versuch zeigt in großer Eindeutigkeit, wie sich die Elektronen nach dem Durchgang durch den Doppelspalt auf einem Nachweisschirm verteilen. Das aufgrund des Welle-Teilchen-Dualismus entstehende Interferenzmuster legt eine Auslegung an die Wellentheorie nahe. Den Lernenden muss hier allerdings verdeutlicht werden, dass die Wellenartigkeit mit den physikalischen Gesetzmäßigkeiten beispielsweise von Wasserwellen nichts zu tun hat. Vielmehr ordnet man Quantenobjekten eine Wahrscheinlichkeitswelle zu, was aber nichts anderes heißt, als dass man ein Quantenobjekt mit einer berechenbaren Wahrscheinlichkeit an einem bestimmten Ort finden kann. Die Wahrscheinlichkeit in der Quantenphysik Lange Zeit war sich die "Klassische Physik" sicher, dass alle Ereignisse unausweichlichen Gesetzmäßigkeiten folgen müssen – der Zufall wurde ausgeschlossen! Umso größer war die schockierende Wirkung zu Beginn des 20. Jahrhunderts, als sich in Versuchen zur sich entwickelnden Quantenphysik – wie etwa dem Doppelspalt-Experiment mit Elektronen – der Zufall darin zeigte, dass sich der Ort des Auftreffens eines Elektrons auf einem Nachweisschirm nur mit Wahrscheinlichkeiten angeben ließ. Die daraufhin im Laufe der Jahre entwickelte mathematische Funktion, mit der sich die Welleneigenschaften von Teilchen wie dem Elektron beschreiben lassen, heißt Wellenfunktion . Die Wellenfunktion ist eine weitestgehend abstrakte Formel ohne anschauliche physikalische Bedeutung, weil sie sich nicht direkt beobachten lässt. Mit der Wellenfunktion lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, zum Beispiel ein Elektron an einer bestimmten Stelle zu finden. Quantenobjekte sind für die Schülerinnen und Schüler der Sek II physikalisches Neuland. Dies gilt insbesondere deshalb, weil sie versuchen müssen zu verstehen, dass Mikroobjekte wie Photonen oder Elektronen stets Teilchen als auch Wellenphänomene aufweisen – gleichzeitig aber weder das eine noch das andere sind! Alle Berechnungen und Einordnungen beruhen auf den Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die sich an bekannte Gleichungen der klassischen Wellenlehre anlehnen. Das Schwierige dabei ist, dass man den klassischen Wellenbegriff abstrakt sehen muss – die sogenannte Wahrscheinlichkeitswelle hat mit einer Welle nur insofern etwas zu tun, dass man die Verdichtungen und Verdünnungen beim Interferenzbild als Orte wahrnehmen kann, wo Quantenobjekte mit größerer oder kleinerer Wahrscheinlichkeit gefunden werden können. Vorkenntnisse Physikalische Vorkenntnisse von Lernenden sind in der Sek II in Form der Wellengleichungen aus der Mechanik und der Elektrodynamik bekannt. Die komplexe Thematik bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bei Quantenobjekten werden zahlreiche Fragen an die Lehrkräfte zur Folge haben. Der schwierige Stoff wird vor allem in Kursen der Sek II zum Einsatz kommen, die von Schülerinnen und Schülern mit guten mathematischen Kenntnissen ausgewählt werden. Didaktische Analyse Das Thema "Wahrscheinlichkeit in der Quantenphysik" sollte die Lernenden dahingehend sensibilisieren, sich für schwierige Themen zu interessieren, die bereits jetzt, aber auch in Zukunft den technischen Fortschritt dominieren werden. Methodische Analyse Mit der Wahrscheinlichkeit in der Quantenphysik werden die Lernenden mit einem im Detail sehr schwierigen Stoff in der Sek II konfrontiert. Deshalb sollte man bei der Vermittlung des Stoffes darauf achten, dass die Fakten mithilfe von anschaulichen Abbildungen, Animationen, entsprechenden Videos und ergänzenden Übungsaufgaben so präsentiert werden, dass die grundlegenden Gesetzmäßigkeiten verstanden werden können. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Verhalten von Quantenobjekten nicht mit den ihnen bisher bekannten Abläufen aus der klassischen Physik beschrieben werden kann. können die Gesetzmäßigkeiten der normierten Wellenfunktion für Quantenobjekte nachvollziehen und Berechnungen ausführen. wissen um die Bedeutung der Quantenphysik für die weitere Forschung und der sich daraus ergebenden technischen Anwendungen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler recherchieren selbständig Fakten und Hintergründe im Internet. können die Sachinhalte von Videos, Clips und Applets auf ihre Richtigkeit überprüfen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen durch Paar- und Gruppenarbeit das Zusammenarbeiten als Team. müssen sich mit den Ergebnissen anderer Gruppen auseinandersetzen und lernen so, deren Ergebnisse mit den eigenen Ergebnissen konstruktiv zu vergleichen. erhalten eine gewisse Fachkompetenz, um mit anderen Lernenden, Eltern, Freunden etc. diskutieren zu können.

Am Beispiel der Fußball Europameisterschaft werden in dieser Unterrichtseinheit die Wahrscheinlichkeiten zusammengesetzter Ergebnisse und Ereignisse bestimmt, denn auch im Fußball unterliegt vieles dem Zufall. Nach Beschreibungen der Begriffe "Ergebnis" und "Ereignis" sowie des Wahrscheinlichkeitsbegriffs werden interaktive Übungen mit Fragen rund um das Thema Fußball bearbeitet. Die Fußball Europameisterschaft findet alle vier Jahre statt. In dieser Unterrichtseinheit werden Grundlagen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung erarbeitet und umfassend geübt. Das erste Arbeitsblatt befasst sich zunächst mit möglichen, aber auch unmöglichen Ereignissen. Auch auf einfache Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen zu einstufigen Ergebnissen wird ausführlich eingegangen. Eine Unterscheidung von Laplace-Experimenten und Experimenten, bei welchen Statistiken zu Vorhersagen verwendet werden, findet statt. Abgerundet wird der erste Teil mit einer großen Anzahl von Übungsaufgaben mit Fußballbezug. Auf dem zweiten Arbeitsblatt werden dann mehrstufige Experimente betrachtet. Auch hier werden wieder viele Beispiele aus dem Fußballbereich genutzt. Eine kurze Wiederholung zur Bestimmung von Anzahlen von Kombinationsmöglichen am Ende der Einheit erweitern die Möglichkeiten, Betrachtungen im Fußball mathematisch durchzuführen. Zum Schluss stehen erneut interaktive Übungen bereit. Dem Übenden werden in diesen Übungen stets Rückmeldungen zur Verfügung gestellt. Die Einheit kann auch außerhalb einer Fußball Europameisterschaft eingesetzt werden. Bei Bedarf können die Ländernamen der Mannschaften ausgetauscht werden. Alle Unterrichtssequenzen beinhalten außerdem interaktive Übungen , bei denen die Lernenden ihr Wissen noch einmal anwenden und vertiefen können. Ein Grundlagenwissen aus der Kombinatorik ist Voraussetzung für diese Unterrichtseinheit. Eine kurze Wiederholung hierzu auf dem zweiten Arbeitsblatt soll ermöglichen, umfangreiche Probleme stochastisch auch mit Hilfe von Statistiken bearbeiten zu können. Die Unterscheidung der Begriffe "Ergebnis" und "Ereignis" wird durch Beispiele aus dem Fußballbereich verständlich erklärt. Ebenso der Unterschied zwischen Laplace-Experimenten und Experimenten, wo Statistiken für Wahrscheinlichkeitsvorhersagen hilfreich sind. Mit interaktiven Übungen und einer Vielzahl von Fragen werden Grundlagen geübt. Diese sind angelehnt an Fußballthemen, die aber auch für den "Nichtfußballprofi" verständlich dargestellt werden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler gewinnen Erkenntnisse zu Laplace Experimenten. können Laplace Experimente von anderen Zufallsexperimenten unterscheiden. lernen mathematische Betrachtungen am Beispiel eines Fußballturniers kennen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler recherchieren im Internet. setzen mobile Endgeräte im Unterricht ein. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler steigern ihr Selbstwertgefühl und ihre Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Antwortmöglichkeiten). haben die Möglichkeit, in Teamarbeit Hilfsbereitschaft zu zeigen. lernen auf vielfältige Fragestellungen aus dem Bereich Wahrscheinlichkeitsrechnung adäquat einzugehen.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Wahrscheinlichkeitsverteilungen lernen die Schülerinnen und Schüler über interaktive GeoGebra-Arbeitsblätter die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung kennen.Die Untersuchung von Binomialverteilungen B (n; p) bei wachsendem n führt über den integralen und lokalen Grenzwertsatz zur Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Mit ihr eröffnet sich den Lernenden ein weites Feld von Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik, in der Wirtschaft und den Sozialwissenschaften. Der hier vorgestellte Online-Kurs bietet eine variabel einsetzbare Methode, die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung zu lehren oder zu lernen. In nahezu jedem Lehrbuch werden zur Darlegung der Beweisidee der lokalen und integralen Näherungsformel von de Moivre-Laplace zahlreiche Histogramme und Dichtekurven präsentiert. Der Einsatz der mit der kostenfreien dynamischen Geometriesoftware GeoGebra entwickelten Applets schafft hier Visualisierungsmöglichkeiten, die auf dem Papier und an der Tafel nicht realisierbar sind und das Verständnis erleichtern.Erfahrungsgemäß entdecken die Schülerinnen und Schüler sehr schnell alleine die Bedienungsmöglichkeiten der Applets und erkennen, welche unabhängigen Objekte bewegt werden können, so dass auf ausführliche Bedienungshinweise verzichtet werden kann. Zu Beginn der Stunde hat sich bei computergestützten Unterrichtseinheiten eine "Austobphase" bewährt, in der die Lernenden etwa fünf Minuten lang einfach alle Knöpfe und Regler eines Programms ausprobieren dürfen, bevor sie dann (nach einem "Reset") zielgerecht die einzelnen Arbeitsanweisungen befolgen. Voraussetzungen Stochastische Vorkenntnisse Erforderliche mathematische Voraussetzung für den Kurs ist die Behandlung der Bernoulli-Kette und binomialverteilter Zufallsgrößen mit den grundlegenden Begriffen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Auch die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion mit Histogramm und Dichtefunktion sowie die Standardisierung von Zufallsgrößen sollten bekannt sein. Diese Vorkenntnisse werden im Online-Kurs noch einmal kurz als Vorbereitung für die folgenden Ausführungen wiederholt. Integralrechnung Neben diesen stochastischen Vorkenntnissen sind zur Behandlung der Gaußschen Integralfunktion und ihrer Eigenschaften auch Erfahrungen aus der Analysis, insbesondere der Integralrechnung, hilfreich. Einsatz im Unterricht Für den Online-Kurs bieten sich verschiedene Einsatzmöglichkeiten an: begleitende dynamische Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Behandlung im Unterricht selbstständige Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffs, eventuell in Übungsstunden oder als Hausaufgabe Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte (zum Beispiel vor Prüfungen) Partnerarbeit oder Präsentation Im Idealfall arbeiten die Schülerinnen und Schüler selbstständig in Einzel oder Partnerarbeit an einem Computer. Die Applets können natürlich auch mit einem Beamer oder im Computerraum durch Spiegelung des Lehrer-Bildschirms in einem fragend-entwickelnden Unterricht oder einem Lehrervortrag präsentiert werden. Materialien zur Binomial- und Normalverteilung Interaktive GeoGebra-Applets Dynamische Arbeitblätter eröffnen neue Wege des Lehrens und Lernens. Die Schülerinnen und Schüler können mithilfe der Maus ("Anfassen" von Punkten oder per Schieberegler) oder der Tastatur am Computer die Parameter der verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen kontinuierlich verändern und so deren dynamische Entwicklung und Annäherung verfolgen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Kontrollaufgaben mit einblendbaren Lösungen dienen der eigenständigen Lernzielkontrolle. Textgestaltung, "Mouse-Over-Effekte" und Popups Der Text der Webseiten wurde bewusst prägnant gehalten, um einen selbstständigen Hefteintrag zu erleichtern. Alle wichtigen Begriffe sind (wie im Tafel-Unterricht) rot hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet (Mouse-Over-Effekt). Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt. Aufgaben und Antworten Die Kontrollaufgaben sind kurz und einfach zu bearbeiten, um die Schülerinnen und Schüler durch ein schnelles und erfolgreiches Fortkommen zu motivieren. In nachfolgenden oder begleitenden Übungen sollte der Schwierigkeitsgrad mit reorganisatorischen und Transferaufgaben erhöht werden. Die Antworten auf die Kontrollfragen können durch Anklicken der abschließenden Frage- oder Ausrufezeichen angezeigt werden, was sich bei den Schülerinnen und Schülern schnell herumspricht. Hier muss an die Arbeitsdisziplin der Lernenden nach dem Motto "erst denken, dann klicken" appelliert werden.Die Schülerinnen und Schüler wiederholen die Binomialverteilung. verstehen die Entstehung der standardisierten Dichtefunktion. können die integrale Näherungsformel von de Moivre-Laplace herleiten und anwenden. verstehen mit den Kenntnissen der Integralrechnung die Entstehung der Gaußschen Integralfunktion. verstehen die Herleitung der lokalen Näherungsformel und ihre Abgrenzung zur integralen Näherungsformel. können die lokale Näherungsformel anwenden. können die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung nachvollziehen und die Normalverteilung anwenden. erkennen die Bedeutung des Zentralen Grenzwertsatzes. Stochastische Vorkenntnisse Erforderliche mathematische Voraussetzung für den Kurs ist die Behandlung der Bernoulli-Kette und binomialverteilter Zufallsgrößen mit den grundlegenden Begriffen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Auch die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion mit Histogramm und Dichtefunktion sowie die Standardisierung von Zufallsgrößen sollten bekannt sein. Diese Vorkenntnisse werden im Online-Kurs noch einmal kurz als Vorbereitung für die folgenden Ausführungen wiederholt. Integralrechnung Neben diesen stochastischen Vorkenntnissen sind zur Behandlung der Gaußschen Integralfunktion und ihrer Eigenschaften auch Erfahrungen aus der Analysis, insbesondere der Integralrechnung, hilfreich. Für den Online-Kurs bieten sich verschiedene Einsatzmöglichkeiten an: begleitende dynamische Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Behandlung im Unterricht selbstständige Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffs, eventuell in Übungsstunden oder als Hausaufgabe Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte (zum Beispiel vor Prüfungen) Partnerarbeit oder Präsentation Im Idealfall arbeiten die Schülerinnen und Schüler selbstständig in Einzel oder Partnerarbeit an einem Computer. Die Applets können natürlich auch mit einem Beamer oder im Computerraum durch Spiegelung des Lehrer-Bildschirms in einem fragend-entwickelnden Unterricht oder einem Lehrervortrag präsentiert werden. Interaktive GeoGebra-Applets Dynamische Arbeitblätter eröffnen neue Wege des Lehrens und Lernens. Die Schülerinnen und Schüler können mithilfe der Maus ("Anfassen" von Punkten oder per Schieberegler) oder der Tastatur am Computer die Parameter der verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen kontinuierlich verändern und so deren dynamische Entwicklung und Annäherung verfolgen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Kontrollaufgaben mit einblendbaren Lösungen dienen der eigenständigen Lernzielkontrolle. Textgestaltung, "Mouse-Over-Effekte" und Popups Der Text der Webseiten wurde bewusst prägnant gehalten, um einen selbstständigen Hefteintrag zu erleichtern. Alle wichtigen Begriffe sind (wie im Tafel-Unterricht) rot hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet (Mouse-Over-Effekt). Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt. Aufgaben und Antworten Die Kontrollaufgaben sind kurz und einfach zu bearbeiten, um die Schülerinnen und Schüler durch ein schnelles und erfolgreiches Fortkommen zu motivieren. In nachfolgenden oder begleitenden Übungen sollte der Schwierigkeitsgrad mit reorganisatorischen und Transferaufgaben erhöht werden. Die Antworten auf die Kontrollfragen können durch Anklicken der abschließenden Frage- oder Ausrufezeichen angezeigt werden, was sich bei den Schülerinnen und Schülern schnell herumspricht. Hier muss an die Arbeitsdisziplin der Lernenden nach dem Motto "erst denken, dann klicken" appelliert werden.

Schülerinnen und Schüler lernen mithilfe des Simulationsprogramms "Schrödingers Schlüssel" wie Informationen mit Quanten abhörsicher verschlüsselt und Abhörversuche entlarvt werden können.Seit Jahrtausenden versuchen Menschen, den Inhalt von Botschaften vor ungebetenen Abhörern zu verbergen. Dies ist in den Zeiten des Internet besonders wichtig und alltagsrelevant, zum Beispiel für eine sichere Übermittlung von Passwörtern und Bankgeheimnissen. Mit den heute verfügbaren numerischen Werkzeugen kann im Prinzip jeder Code in endlicher Zeit geknackt werden, auch wenn diese Zeit - zum Beispiel bei der Verschlüsselung mit großen Primzahlen - Jahrmilliarden in Anspruch nehmen würde. Das hört sich beruhigend an. Allerdings erwartet man, dass diese Zeit in einigen Jahren nur noch wenige Stunden betragen könnte. Erste Schritte auf dem Weg zu den dafür benötigten Quantencomputern, wie die Präparation einzelner Quantenbits, sind bereits gelungen. Die Methode der Quantenverschlüsselung ermöglicht die erste absolut abhörsichere Übertragung von Daten in der Geschichte der Informationsübertragung. Es gibt bereits entsprechende kommerzielle Geräte.Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand einiger Bits (selbst gewählt oder mithilfe des Programms Schrödingers Schlüssel) zeigen können, wie man einen Zufallscode mit einer Polarisationsbasis übermitteln kann. zeigen können, dass diese Übermittlung nicht abhörsicher ist. mithilfe des Programms Schrödingers Schlüssel zeigen können, wie die Übermittlung von Zufallsbits mit zwei Polarisationsbasen funktioniert. mithilfe des Programms demonstrieren können, dass eine abhörende Person durch den Vergleich von Kontrollbits über kurz oder lang "auffliegt". Thema Quantenkryptographie - Simulationsprogramm zur Quantenverschlüsselung Autor Dr. Josef Küblbeck Fach Physik Zielgruppe Sekundarstufe II Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Windows XP-Rechner; im Idealfall Computerraum mit Demonstrationsrechner und Beamer; Rechner für jeweils 1-3 Lernende Vor dem Einsatz des Programms "Schrödingers Schlüssel" sollten die Schülerinnen und Schüler wissen, wie und mit welchen Wahrscheinlichkeiten Photonen beim Auftreffen auf einen Polarisationsfilter umpräpariert werden. Das vom Autor entwickelte Programm steht bei Lehrer-Online kostenfrei zum Download zur Verfügung. Wie üblich wird darin der Sender Alice, der Empfänger Bob und der Abhörer Eve genannt. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt einen Screenshot aus "Schrödingers Schlüssel": Schülerinnen und Schüler können zwischen der Übermittlung mit einer oder zwei Basen wechseln, den Abhörer Eve wahlweise hinzuschalten und die durch Eve verursachten Übermittlungsfehler aufdecken. Das Downloadpaket enthält neben dem Programm auch eine detaillierte Anleitung mit Erläuterungen zum Verschlüsselungsverfahren. Weitere ausführliche Informationen und interaktive Übungen zur Quantenkryptographie finden Sie auf der Webseite QuantumLab (siehe Zusatzinformationen). Scarani, Valerio Physik in Quanten, Eine kurze Begegnung mit Wellen, Teilchen und den realen physikalischen Zuständen, 2007, Spektrum Verlag Singh, Simon Geheime Botschaften, Die Kunst der Verschlüsselung von der Antike bis in die Zeiten des Internet, 2000, Hanser Verlag.

Diese Unterrichtseinheit thematisiert den Verkauf von betrieblichem Anlagevermögen. Die Schülerinnen und Schüler lernen, wie man die Differenz von Verkaufserlös und Buchwert erfasst.Der Verkauf von betrieblichem Anlagevermögen ist nach mehrjähriger Nutzung des Anlagegutes eine Möglichkeit für das Unternehmen, ohne fremde Hilfe der Banken an frisches Geld zu gelangen. Der fachliche Schwerpunkt dieser Unterrichtssequenz liegt in der selbstständigen Ermittlung und Erfassung der Differenz zwischen Verkaufserlös und Buchwert von betrieblichem Anlagevermögen am Beispiel eines Firmen-PKWs. Dabei ist es wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass Verkaufserlös und Buchwert in der betrieblichen Praxis oftmals unterschiedlich hoch sind und nur in seltenen Zufällen übereinstimmen. Anlagenwirtschaft Thematisch ist diese Unterrichtseinheit im Bereich der Anlagenwirtschaft angesiedelt. Die Lernenden verfügen idealerweise bereits über Fachkenntnisse zum Kauf eines Anlagegutes sowie dessen Buchung, nehmen Abschreibungen auf Sachanlagen mittels verschiedener Methoden vor und können die Notwendigkeit von Abschreibungen begründen. In dieser Sequenz beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit dem Verkauf von Anlagegütern, dessen Buchung sowie den entstehenden Folgen. Ablauf der Unterrichtseinheit Ablauf der Unterrichtseinheit "Verkauf von Anlagevermögen" Hier wird der Verlauf der Unterrichtseinheit "Verkauf von betrieblichem Anlagevermögen" mit Hinweisen auf die Arbeitsmaterialien Schritt für Schritt erläutert. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass der Verkauf von gebrauchtem Anlagevermögen für das Unternehmen eine Möglichkeit darstellt, um aus eigener Kraft frisches Geld zu erhalten. berechnen die Differenz von Verkaufserlös und Buchwert, indem sie dies beispielhaft am Verkauf eines Firmen-PKWs einer GmbH durchführen und in ein Schema eintragen. trainieren das Präsentieren vor einer Gruppe. beurteilen die Entstehungsgründe für die Abweichungen von Buchwert und Verkaufserlös kritisch, indem sie ihre Ergebnisse interpretieren. Vorwissen der Lernenden Ein fiktives Unternehmen ist auf der Suche nach frischem Geld auf Ideen aus der Belegschaft angewiesen. Die Schülerinnen und Schüler versetzen sich in die Lage der Auszubildenden des Unternehmens und sollen Ideen zur Gewinnung von frischen Geldern liefern (AB01 am Overheadprojekter auflegen). Dadurch soll das Vorwissen der Schülerinnen und Schüler erfragt werden. Die Ideen der Lernenden werden an der Tafel festgehalten. Erste Phase Der Arbeitsauftrag für die Erarbeitungsphase folgt der Methode des kooperativen Lernens "Partnerpuzzle" (AB02). Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten in Einzelarbeit zwei verschiedene Fälle: Verkaufserlös für den Firmen-PKW kleiner gleich Buchwert (Schülergruppe A, AB03); Verkaufserlös größer gleich Buchwert (Schülergruppe B, AB04). Die Lernenden vervollständigen den Buchungssatz für den Verkauf des Anlagegutes sowie die dazugehörige wertmäßige Erfassung als Ertrag beziehungsweise Verlust aus dem Abgang von Anlagevermögen auf dem vorbereiteten Arbeitsblatt. Zweite Phase In der zweiten Phase vergleichen zwei Schülerinnen und Schüler mit derselben Aufgabe die Ergebnisse ihrer Rechnung. Damit werden die Lernenden Experten in jeweils einem Fall. Sollte sich während der Erarbeitungsphase zeigen, dass die Schülerinnen und Schüler bei der Bewältigung der Aufgabe Probleme haben, wird ihnen eine "Hilfebox" mit einem fertigen Rechenbeispiel zur Verfügung gestellt. Dritte Phase In der dritten Phase erklärt nun jede Schülerin und jeder Schüler der Sitznachbarin oder dem Sitznachbarn die Ermittlung und Erfassung der Differenz von Verkaufserlös und Buchwert des Firmen-PKWs und die damit verbundenen Folgen für das Unternehmen. Am Ende dieser Phase haben beide Partner voneinander das gelernt, was die jeweilige Expertin beziehungsweise der jeweilige Experte ihnen vorgestellt hat. Die Lernenden haben für die Erarbeitung 15 Minuten Zeit. Dabei können sie selbstständig entscheiden, wann sie von Phase zu Phase wechseln. Ergebnisse Zufällig ausgewählte Schülerinnen und Schüler stellen ihre Ergebnisse in der Klasse mittels Vorlage (AB05, AB06) am Overheadprojektor vor. Festigung Um das Erlernte zu festigen, bearbeiten die Schülerinnen und Schüler eine abgewandelte Ausgangssituation in Einzelarbeit (Hausaufgabe).

Arbeits- und Gesundheitsschutz ist eine gemeinsame Anstrengung vieler Beteiligten, die sich als Investition in die Gesundheit und Unversehrtheit der Arbeitnehmer bezahlt macht. Umso wichtiger ist es, dass jeder Beschäftigte - auch bereits als Berufseinsteiger - darüber Bescheid weiß, was unter betrieblichem Arbeitsschutz zu verstehen ist und wie dieser im eigenen Betrieb umgesetzt wird.Der Arbeitsalltag in Deutschland ist im Laufe der letzten Jahrzehnte immer sicherer geworden. Niedrige Unfallquoten und ein wirksamer Schutz vor arbeitsbedingten Erkrankungen sind jedoch kein Zufall, sondern das Ergebnis einer gezielten und breit gefächerten Präventionsarbeit. An ihr sind viele Menschen beteiligt: Unter anderem die Arbeitsschutzexperten der Berufsgenossenschaften, Unfallkassen und Gewerbeaufsichtsämter, die Unternehmer selbst und alle Betriebsangehörigen, die sich vor Ort für Sicherheit und Gesundheitsschutz einsetzen.Wer ins Berufsleben startet, freut sich in der Regel auf diesen neuen Lebensabschnitt: Das erste eigene Gehalt bedeutet einen Schritt in Richtung finanzielle Unabhängigkeit. Dass einem während der Arbeitszeit ein Unfall passieren oder man wegen ihr krank werden könnte - daran denken die wenigsten Berufsanfänger. Glücklicherweise tun das andere für sie - und zwar mit Erfolg, wie die sinkenden Unfallzahlen der letzten Jahrzehnte zeigen. Im Rahmen dieses Unterrichtsmaterials werden Antworten auf folgende Fragen gegeben: Was versteht man unter betrieblichem Arbeitsschutz? Wer sind die Akteure innerhalb der betrieblichen Arbeitsschutzorganisation?Die Schülerinnen und Schüler erkennen den Stellenwert des Themas "Arbeitssicherheit und Gesundheitsschutz im Betrieb". verstehen, warum die betriebliche Arbeitsschutzorganisation für die Sicherheit im Berufsalltag unerlässlich ist. diskutieren über das Thema "Arbeits- und Gesundheitsschutz" und greifen dabei auf vorhandenes Wissen und eigene Erfahrungen zurück. gehen mit einem Fragebogen aktiv auf die Kollegen und Funktionsträger in ihrem Betrieb zu, recherchieren Informationen und bauen damit Hemmschwellen ab.