Die Einführung des Vektorbegriffs und damit die Vektorrechnung wird in dieser Unterrichtseinheit durch dreidimensionale Animationen mit GeoGebra unterstützt und somit die Anschaulichkeit erhöht.Die hier vorgestellte Lernumgebung hilft den Schülerinnen und Schülern der Oberstufe, die komplexe Problematik der Vektorrechnung schrittweise und weitgehend selbstständig zu erarbeiten. Die Lernenden erkennen dabei den Umgang mit Vektoren als wichtiges Mittel zur Darstellung geometrischer (insbesondere linearer) Gebilde und zur Lösung geometrischer Aufgaben. Die Unterrichtseinheit steht als interaktives Arbeitsblatt mit sechs Übungen zur Verfügung und kann unter diesem Link bearbeitet werden. Die im Material integrierten GeoGebra-Dateien stehen für Sie als Lehrkraft zusätzlich als Download zur Verfügung. So können die Dateien auch über die interaktiven Arbeitsblätter hinaus verwendet werden. Passend zu dieser Einheit gibt es vom Autor weitere interaktive Arbeitsmaterialien zu den folgenden Themen: Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation von Vektoren und das Skalarprodukt Kreuzprodukt von Vektoren Spatprodukt von Vektoren Anwendung der Vektorrechnung Der hier vorgestellte interaktive Vektorkurs soll die Grundlage für die Arbeit mit Vektoren in der Oberstufe legen. Der Kurs führt die Schülerinnen und Schüler über einzelne Kapitel und interaktive Übungen zum sicheren Umgang mit der Vektorrechnung. Zunächst wird der Vektorbegriff erläutert und anschließend die Definition eines Vektors beschrieben. Dieser wird dann zwei- und dreidimensional anhand verschiedener Beispiele und Veranschaulichungen erläutert und vertieft. Mithilfe von vier Übungen werden die Inhalte gefestigt. Zu den Übungen stehen jeweils Lösungen für die Lernenden bereit. Im Anschluss erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler noch die Ortsvektoren und Repräsentanten. Hier geht es um die Vermittlung der Einsicht, dass alle Ortsvektoren durch unendlich viele Repräsentanten im Raum dargestellt werden können. Die Ermittlung von Repräsentanten mittels vorgegebener Anfangs- beziehungsweise Endpunkte ist der Schwerpunkt der dazugehörigen interaktiven Übungen. Für diesen Themenabschnitt stehen zwei Übungen bereit. Die Lernenden können die Arbeitsblätter in Einzel- oder Paararbeit nutzen. Vorwissen und technische Voraussetzungen Bei der Einführung des interaktiven Arbeitsblattes sollte der Umgang mit GeoGebra erläutert werden, falls die Software den Lernenden nicht bekannt ist. Diese kann zum Beispiel mithilfe eines Beamers durchgeführt werden. Für die Nutzung der Übungen zur Einführung der Vektorrechung bedarf es Tablets oder Computer mit einer Internetverbindung, da die Informationstexte, Grafiken, Videos, Applets und 3D-Animationen in einer HTML-Seite eingebunden sind. Alle 3D-Konstruktionen (die mit dem 3D Rechner von GeoGebra erstellt worden sind) können mit der GeoGebra-App auch in Augmented Reality betrachtet werden. So kann man diese Konstruktionen direkt in den Klassenraum holen. Fachbezogene Kompetenzen für den Grundkurs Die Schülerinnen und Schüler lernen die Begriffe Koordinatensystem, Vektor und Betrag eines Vektors kennen. lernen die Begriffe Ortsvektor und Repräsentant eines Vektors kennen. berechnen den Betrag eines Vektors und bestimmen Ortsvektoren und Repräsentanten. Erweiterte Lernziele für den Leistungskurs Die Schülerinnen und Schüler wiederholen eigenverantwortlich Grundkenntnisse zu Vektoren. interpretieren mithilfe des Computers räumliche Darstellungen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Vektordarstellungen mithilfe des Computers oder Tablets. verwenden dynamische Geometriesoftware. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien).

Eine genaue Beschreibung des scheinbar so einfachen Sachverhaltes der Wurfbewegungen erweist sich als gar nicht so einfach. Interaktive Applets können durch die dynamische Darstellung der geometrischen Zusammenhänge das Verständnis jedoch erheblich erleichtern.Die Flugbahn eines Balles oder eines Steines gehören zu den alltäglichen Erfahrungen aller Schülerinnen und Schüler. Die zugrunde liegenden Wurfbewegungen und Bahnformen stellen dabei einen zentralen Aspekt der klassischen Mechanik dar, der Ausgangspunkt einer eigenen Disziplin ist, der Ballistik. In der hier vorgestellten Unterrichtseinheit werden der waagrechte, der lotrechte und als allgemeiner Fall der schiefe Wurf durch eine Vielzahl von interaktiven Applets erforschbar gemacht und die Gestalt der Bahnformen mathematisch hergeleitet und beschrieben. Welchen Einfluss dabei der Luftwiderstand spielt und in welchen Fällen er außer Acht gelassen werden darf, wird ebenfalls ausführlich beschrieben und an konkreten Aufgabenstellungen erprobt. Als wichtiges Grundprinzip steht in der gesamten Unterrichtseinheit das eigenständige und eigenverantwortliche Arbeiten der Schülerinnen und Schüler im Vordergrund. Der hier vorgestellte Online-Kurs wurde mit dem österreichischen Bildungssoftware Preis L@rnie 2006 ausgezeichnet.Eine Behandlung des Themas "Wurfbewegungen und Bahnformen" ist in den meisten Fällen nur in der vereinfachten Form unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes möglich. Eine exaktere Formulierung unter Berücksichtigung der Reibung stößt nämlich schnell an die Grenzen der mathematischen Möglichkeiten der Schüler und Schülerinnen. Doch mit interaktiven Java-Applets ist es durchaus möglich, ein intuitives Verständnis der unterschiedlichen Bahnkurven zu entwickeln. Durch erforschendes Lernen sollen die Schülerinnen und Schüler viele verschiedene Würfe simulieren und deren Eigenschaften studieren. Als wichtige Bemerkung soll noch angeführt werden, dass Simulationen am Computer prinzipiell ein reales Experiment nicht ersetzen können und sollen. Aus didaktischer Sicht sollte keinesfalls auf einige einfache Demonstrationen zu diversen Bahnformen verzichtet werden. Eine Simulation am Computer ermöglicht aber oft eine individuellere Auseinandersetzung mit dem Thema und ist vielfach wesentlich leichter durchzuführen als die Messung einer Bahnkurve unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes. Hinweise zur Lernumgebung Tipps zur Behandlung des schiefen Wurfes mit Luftwiderstand und allgemeine Hinweise zum Einsatz der Materialien, Screenshots aus der Lernumgebung und eine Übersicht der Inhalte Die Schülerinnen und Schüler sollen das Unabhängigkeitsprinzip wiedergeben können. den lotrechten und waagerechten Wurf als Spezialfall des schiefen Wurfs klassifizieren können. die Gründe für das Außerachtlassen der Reibung verstehen. wichtige Kenngrößen wie Wurfweite, Wurfhöhe oder Wurfdauer beschreiben und berechnen können. die Unterschiede im (theoretischen) Fall ohne Reibung und im Fall mit Reibung beschreiben können. die verschiedenen Ansätze für die Berücksichtigung des Luftwiderstandes (Stokes, Newton) angeben können. das Verhalten bei komplementären Wurfwinkeln beschreiben können. die Gestalt der Flugbahn angeben können. die Vielfalt der Anwendungsmöglichkeiten der Wurfgesetze im Alltag erkennen. Thema Wurfbewegungen mit GeoGebra Autor Andreas Lindner Fach Physik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 4-6 Stunden (bei Vertiefung auch mehr) Fachliche Voraussetzungen Grundkenntnisse über Vektorrechnung, Zusammenhang Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung, Winkelfunktionen, Differential- und Integralrechnung, Differentialgleichungen Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Schülerin oder Schüler, Internetbrowser, Java Runtime Environment (Version 1.4.2 oder höher, kostenfreier Download aus dem Internet) Software Die Mathematiksoftware ist zum Betrachten der Arbeitsblätter nicht Voraussetzung, steht aber zum Erstellen von eigenen Konstruktionen kostenfrei zur Verfügung. Die interaktiven Applets bilden das Kernstück dieser Unterrichtseinheit. Zu jedem Applet sind konkrete Aufgabenstellungen formuliert, sodass die Schülerinnen und Schüler durch die Lernumgebung geführt werden. Für die gestellten Aufgaben gibt es immer eine schriftliche oder grafische Lösung. Bei anderen Aufgabenstellungen ist die Lösung oder ein korrekter Lösungsweg direkt aus der Konstruktion ersichtlich. Beim Design der Applets wurde darauf geachtet, dass bei den Aufgabenstellungen die zu verändernden Objekte farblich mit den jeweiligen Begriffen im Fließtext übereinstimmen. Zu einem besseren Verständnis wird der Darstellung der Bahnkurve ohne Reibung immer die Darstellung unter Berücksichtigung der Reibung gegenübergestellt, um so die Unterschiede in Wurfweite, Wurfhöhe und Wurfdauer zu verdeutlichen. Doch bleibt es der Schwerpunktsetzung der Lehrkraft überlassen, auf einzelne Teile des Kurses zu verzichten. So wird eine Behandlung der Wurfbewegungen durchaus auch ohne ein Eingehen auf den Luftwiderstand und die entsprechenden Differentialgleichungen möglich sein, ohne dass deswegen das Verständnis des restlichen Teils der Lernumgebung beeinträchtigt wird. Für die Behandlung des schiefen Wurfes mit Luftwiderstand sei noch angemerkt, dass die Bahnkurve in diesem Fall nicht durch eine geschlossene Kurve angegeben werden kann, sondern es muss eine Fallunterscheidung für die Aufwärts- und Abwärtsbewegung getroffen werden. Der Punkt R beziehungsweise S stellt dabei die bewegte Masse dar, wobei der Weg als Spur gezeigt werden kann. Bei der Lösung der entsprechenden Differentialgleichung muss, um sie überhaupt lösen zu können, schon eine Vereinfachung vorgenommen werden; eine exakte analytische Lösung existiert nicht. Eine näherungsweise Lösung könnte über ein Runge-Kutta-Verfahren ermittelt werden, was aber in dieser Unterrichteinheit nicht durchgeführt wird. Bei allen Berechnungen, die durchgeführt werden sollen, stehen die benötigten Formeln oben auf den jeweiligen Seiten der Lernumgebung zur Verfügung. Alle Umformungen und Berechnungen sind in der Tradition von Lehrbüchern vorgerechnet und können von den Schülerinnen und Schülern nachvollzogen werden. Zur Vertiefung können von der Lehrkraft jederzeit Rechenbeispiele in den Unterricht eingebaut werden, die dann mit den vorgegebenen Formeln gelöst werden können. Wichtige Zusammenfassungen, Erkenntnisse und mathematische Formeln werden in Kästchen deutlich hervorgehoben. Einleitung Durch ein Beispiel aus der Praxis (Kugelstoßen) wird das Problem thematisiert. Unabhängigkeit Interaktives Applet für ein einfaches Erklärungsmodell zum Zustandekommen einer Wurfparabel Freier Fall Interaktives Applets zum freien Fall ohne und mit Reibung Lotrechter Wurf Interaktives Applet Waagerechter Wurf Interaktives Applet Schiefer Wurf Interaktives Applets zum schiefen Wurf ohne und mit Reibung sowie Detailinformationen zu den Differentialgleichungen Berechnungen Wurfzeit (Herleitung der Wurfzeit), Wurfweite (Herleitung der Wurfweite, interaktives Applet zum Komplementärwinkel), Wurfparabel (Herleitung der Wurfparabel samt Scheitel, interaktives Applet), Geschwindigkeit (Berechnung der Bahngeschwindigkeit), Ergebnisse (Zusammenfassung) Beispiel Interessantes Beispiel samt Lösung zum Überprüfen des eigenen Verständnisses, Interaktives Applet Übungen Interaktives Applet, Arbeitsaufgabe mit GeoGebra (Übung 1); Interaktives Applet, Simulation von diversen Wurfbewegungen (Übung 2); Interaktives Applet; konkretes Beispiel aus der Sportwelt (Übung 3)

In der folgenden Unterrichtseinheit wird der Einstieg in die Vektoraddition anhand von statischen Kräften für die Sekundarstufe I vorgestellt. Dabei wird ausgehend von einfachen Beispielen gezeigt, wie zwei oder mehrere an einem gemeinsamen Punkt angreifende Kräfte mittels einer vektoriellen Aneinanderreihung durch Kräfteparallelogramme zu einem resultierenden Kraftvektor zusammengefasst werden können.Die Unterrichtseinheit dient dem Einstieg in die Vektoraddition am Beispiel von Kräften im Physikunterricht der Klasse 8 bis 10. Mit einer zeichnerischen Lösung unter Zuhilfenahme gegebener Größen wie Länge der Kraftvektoren im entsprechenden Maßstab und den jeweiligen Winkeln zwischen den Kraftvektoren lernen Schülerinnen und Schüler den resultierenden Kraftvektor selbst zu konstruieren. Mit einer Computersimulation (Vorschläge siehe externe Links) lassen sich die eigenen Ergebnisse kontrollieren und durch Veränderung von Beträgen, Richtungen und gegebenenfalls der Zahl von Einzelkräften nahezu beliebig erweitern. Es wäre von großem Vorteil, wenn dazu jedem Lernenden ein Computer zur Verfügung stehen würde.Der Begriff der Kraft als vektorielle Größe kann mithilfe von Arbeitsblatt 01 eingeführt oder wiederholt werden. Kurze Beschreibungstexte und Abbildungen zeigen die Addition von gleichgerichteten Kräften, die Addition von entgegengesetzt gerichteten Kräften, dem Kräfteparallelogramm bei Kräften unterschiedlicher Richtung sowie die Zerlegung von Kräften. Die Schülerinnen und Schüler wissen, dass zu einer Kraft sowohl der Betrag als auch die Richtung und die Orientierung längs der Richtung gehören. Sie haben bereits erläutert, wie sich zwei Kräfte zu einer Gesamtkraft zusammensetzen lassen, sehen aber in den Augen der Klasse immer noch jenes Flackern, welches untrüglich ein gewisses Maß an Unverständnis signalisiert? Dann ist der Zeitpunkt für den Einsatz dieser Unterrichtsstunde gekommen! Vereinbaren Sie für die nächste Physikstunde ein Treffen im Computerraum. "Freies Spielen" mit der Simulation Es ist wichtig, dass jede Schülerin und jeder Schüler einen eigenen PC zur Verfügung hat, weil sonst der gemeinsame Lernfortschritt nicht garantiert ist. Im einfachsten Fall gehen Sie auf die Website von PhET und lassen die Schülerinnen und Schüler mit der Simulation "spielen".Die Schülerinnen und Schüler können in einfachen Zusammenhängen Kräfte als Vektoren darstellen und Darstellungen mit Kraftvektoren interpretieren. stellen Daten (Summenkraft) in sinnvoll skalierten Diagrammen von Hand und mit digitalen Werkzeugen angemessen präzise dar.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Drehung von Vektoren" ermöglichen interaktive dynamische Arbeitsblätter den Schülerinnen und Schülern einen eigenständigen Zugang zu mathematischen Inhalten. Durch Experimentieren und systematisches Probieren gelangen sie zum Zusammenhang zwischen den Koordinaten von Ur- und Bildvektor bei der Drehung um 90 beziehungsweise -90 Grad.Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit "Drehung von Vektoren mit GeoGebra" bietet neben einer mit GeoGebra entwickelten geometrischen Veranschaulichungs- und Experimentierumgebung eine javascript-basierte algebraische Übungsmöglichkeit zur Unterrichtsdifferenzierung. Eine zusätzliche, nicht zu unterschätzende Motivation während der Übungsphase bietet ein Wettbewerb, bei dem die Schülerinnen und Schüler ihre erreichte Punktezahl in eine Highscore-Liste eintragen können. Die Grundlage der Unterrichtseinheit bilden fünf interaktive Online-Arbeitsblätter, die es ermöglichen, Geometrie und Algebra in neuer Art und Weise miteinander zu verbinden.Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits Kenntnisse von der Koordinatendarstellung eines Vektors besitzen. Ferner sollte die Abbildung durch Drehung grundlegend im Unterricht behandelt worden sein. Die Unterrichtseinheit basiert auf HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die dynamische Veranschaulichung realisiert werden kann, muss Java 1.4 (oder höher) auf den Rechnern installiert sein. Unterrichtsverlauf Beschreibung der Unterrichtsstunden und Hinweise zum Einsatz der Materialien (Online-Materialien, Arbeitsblätter, Hausaufgaben) Die Schülerinnen und Schüler entdecken durch systematisches Probieren, Veranschaulichung und schrittweise Abstraktion den Zusammenhang von Urvektorkoordinaten und Bildvektorkoordinaten bei der Drehung um 90 beziehungsweise -90 Grad selbstständig. können die gewonnenen Erkenntnisse auf unterschiedliche Aufgaben anwenden. Funktionsweise des dynamischen Arbeitsblatts Mit dem Button "Aufgabe erstellen" werden die Koordinaten eines beliebigen Vektors erzeugt. Im dynamischen Arbeitsblatt kann nun dieser Vektor durch Bewegen des Punktes P gezeichnet werden. Anschließend kann dieser Vektor gedreht und die Koordinaten des Bildvektors können abgelesen werden. Diese Koordinaten werden dann in das vorgesehene Feld auf der Webseite eingetragen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Die Richtigkeit der Eingabe wird dann mit dem Button "Werte prüfen" kontrolliert. Erarbeitungsphase Nach der Erklärung der Funktionsweise des dynamischen Online-Arbeitsblatts sollen die Schülerinnen und Schüler nun in einem ersten Schritt die auf diese Weise gelösten Aufgaben auf dem von der Lehrkraft vorbereiteten und ausgegebenen Arbeitsblatt (vektoren_drehung_ab1.pdf) festhalten. Beim Lösen der Aufgaben durch Veranschaulichung sollen sie herausfinden, welcher allgemeine Zusammenhang zwischen den Koordinaten der Vektoren besteht und diesen auf der Rückseite ihres Arbeitsblatts mit Bleistift schriftlich mit eigenen Worten fixieren. In einem zweiten Schritt sollen sie dann die Aufgaben ohne Veranschaulichung lösen, indem sie ihre vorher gefundene Regel anwenden und damit verifizieren oder falsifizieren. Expertenvortrag und Zusammenfassung Im nächsten Unterrichtsschritt stellt eine Schülerin oder ein Schüler den gefundenen allgemeinen Zusammenhang in einem Expertenvortrag den Mitschülern vor. Die Lehrkraft fixiert die Ergebnisse auf einer Folie, die dem Arbeitsblatt der Schülerinnen und Schüler entspricht. Im Anschluss daran übernehmen alle Schülerinnen und Schüler diesen Eintrag. Differenzierung und Vertiefung Nun folgt eine Vertiefung durch Variation der Aufgabenstellung. Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die Aufgaben des zweiten dynamischen Arbeitsblatts (Abb. 2) bearbeiten. Dessen Funktionsweise entspricht der des vorhergehenden. Eine Einführung durch die Lehrkraft entfällt damit. Schwächere und Schülerinnen und Schüler können in dieser Umgebung weitere Übungen auf dem Schwierigkeitsniveau der Einführungsaufgaben lösen oder weiter die Veranschaulichung nutzen. Im Rahmen des Differenzierungsprozesses kann die Lehrkraft in diesem Unterrichtsabschnitt schwächere Schülerinnen und Schüler individuell fördern oder deren Arbeitsweise gezielt beobachten. Wettbewerb Am Ende der Stunde steht ein rund fünfminütiger Wettbewerb, bei dem nach einem Neustart von Online-Arbeitsblatt 2 derjenige der Sieger ist, der die meisten Punkte erreicht. Als besonderer Anreiz besteht dabei die Möglichkeit, die erreichten Punkte in eine Highscore-Liste eintragen zu lassen. Hausaufgabe Die Hausaufgabe findet sich auf einem vorbereiteten Blatt (vektoren_drehung_hausaufgabe.pdf), das an die Schülerinnen und Schüler ausgegeben wird. Die Aufgaben orientieren sich dabei an den zuletzt gelösten Aufgaben. Die Stellung und Vorbesprechung der Hausaufgabe beenden die Unterrichtsstunde. Lernende, die über einen Internetzugang verfügen, können die Unterrichtsstunde zu Hause nacharbeiten und sich die in der nächsten Unterrichtsstunde eingesetzten Materialien ansehen. Einführung und Übung Das Vorgehen gleicht bis zum Wettbewerb der Unterrichtsstunde zur Drehung um 90 Grad. Dabei werden die Online-Arbeitsblätter 3 und 4 eingesetzt. Wettbewerb Da der Verlauf der Unterrichtsstunden identisch ist, gelangen die Schülerinnen und Schüler in sehr viel kürzerer Zeit zum allgemeinen Zusammenhang. Daher steht am Ende der 2. Unterrichtsstunde ein rund zehnminütiger Wettbewerb, bei dem ein Arbeitsblatt zum Einsatz kommt, das bei der Aufgabenstellung auch den Drehwinkel variiert und somit eine neue Anforderung stellt (Abb. 3). Da die Funktionsweise des dynamischen Arbeitsblatts den Schülerinnen und Schülern bereits bekannt ist, genügt ein Hinweis der Lehrkraft, dass nun auch der Drehwinkel zwischen 90 und -90 Grad variiert. Auch hier können die erreichten Punkte in eine Highscore-Liste eingetragen werden. Hausaufgabe Die Hausaufgabe findet sich wieder auf dem vorbereiteten Blatt, das bereits in der vorausgegangenen Unterrichtsstunde an die Schülerinnen und Schüler ausgegeben wurde.