GeoGebra ist als dynamische Geometrie-Software zum Unterrichten und Lernen von Mathematik aus einem zeitgemäßen Mathematik-Unterricht nicht mehr wegzudenken. Die Schülerinnen und Schüler lernen auf der Grundlage dieser Software, wie sie geometrische Objekte dank der Funktionen von GeoGebra verwenden, erarbeiten und vorführen können. Diese Unterrichtseinheit zu GeoGebra umfasst Arbeitsmaterialien, die die Lernenden und die Lehrperson in die dynamische Geometrie-Software GeoGebra einführen. Die Schülerinnen und Schüler lernen in dieser Einführung die unterschiedlichen Funktionen von GeoGebra kennen und absolvieren eine Art Selbstlernkurs: Sie können alle oder nur einzelne Funktionen von GeoGebra erlernen, weil alle Arbeitsblätter dieser Unterrichtseinheit voneinander getrennt einsetzbar sind. Die Arbeitsblätter beinhalten ein Video, welches den Schülerinnen und Schülern Schritt für Schritt-Anleitungen zu den einzelnen Funktionen zeigt und erklärt. Die Lernenden bekommen dank dieser Videos die Möglichkeit in ihrem eigenen Tempo die dynamische Geometrie-Software zu entdecken und neue Funktionen zu erlernen. Die Arbeitsmaterialien eignen sich aufgrund der kleinschrittigen Anleitung und der Videobegleitung auch als Hausaufgabe. Die Arbeitsmaterialien erklären, wie die Lernenden geometrische Formen und weitere Möglichkeiten mittels GeoGebra erstellen und veranschaulichen können. Die Schülerinnen und Schüler können Winkel zeichnen, berechnen und anzeigen lassen. Die Videos zeigen die Möglichkeiten der Geraden- und Punktwerkzeuge, die Funktionen der Schieberegler und wie die Lernenden beispielsweise die Schieberegler oder Bilder und Texte in eine Datei einfügen. GeoGebra ist ein wichtiges Werkzeug im Mathematik-Unterricht, weil es den Lernenden eine visuelle und interaktive Möglichkeit bietet, komplexe mathematische Konzepte zu verstehen und zu erkunden. Die Schülerinnen und Schüler können geometrische Figuren sowie Funktionen am Computer oder Tablet zeichnen und verändern, um die Auswirkungen von Transformationen und Änderungen von Abmessungen zu sehen. Diese Tätigkeiten unterstützen das Verständnis der Lernenden von unterschiedlichen mathematischen Konzepten. Das Arbeitsmaterial ist als Selbstlernmaterial aufgebaut, sodass die Lernenden in ihrem eigenen Tempo arbeiten können und eine Binnendifferenzierung von selbst entsteht. Die Voraussetzung für die Durchführung der Unterrichtseinheit ist die Existenz von digitalen Endgeräten, auf denen das Programm GeoGebra installiert ist. Die Lehrperson soll die Funktionen von GeoGebra kennen und in der Lage sein, entsprechende Hilfestellungen zu geben. Die Schülerinnen und Schüler sollen über Kopfhörer verfügen, wenn sie die Videos abspielen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erlernen den Umgang mit der dynamischen Geometrie-Software GeoGebra, indem sie die unterschiedlichen Funktionen in einem videogestütztem Selbstlernkurs erarbeiten. lernen mathematische Darstellungen kennen und konstruieren sowie verwenden diese. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. zeigen durch offene Fragestellungen Engagement und Motivation, Lösungen zu entwickeln. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verwenden computergestützte Software zum Konstruieren und Messen.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Mit GeoGebra arbeiten" üben die Schülerinnen und Schüler das computergestützte Konstruieren, verstehen und reflektieren geometrische Zusammenhänge und erlernen gleichzeitig wertvolle Grundlagen im Umgang mit der Software.Für den Mathematikunterricht eignet sich bei vielen Themen der Einsatz vom Computer – beispielsweise um Probleme unter einem anderen Blickwinkel zu betrachten und vielseitiger zu erforschen. In der Geometrie bewährt sich dazu die dynamische Geometriesoftware GeoGebra. Diese Unterrichtseinheit baut auf der Einheit "Mit GeoGebra arbeiten – Grundlagen" auf und handelt vom Konstruieren und Messen im zweidimensionalen Raum mit Hilfe der dynamischen Geometriesoftware GeoGebra. Auf dem ersten Arbeitsblatt dreht sich dabei alles um das Entdecken der verschiedenen Symbole und Auswahlmöglichkeiten von GeoGebra. So werden beispielsweise Mittelsenkrechten, Winkelhalbierende, Lote und Schnittpunkte konstruiert, um In- und Umkreise von Dreiecken zu erarbeiten. Auf dem zweiten Arbeitsblatt werden weitere Möglichkeiten beim Konstruieren erkundet, indem mit Tangenten an Kreisen gearbeitet wird. Diese werden verwendet, um ein Tangentenviereck zu konstruieren. Abschließend werden an einem Viereck besondere Eigenschaften von Vierecken dynamisch wiederholt. Da die Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Voraussetzungen im Umgang mit dem Computer haben, ermöglichen die kleinschrittig konzipierten Aufgaben den Lernenden selbstständig oder in Paararbeit die Arbeitsblätter zu bearbeiten. Sollten bei leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern dennoch Schwierigkeiten bestehen, so können die Musterlösungen alternativ als Begleittexte verwendet werden. Diese enthalten detaillierte Hinweise mit Visualisierungen. Des Weiteren gibt es zu jeder Aufgabe eine fertig konstruierte GeoGebra-Datei als Download. Um mit GeoGebra arbeiten zu können, müssen die Grundelemente erlernt und eingeübt werden. Mithilfe der beiden Arbeitsblätter entdecken die Schülerinnen und Schüler in Einzel- oder Paararbeit weitere Grundlagen der dynamischen Geometriesoftware, indem sie einfache geometrische Figuren konstruieren, Abmessungen an ihnen vornehmen und Lagen erforschen. Zusätzlich können die Musterlösungen den Lernenden als Hilfestellung angeboten werden. Durch die freie Erarbeitungsphase hat die Lehrkraft die Möglichkeit leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler individuell zu unterstützen. So wird gewährleistet, dass den Lernenden der Einstieg individuell im Umgang mit GeoGebra ermöglicht wird. Durch die entstehenden Konstruktionen werden die Lernenden außerdem dazu angeregt, selbst Fragestellungen zu Lageverschiebungen und neuen Konstruktionsproblemen zu entwickeln. Der Umgang mit Computern und Software ist den Schülerinnen und Schülern bekannt, sodass sie mit der Oberfläche von GeoGebra schnell vertraut werden. Fachkompetenzen Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Darstellungen kennen und verwenden diese. lösen Probleme mathematisch und stellen diese am Rechner / auf dem Tablet dar. modellieren mathematisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verwenden eine computergestützte Software zum Konstruieren und Messen. erforschen geometrische Beziehungen in interaktiven Dateien. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. zeigen durch offene Fragestellungen Engagement und Motivation, Lösungen zu entwickeln.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Geometrische Beziehungen von Punkten, Vielecken und Kreisen" erfährt der Mathematikunterricht durch GeoGebra eine enorme Bereicherung: Die Schülerinnen und Schüler üben den Umgang mit Befehlen und Listen und erstellen durch die Kombination von Befehlen ein Dartboard. In dieser Unterrichtseinheit erstellen die Schülerinnen und Schüler durch den Einsatz von GeoGebra dynamisches Material zu Punkten, Vielecken und Kreisen und dessen geometrischen Beziehungen. Die Schülerinnen und Schüler erstellen mit Befehlen Konstruktionen und erzeugen mithilfe von Listen viele Objekte mit ähnlicher Struktur. Außerdem erstellen die Lernenden ein Dartboard durch die Kombination von Befehlen. Zuvor haben sie stets die Möglichkeit, an sehr anschaulichen, vorbereiteten Dateien zu experimentieren, um Erfahrungen zu sammeln und Gesetzmäßigkeiten zu erkennen. Durch die Möglichkeit, schnell Änderungen vornehmen zu können, werden die Lernenden angeregt, selbst Fragestellungen zu ermitteln. Außerdem entdecken die Schülerinnen und Schüler Möglichkeiten, mithilfe von GeoGebra die Anschaulichkeit zu erhöhen und schnell viele Objekte zu betrachten. Für diese Unterrichtseinheit sind Computer oder Tablets mit der Software GeoGebra notwendig. Lehrpläne sehen es vor, dass Schülerinnen und Schüler Flächeninhalte unterschiedlicher geometrischer Figuren ihrer Lebenswelt vergleichen, messen und schätzen. Mit GeoGebra lassen sich derartige Figuren einfach erstellen. Um Vergleiche durchführen zu können und sowohl Unterschiede als auch Gesetzmäßigkeiten zu erkennen, kann GeoGebra schnell viele "ähnliche" Objekte erstellen. Ebenso stellt es Möglichkeiten zur Verfügung, diese besonders optisch hervorzuheben. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler verwenden mathematische Darstellungen. lösen Probleme mathematisch und stellen sie am PC dar. modellieren mathematisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler produzieren und präsentieren. analysieren und reflektieren die Ergebnisse. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). arbeiten im Team und geben Hilfestellungen. stoßen durch offene Fragestellungen auf neue Ideen und zeigen Engagement und Motivation.

In der Unterrichtseinheit zum Thema Kongruenzabbildungen erwerben die Lernenden mithilfe anschaulicher Elemente das Verständnis zur Achsenspiegelung, zur Punktspiegelung und zur Verschiebung von Punkten, Strecken und Figuren. Dabei nutzen sie die Software GeoGebra. Im Mathematikunterricht hilft Software dabei, Aufgaben zu lösen, die man auf dem Papier nur schwer lösen kann oder um Lösungswege anschaulicher darzustellen. Lernende können dadurch einen anderen Blickwinkel auf Fragestellungen erhalten. GeoGebra eignet sich hervorragend für den Einsatz in der Geometrie, denn die Software bietet viele Möglichkeiten mit interaktiven Materialien Inhalte zu erarbeiten. Lernende gehen mit unterschiedlichen Voraussetzungen an den Umgang mit einem Rechner. Durch die sehr einfachen GeoGebra-Aufgaben, die hier genutzt werden, werden viele Schülerinnen und Schüler beim Erarbeiten der Lösungen selten Hilfe benötigen – falls doch, steht unter anderem ein Begleittext mit detaillierten Hinweisen zur Verfügung. Durch die entstandenen Dokumente und der Möglichkeit, schnell Änderungen vornehmen zu können, werden die Lernenden angeregt, selbst Fragestellungen zu ermitteln. Während der Zeit, in der viele Lernende selbständig arbeiten, können diese auch bei einfachen Fragestellungen unterstützt werden, sodass jeder und jedemm der Einstieg in den Umgang mit GeoGebra einfach und auf dem eigenen Niveau ermöglicht wird. Das Arbeitsblatt ist in vier Teile unterteilt. Im ersten Teil des Arbeitsblattes wird der Begriff der Kongruenz vorgestellt. Im zweiten Teil wird thematisiert, welche Möglichkeiten es gibt, kongruente Flächen entstehen zu lassen. Im dritten Teil werden dann die Achsenspiegelung, die Punktspiegelung und die Verschiebung mit interaktiven Experimentierdateien entdeckt. Diese unterstützen und veranschaulichen das Verständnis der Schülerinnen und Schüler im Umgang mit Kongruenzabbildungen und motivieren, selbst zu konstruieren. Außerdem wird das Konstruieren mit "Zirkel und Lineal" vorgestellt. Im letzten Abschnitt befinden sich Übungsaufgaben zum Konstruieren mit GeoGebra. Die Lernenden konstruieren dazu in der GeoGebra Software allein mit den Hilfsmitteln Zirkel und Lineal und dann mit allen Möglichkeiten, die die Software zur Verfügung stellt. Ziel des Arbeitsblattes ist es, Kongruenzabbildungen eines Kreises, eines Sterns und eines Dreiecks mithilfe der Achsenspiegelung, der Punktspiegelung und der Verschiebung zu konstruieren. Kleinschrittig konzipierte Aufgaben und Arbeitsblätter ermöglichen es den Lernenden, selbstständig oder in Paararbeit die Inhalte zu erarbeiten. Sollten bei leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern dennoch Schwierigkeiten auftreten, können die Musterlösungen als Begleitung verwendet werden. Zu jeder Aufgabe gibt es fertige Lösungen als Download. Lehrpläne sehen es vor, dass Schülerinnen und Schüler bestimmte Abbildungen als Kongruenzabbildungen identifizieren. Mit GeoGebra lassen sich Kongruenzabbildungen entdecken und Besonderheiten herausarbeiten. In dieser Unterrichtseinheit wird durch entdeckendes Lernen das Thema der Kongruenzabbildungen behandelt. Die Software unterstützt dabei, Hilfeleistungen individuell zu geben. Der Vergleich der Möglichkeiten des Konstruierens "mit Zirkel und Lineal" und "mit den vereinfachten Möglichkeiten von GeoGebra" erweitert zudem den Blickwinkel der Schülerinnen und Schüler über den Einsatz von GeoGebra. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Darstellungen kennen und verwenden diese. lösen mathematische Probleme und stellen diese am Rechner dar. modellieren mathematisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erforschen geometrische Beziehungen in interaktiven Dateien. verwenden computergestützte Software zum Konstruieren und Messen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. zeigen durch offene Fragestellungen Engagement und Motivation, Lösungen zu entwickeln.

Für den Mathematik-Unterricht eignet sich bei vielen Themen der Einsatz vom Computer – beispielsweise um Probleme unter einem anderen Blickwinkel zu betrachten und vielseitiger zu erforschen. In der Geometrie bewährt sich dazu die dynamische Geometrie-Software GeoGebra. Die Schülerinnen und Schüler üben in dieser Unterrichtseinheit das computergestützte Konstruieren, Verstehen und Reflektieren geometrischer Zusammenhänge und Erlernen gleichzeitig wertvolle Grundlagen im Umgang mit der Software. Diese Unterrichtseinheit handelt vom Konstruieren und Messen im zweidimensionalen Raum mithilfe der dynamischen Geometriesoftware GeoGebra. Auf dem ersten Arbeitsblatt dreht sich dabei alles um das Entdecken der verschiedenen Symbole und Auswahlmöglichkeiten von GeoGebra. So werden beispielsweise Punkte, Schnittpunkte, Strecken, Halbgeraden, Geraden, Dreiecke, Kreise und so weiter konstruiert. Auf dem zweiten Arbeitsblatt werden die verschiedenen Möglichkeiten des Messens erkundet, indem beispielsweise Flächeninhalte, Strecken, Umfänge und Innenwinkel gemessen werden. Auch wird unter Vorgabe definierter Größen konstruiert und das Verhalten bestehender Konstruktionen bei Verschiebungen von Eckpunkten untersucht. Da die Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Voraussetzungen im Umgang mit dem Computer haben, ermöglichen die kleinschrittig konzipierten Aufgaben den Lernenden selbstständig oder in Paararbeit die Arbeitsblätter zu bearbeiten. Sollten bei leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern dennoch Schwierigkeiten bestehen, so können die Musterlösungen alternativ als Begleittexte verwendet werden. Diese enthalten detaillierte Hinweise mit Visualisierungen. Des Weiteren gibt es zu jeder Aufgabe eine fertig konstruierte GeoGebra-Datei als Download. Aufbauend auf dieser Einheit finden Sie hier den zweiten Teil "Mit GeoGebra arbeiten – Grundlagen 2" . Um mit GeoGebra arbeiten zu können, müssen die Grundelemente erlernt und eingeübt werden. Mithilfe der beiden Arbeitsblätter entdecken die Schülerinnen und Schüler in Einzel- oder Paararbeit die Grundlagen der dynamischen Geometrie-Software, indem sie einfache geometrische Figuren konstruieren, Abmessungen an ihnen vornehmen und Lagen erforschen. Zusätzlich können die Musterlösungen den Lernenden als Hilfestellung angeboten werden. Durch die freie Erarbeitungsphase hat die Lehrkraft die Möglichkeit, leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler individuell zu unterstützen. So wird gewährleistet, dass den Lernenden der Einstieg im Umgang mit GeoGebra individuell ermöglicht wird. Durch die entstehenden Konstruktionen werden die Lernenden außerdem dazu angeregt selbst Fragestellungen zu Lageverschiebungen und neuen Konstruktionsproblemen zu entwickeln. Der Umgang mit Computern und Software ist den Schülerinnen und Schülern bekannt, so dass sie mit der Oberfläche von GeoGebra schnell vertraut werden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Darstellungen kennen und verwenden diese. lösen Probleme mathematisch und stellen diese am Rechner dar. modellieren mathematisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verwenden computergestützte Software zum Konstruieren und Messen. erforschen geometrische Beziehungen in interaktiven Dateien. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. zeigen durch offene Fragestellungen Engagement und Motivation, Lösungen zu entwickeln.

In dieser Unterrichtseinheit zu Geometrie betrachten die Lernenden Größen wie den Flächeninhalt und den Umfang der geometrischen Figuren Rechteck, Parallelogramm, Dreieck, Trapez und Kreissektor. Mithilfe von GeoGebra lassen sich die Berechnungsideen sehr anschaulich darstellen. In der Geometrie werden zur Beschreibung von Flächen Größen wie der Flächeninhalt und der Umfang betrachtet. In dieser Unterrichtseinheit erstellen die Schülerinnen und Schüler mithilfe von GeoGebra dynamisches Material zu Rechtecken, Parallelogrammen, Dreiecken, Trapezen und Kreissektoren sowie dessen geometrische Zusammenhänge für Flächeninhalte und Umfänge. Zuvor haben sie stets die Möglichkeit an sehr anschaulichen vorbereiteten GeoGebra-Dateien zu experimentieren, um Erfahrungen zu sammeln und Gesetzmäßigkeiten zu erkennen. Durch die Möglichkeit, schnell Änderungen vornehmen zu können, werden die Lernenden angeregt, selbst Fragestellungen zu ermitteln. Die Schülerinnen und Schüler entdecken außerdem Möglichkeiten, mithilfe von GeoGebra die Anschaulichkeit zu erhöhen. Lehrpläne sehen es vor, dass Schülerinnen und Schüler Flächeninhalte unterschiedlicher geometrischer Figuren ihrer Lebenswelt vergleichen, messen und schätzen. Mit GeoGebra lassen sich derartige Figuren einfach erstellen. Die Schülerinnen und Schüler können sich die Zusammenhänge für Fläche und Umfang für die grundlegenden Formen selbst erarbeiten und visualisieren, so dass ein besseres Verständnis für verschiedene Problemlösestrategien (beispielsweise Zerlegen, Auslegen von fremden Formen mit bekannten Flächentypen) entsteht, diese verwendet und eingeübt werden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Darstellungen kennen und verwenden diese. lösen Probleme mathematisch und stellen diese am Rechner dar. modellieren mathematisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler produzieren und präsentieren. analysieren und reflektieren ihre erstellten GeoGebra Dateien. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). arbeiten im Team und geben Hilfestellungen. stoßen durch offene Fragestellungen auf neue Ideen und zeigen Engagement und Motivation.

Für den Mathematikunterricht eignet sich bei vielen Themen der Einsatz vom Computer – beispielsweise um Probleme unter einem anderen Blickwinkel zu betrachten und vielseitiger zu erforschen. In der Geometrie bewährt sich dazu die dynamische Geometriesoftware GeoGebra. Die Schülerinnen und Schüler üben in dieser Unterrichtseinheit das computergestützte Konstruieren, Verstehen und Reflektieren geometrische Zusammenhänge und Erlernen gleichzeitig wertvolle Grundlagen im Umgang mit der Software. Diese Unterrichtseinheit baut auf der Einheit "Mit GeoGebra arbeiten – Grundlagen Teil 2" auf und handelt vom Konstruieren und Messen im zweidimensionalen Raum mit Hilfe der dynamischen Geometriesoftware GeoGebra. Auf dem ersten Arbeitsblatt dreht sich dabei alles um die Konstruktion von Dreiecken. So werden beispielsweise gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke mithilfe von Schiebereglern konstruiert. Auch die Konstruktionsbeschreibung mithilfe des Textwerkzeuges und die Möglichkeit der Integration von gemessenen Werten (Variablen) in Texte wird thematisiert. Auf dem zweiten Arbeitsblatt werden neben der Konstruktion von rechtwinkligen Dreiecken und Ellipsen das Anzeigen von Spuren erkundet, indem Spuren von Punkten und Flächen entdeckt werden. Abschließend werden an zwei Experimentierdateien "Thaleskreis_und_mehr" sowie "Winkelbetrachtungen" besondere geometrische Eigenschaften dynamisch wiederholt. Da die Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Voraussetzungen im Umgang mit dem Computer haben, ermöglichen die kleinschrittig konzipierten Aufgaben den Lernenden selbstständig oder in Paar-Arbeit die Arbeitsblätter zu bearbeiten. Sollten bei leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern dennoch Schwierigkeiten bestehen, so können die Musterlösungen alternativ als Begleittexte verwendet werden. Diese enthalten detaillierte Hinweise mit Visualisierungen. Des Weiteren gibt es zu jeder Aufgabe eine fertig konstruierte GeoGebra-Datei als Download. Um mit GeoGebra arbeiten zu können, müssen die Grundelemente erlernt und eingeübt werden. Mithilfe der beiden Arbeitsblätter entdecken die Schülerinnen und Schüler in Einzel- oder Paar-Arbeit weitere Grundlagen der dynamischen Geometriesoftware, indem sie einfache geometrische Figuren konstruieren, Abmessungen an ihnen vornehmen und Lagen erforschen. Zusätzlich können die Musterlösungen den Lernenden als Hilfestellung angeboten werden. Durch die freie Erarbeitungsphase hat die Lehrkraft die Möglichkeit leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler individuell zu unterstützen. So wird gewährleistet, dass den Lernenden der Einstieg individuell im Umgang mit GeoGebra ermöglicht wird. Durch die entstehenden Konstruktionen werden die Lernenden außerdem dazu angeregt selbst Fragestellungen zu Lageverschiebungen und neuen Konstruktionsproblemen zu entwickeln. Der Umgang mit Computern und Software ist den Schülerinnen und Schülern bekannt, so dass sie mit der Oberfläche von GeoGebra schnell vertraut werden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Darstellungen kennen und verwenden diese. lösen Probleme mathematisch und stellen diese am Rechner dar. modellieren mathematisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verwenden computergestützte Software zum Konstruieren und Messen. erforschen geometrische Beziehungen in interaktiven Dateien. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. zeigen durch offene Fragestellungen Engagement und Motivation, Lösungen zu entwickeln.

Diese Unterrichtseinheit hat das mathematische Modellieren eines Hühnereis zum Ziel. Dazu werden zunächst Schnittflächen von Ebenen mit einem Würfel sowie Rotationsebenen und daraus entstehende Körper betrachtet und dann mithilfe der Differential- und Integralrechnung Volumen und Oberflächeninhalte bestimmt. Die Inhalte werden mit GeoGebra visualisiert. In dieser Unterrichtseinheit werden die Lernenden mit vier Arbeitsblättern zur Idee herangeführt, wie sie mithilfe der Differential- und Integralrechnung ein Hühnerei vermessen können. In allen Arbeitsblättern steht der Einsatz von GeoGebra zur Visualisierung im Mittelpunkt. Auf dem ersten Arbeitsblatt werden Schnitte eines Würfels mit Ebenen betrachtet. Die Art der Schnittflächen hängt stark damit zusammen, wie die schneidende Ebene bezüglich des Würfels verläuft. Da sich die schneidende Ebene bewegt, lassen sich unterschiedliche Konstellationen betrachten. Auf dem zweiten Arbeitsblatt werden diese Betrachtungen durch weitere Lagen und Bewegungsmöglichkeiten der Ebenen bezüglich des Würfels erweitert und es erfolgen Betrachtungen von Schnitten mit weiteren Körpern. Es werden vor allem auch Körper mit gekrümmten Oberflächen betrachtet. Den Lernenden wird verdeutlicht, dass die Kenntnis der Schnittflächen ausreicht, um Körper zu beschreiben. Kenntnis von Maßzahlen wie Höhen und Längen und anderer beschreibender Größen führen zu einem bekannten Formelapparat für Volumen und Ober- beziehungsweise Mantelflächen. Eine interaktive Übung dient als Ergänzung zum Arbeitsblatt. Auf dem dritten Arbeitsblatt findet ein Übergang zur Differential- und Integralrechnung statt. Rotationskörper, die durch die Rotation einer Fläche um eine Achse entstehen, können mithilfe der Differential- und Integralrechnung erfasst werden. Anwendungen zu Körpern, die durch Rotation eines Halbkreises, der Wurzelfunktion oder einer Parabel entstehen, werden erarbeitet. Drei interaktive Übungen dienen als Ergänzung zum Arbeitsblatt. Auf dem letzten Arbeitsblatt geschieht der Übergang vom Halbkreis über Ellipsen zur "Eiform". Neben den Möglichkeiten durch Integration und Differentiation exakte Maßzahlen zu bestimmen, wird auch die Möglichkeit einer Annäherung thematisiert, um das Hühnerei möglichst exakt rechnerisch erfassen zu können. Wo Berechnungen von Hand mühsam – ja teilweise unmöglich – sind, können mit dem Einsatz von GeoGebra den Körpern Maßzahlen zugeschrieben werden. Am Bespiel der Körperform eines Eies wird aber auch gezeigt, dass die Software an Grenzen stößt. Für die Betrachtung eines eiförmigen Körpers werden zunächst die Formelapparate für die Körper Zylinder, Kegel und Kugel erarbeitet, sodass mit Radien, Längen und Höhen Volumen, Mantel- und Oberfläche bestimmt werden können. Im Zusammenhang mit der Differential- und Integralrechnung werden schließlich komplexere Rotationskörper mithilfe bestimmter Integrale berechenbar. Da für eine Ellipse und für ein Ei die Integrandenfunktionen zu komplex für händisches Rechnen werden, nutzt man CAS. Mithilfe mehrerer GeoGebra Simulationsdateien wird den Lernenden das Arbeiten mit der Integral- und Differentialrechnung vorgestellt, bis hin zu einem eiförmigen Körper. Interaktive Übungen dienen als Ergänzung zur Unterrichtseinheit. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler gewinnen Erkenntnisse zu verschiedenen Schnittflächen und Rotationskörpern durch experimentellen Umgang mit GeoGebra. wiederholen Teile des bekannten Formelapparates für Oberflächen und Volumen. erweitern und festigen Kenntnisse im Zusammenhang der Differential- und Integralrechnung. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler experimentieren mit interaktiven GeoGebra-Dateien. setzen mobile Endgeräte im Unterricht zur Modellierung des Hühnereis ein. analysieren und reflektieren mit von GeoGebra erzeugten Rotationskörpern. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler steigern ihr Selbstwertgefühl und ihre Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien sowie Rückmeldungen und Hinweise beim Erarbeiten von Lösungen). lernen sich selbst durch die Differenzierungsmöglichkeiten in den Aufgabenstellungen einzuschätzen. zeigen durch offene Fragestellungen Engagement und Motivation und stoßen auf neue Ideen durch das Experimentieren in den Experimentierecken der verschiedenen Einheiten.

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung müssen sich laut Theorie ja mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen. Aber wie geht das? Eine andere interessante Frage lautet: Wie kann man die komplexen Lösungen einer quadratischen Gleichung sichtbar machen? Der Blick über den reellen Tellerrand schafft dabei eine neue Sicht auf die Lösungen von Gleichungen.Quadratische Funktionen mit reellen Koeffizienten haben in R zwei Nullstellen, eine doppelte oder gar keine Nullstelle. Diese Lösungen kann man mit Zirkel und Lineal konstruieren, falls diese reell existieren. GeoGebra zeigt, wie es geht. Die analytische Bestätigung dieser Konstruktion stellt sich als sinnvolle algebraische Aufgabe. Im komplexen Zahlenbereich hingegen hat laut Hauptsatz der Algebra eine quadratische Funktion immer zwei Nullstellen (inklusive doppelte Nullstelle), die man im Funktionsgraphen aber nicht zu sehen bekommt, wenn sie komplex sind.Auf zwei verschiedene Arten sollen diese komplexen Lösungen sichtbar gemacht werden. Zum Einsatz kommen dabei die frei zugänglichen Mathematik-Programme GeoGebra und wxMaxima. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Hier sind die Voraussetzungen und die verwendeten Materialien für diese Unterrichtseinheit genauer beschrieben. Anregungen und Erweiterungen Weitere Vorschläge zu Anwendungen mit höhergradigen Polynomen sind hier aufgeführt. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen die Problematik der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bewältigen. das Rechnen mit komplexen Zahlen üben. Funktionen mit zwei Variablen und deren Darstellung als Flächen im Raum kennen lernen. den Einsatz von Funktionen und Ortslinien in GeoGebra trainieren. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen im Umgang mit verschiedenen Software-Programmen vertraut werden. die Mathematiksoftware wxMaxima anwenden. die Mathematiksoftware GeoGebra anwenden. Thema Quadratische Gleichung Autor Georg Wengler Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 3 Stunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Schülerin und Schüler, die (kostenfreie) Software GeoGebra und wxMaxima sollte installiert sein. Literatur Richard Courant, Herbert Robbins Was ist Mathematik?, 5. Auflage Springer 2000, ISBN 3-540-63777-X, Seite 204 Inhaltliche Voraussetzungen Die Schülerinnen und Schüler können quadratische Gleichungen ohne Mühe lösen. Sie verstehen das Konzept der komplexen Zahlen und können mit ihnen rechnen, etwa den Betrag oder das Einsetzen in einen quadratischen Term. Die Lernenden kennen den Hauptsatz der Algebra und verstehen seine Bedeutung für die Lösbarkeit von Gleichungen. Technische Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit beinhaltet insgesamt fünf Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss das Java Plugin (1.4.2 oder höher, kostenloser Download) auf dem Rechner installiert und Javascript aktiviert sein. Nachdem im komplexen Zahlenbereich eine quadratische Funktion immer zwei Nullstellen hat, sollen diese komplexen Lösungen auf zwei verschiedene Arten sichtbar gemacht werden: Mit der komplexen Funktion wird ein Kreis in eine aufgefaltete Bildkurve transformiert, die dynamisch zu den Lösungen führt. Der Real- beziehungsweise Imaginärteil der zugehörigen komplexen Funktion wird als Fläche im Raum dargestellt. Damit erhält man die Nullstellen in 3D-Ansicht. Kreiskonstruktion Die Methode der Konstruktion der reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung wird mit GeoGebra demonstriert. Der Nachweis kann dann analytisch erfolgen. Das Arbeitsblatt ist als GeoGebra- und HTML-Datei verfügbar. Funktionen als Flächen im Raum Hier werden Funktionen mit zwei Variablen mithilfe von wxMaxima räumlich dargestellt. Der Aufwand mit wxMaxima hält sich dabei in Grenzen, vorausgesetzt, der Umgang mit dieser Software ist entsprechend eingeübt. Die grafische Umsetzung erlaubt Rotationen und somit die Betrachtung der Flächen von allen Seiten. Der Einsatz eines CAS-Programms erspart den manuell sehr mühsamen Weg komplexer Berechnungen, was die Konzentration der Schülerinnen und Schüler auf die theoretischen Zusammenhänge erhöht. Die wesentlichen Sachinhalte bestehen darin, dass der Realteil beziehungsweise der Imaginärteil einer komplexen Funktion je eine Fläche im Raum darstellt. Ein Beispiel sehen Sie in Abb. 1 (bitte zur Vergrößerung anklicken). Ihr Schnitt mit der xy-Ebene liefert die Spuren, auf denen die Lösungen liegen müssen. Sie ergeben sich tatsächlich als Schnitt dieser Spuren. Mit dem Betrag der komplexen Funktion ändert sich nichts am Funktionswert Null, es pointiert aber die Veranschaulichung der Nullstellen. Anwendung des Fundamentalsatzes Ein anderes Konzept ist die topologisch dynamische Umsetzung und Anwendung des Fundamentalsatzes der Algebra mit GeoGebra. Dabei wird ein Punkt P(a,b) mittels der Transformation f(x+iy) auf P' abgebildet. Zunächst soll man den Punkt P so verschieben, dass P' im Ursprung liegt, P stellt dann die Lösung dar. Systematische Untersuchung der Ebene Das für Arbeitsblatt 4 beschriebene Unterfangen ist eher mühsam, wenn man gar keine Ahnung von der Lösung hat, weil man ja die ganze Ebene durchsuchen muss. Es liegt also nahe, eine Kreislinie mit sich änderndem Radius zu wählen, um die Ebene systematisch zu durchwandern. Dies mögen Schülerinnen und Schüler selber überlegen oder aber man stellt das Arbeitsblatt 5 zur Verfügung. Legt man also P auf einen Kreis mit Radius r, so ist dessen Bild eine geschlossene Kurve. Während P den Kreis einmal durchläuft, macht der Bildpunkt P' in der Bildkurve so viele Umläufe, wie der Grad von f beträgt. Der Radius des Kreises ist nun so einzustellen, dass die Bildkurve durch den Ursprung geht. Anschließend dreht man den Punkt solange im Kreis, bis P' im Ursprung liegt. Zeichnerische Konstruktion Bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal kann man etwa auf die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks zu sprechen kommen. Nullstellenkonstruktion Die Nullstellenkonstruktion im Komplexen funktioniert natürlich auch mit höhergradigen Polynomen, sowohl die Entfaltung mittels Kreistransformation in entsprechende Bildkurven als auch die Flächendarstellung im Raum. Konkret bieten sich primitive Kreisteilungsgleichungen der Form z n - 1 = 0 an. Eine solche Standardgleichung n.ten Grades hat genau n komplexe Lösungen. Das Schöne daran ist, dass diese alle auf einem Einheitskreis liegen und ein regelmäßiges n-Eck darstellen. Exemplarisch seien hier eine Kreisteilungsgleichung 3. und eine 5. Grades präsentiert.

In dieser Unterrichtseinheit wird das Nikolausfest als Kontext für die Erarbeitung von Funktionsgleichungen aus zwei Punkten einer Geraden genutzt. Dazu kommt die kostenlose Mathematiksoftware GeoGebra zum Einsatz, mit der ein direkter Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Graphen der Funktion visualisiert werden kann.Die Lernenden sollen dem Nikolaus, der wahlweise für den jeweiligen Jahresanlass zum Beispiel auch als Schneemann oder Osterhase abgeändert werden kann, bei seinen Problemstellungen behilflich sein. Die Schülerinnen und Schüler sollen am Beispiel des Nikolaushauses das Aufstellen linearer Funktionen vertiefen und mit Definitions- und Wertemengen arbeiten. Durch die eigenständige Überprüfung der Arbeitsergebnisse mit GeoGebra werden Erfolgserlebnisse und das Vertrauen in die eigenen mathematischen Fähigkeiten bei den Lernenden gestärkt.Die Software GeoGebra bietet die Möglichkeit einen direkten Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Graphen der Funktion zu visualisieren. Änderungen an der Funktionsgleichung im Algebrafenster wirken sich in Echtzeit auf den Funktionsgraphen im Geometriefenster aus. Ebenso ist es möglich, durch manuelle Verschiebung von Funktionsgraphen mit der Maus, die Auswirkung auf die Funktionsgleichung zu beobachten. Zusätzlich bietet GeoGebra den Vorteil, dass es auch für die Lernenden kostenlos verfügbar ist und eine Client-Installation durch den Einsatz von Java-Applets bei Vorhandensein einer Java-Runtime-Umgebung (Standard) entfällt. Unterrichtsablauf Die Aufteilung in Partnergruppen und der Einsatz der Materialien werden hier detailliert für die skizzierte Unterrichtseinheit beschrieben. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben und vertiefen das Aufstellen linearer Funktionsgleichungen aus zwei Punkten einer Geraden. festigen ihre Kompetenz, lineare Funktionen aufzustellen und mit Definitions- und Wertemengen zu arbeiten. erfahren, dass ein Werk (in diesem Falle das Nikolaushaus) aus Bausteinen einzelner Teams entstehen kann und somit ihre Erfahrungen zu arbeitsteiligen Prozessen erweitern. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Fähigkeiten im Umgang mit der dynamischen Mathematik-Software GeoGebra und erkennen und bewerten die Vorteile. Als Einstieg in den Unterricht dient der Auftritt des Nikolauses, der die Lernenden um Unterstützung beim Bau seines neuen Nikolaushauses bittet. Er hat das Problem, dass seine Architekten mit der Skizze nichts anfangen können und eine mathematische Beschreibung erwarten. Es ist davon auszugehen, dass die Schülerinnen und Schüler dem Nikolaus, der positive Assoziationen aus der Kindheit hervorruft, gerne helfen. Positiv verstärkend wirkt auch die Situationskomik, wenn die Lehrkraft als Nikolaus die Klasse betritt. Es kann natürlich auch eine andere Identifikationsfigur gewählt werden, dann müssen allerdings die Arbeitsmaterialien darauf abgestimmt werden. Der Nikolaus verlässt die Klasse und die Lehrkraft kommt zurück in den Klassenraum und lässt sich das Problem nochmals von den Schülerinnen und Schülern beschreiben. Die Lernenden sollen erkennen, dass dem Nikolaus mit linearen Funktionen geholfen werden kann. Ihre Vorgehensweise halten sie an der Tafel fest. Die Teams für die Partnerarbeit werden nach dem Zufallsprinzip zusammen gesetzt. Die Erfahrung mit eventuell unbekannten Partnern zusammenzuarbeiten ist wichtig, da die Auszubildenden auch im späteren Berufsleben häufig so agieren müssen. In der Partnerarbeit werden die Lernenden die Aufgabe intensiver analysieren und bearbeiten. Pro Paar wird nur ein Aufgabenblatt verteilt, wobei Abstimmungen mit arbeitsgleichen Teams möglich sind. Sollten Paare bei der Bearbeitung wesentlich schneller voranschreiten, so können weitere Strecken des Nikolaushauses berechnet werden. Nach der Arbeitsphase präsentieren die Schülerinnen und Schüler ihre Ergebnisse am Overhead-Projektor und diskutieren sie im Plenum. Vier Präsentationen werden durchgeführt, wobei die arbeitsgleichen Teams die zusätzliche Schwerpunktaufgabe der Ergebnisüberprüfung übernehmen. Danach geben die Teams ihre Funktionsgleichungen und die dazugehörigen Intervalle in den Lehrerrechner ein. Die Lernenden können beobachten, wie sich das Haus vom Nikolaus aus Einzelergebnissen aufbaut. Abschließend wird die arbeitsteilige Vorgehensweise unter Einsatz der dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra gemeinsam diskutiert. Als Hausaufgabe sind durch die Schülerinnen und Schüler die Abszissen- und Ordinatenschnittpunkte ihrer Geraden unter D = R zu berechnen. Die Stunde abschließend könnte sich der Nikolaus für die Hilfe der Klasse mit Schokoladennikoläusen bedanken.

In dieser Unterrichtseinheit werden mithilfe des Augmented Reality (AR) Modus der Software GeoGebra die platonischen Körper entdeckt. Mit AR wird die Realität um mathematische Elemente – wie fiktive Körper und Flächen – erweitert, die dann sehr anschaulich im Raum untersucht werden können. Geometrische Körper am Bildschirm darzustellen und zu erforschen, ist für Lernende sehr anschaulich. Eine spannende und gewinnbringende Forschungsumgebung ist der AR-Modus bei GeoGebra. Für die Verwendung des AR-Modus ist die Nutzung eines mobilen Endgerätes nötig. Hier steht den Lernenden ihre reale Umgebung – mithilfe der Kamera des mobilen Endgerätes um virtuelle Dinge erweitert – zur Verfügung. Die Schülerinnen und Schüler können so im Zusammenspiel von der digitalen und analogen Darstellung Flächen, Körper und die platonischen Körper detaillierter und verständlicher erfassen . Die vielfältigen Wege bei dem Einsatz und der Verwendung des AR-Modus ermöglichen es den Lernenden, schnell und individuell Erkenntnisse selbst zu erarbeiten und zu überprüfen. Der nötige Einsatz von mobilen Endgeräten stellt dabei für die Lernenden in der Regel keine Herausforderung dar. Darüber hinaus besteht ein Teil dieser Unterrichtseinheit auch aus Rechercheaufträgen zu Begriffsdefinitionen und ihrer Bedeutung. In der anbei zum Download bereitstehenden ZIP-Datei mit allen Materialien stehen für die Lehrkraft zusätzlich zwei kurze Demonstrationsvideos des GeoGebra AR-Modus bereit. Lehrpläne sehen in verschiedenen Bereichen den "Kontakt" zu platonischen Körpern vor. Über die besonderen Eigenschaften regelmäßiger Vielecke erfassen die Lernenden diese als Begrenzungsflächen für die platonischen Körper. Bei der Art der verwendeten dynamischen GeoGebra-Dateien mit dem AR-Modus können die Schülerinnen und Schüler die Zusammenhänge und Besonderheiten der Flächen "mit der Hand erfassen" und umfangreiche Erfahrungen zu den platonischen Körpern sammeln. Platonische Körper sind wiederum ein Teil der konvexen Polyeder – auch bezüglich dieser Art Körper erfassen die Lernenden viel durch Experimentieren im AR-Modus von GeoGebra. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Darstellungen kennen und verwenden diese. lösen mathematisch Probleme und stellen diese am mobilen Endgerät und am PC dar. üben mathematisches Modellieren. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entdecken Augmented Reality. setzen mobile Endgeräte im Unterricht ein. präsentieren digital. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten im Team. steigern ihr Selbstwertgefühl und ihre Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). zeigen durch offene Fragestellungen Engagement und Motivation und stoßen auf neue Ideen.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Tangenten und Normalen werden die Berechnungen mithilfe der Mathematik-Software "GeoGebra" überprüft und analysiert, denn sie ermöglicht eine vertiefte Untersuchung von Funktionen.In der Behandlung der Analysis bietet sich zur Veranschaulichung stetiger und differenzierbarer Funktionen eine dynamische Geometrie-Software an. Kurvendiskussionen werden gerne durch Skizzen des Graphen vorbereitet, bevor es an die Berechnungen geht. Wenn nun noch Tangenten und Normalen auf Funktionsgraphen ermittelt werden müssen, ist zur Kontrolle des Ergebnisses wiederum die Anschauung gefragt. Diese wird in der hier vorgestellten Unterrichtseinheit mithilfe der dynamischen Geometrie-Software "GeoGebra" erzielt. Zur Durchführung der Unterrichtseinheit sollten im besten Fall ein Tablet oder ein PC pro Schülerin und Schüler zur Verfügung stehen. Auf den Endgeräten muss die GeoGebra-Software installiert sein. Zur Verwendung der GeoGebra-Dateien wird kein Internet benötigt.Bei den Kurvendiskussionen müssen die Schülerinnen und Schüler das in der Analysis Gelernte anwenden und in komplexer Form umsetzen. Dabei geht schon einmal der Überblick verloren und es entstehen Fragen wie: " Muss ich jetzt f, f' oder f'' verwenden? ". Dies lässt sich durch übersichtliche Schrittfolgen vermeiden. Kommen aber Anwendungsaufgaben – wie die zu Tangenten und Normalen – hinzu, kann die als erreicht geglaubte Sicherheit wieder schwinden. Hier können Visualisierungen helfen, die Ergebnisse zu kontrollieren. Von den Lernenden mit Bleistift und Millimeterpapier erstellte Graphen reichen hier oft noch nicht aus, da der Erfahrungsschatz an bereits gesehenen Funktionen und deren Graphen noch zu klein ist. Überdies hängt die Richtigkeit des Graphen direkt von den Rechenfertigkeiten ab. Eine dynamische Geometriesoftware mit einer Funktionseingabe und einer grafischen Funktionsanzeige kann hier die Anschauung gut unterstützen und eine unabhängige Kontrolle bieten. Die Software ist in dem hier vorgestellten Fall "GeoGebra" und kann über das Smartphone, einem Tablet oder dem Computer verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler haben bereits Kurvendiskussionen zu ganzrationalen und gebrochenrationalen Funktionen durchgeführt. Die Rechenfertigkeiten beim Ableiten sind fortgeschritten, aber noch nicht als gefestigt zu bezeichnen. Das Verständnis der Ableitung als Anstieg einer Tangente an den Graphen droht durch das schematische Durchrechnen von Kurvendiskussionen langsam in Vergessenheit zu geraten. Die Bestimmung von Tangenten und Normalen stellt diese Zusammenhänge in einem anderen Licht dar und festigt so den bereits gelernten Stoff. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler leiten ganz- und gebrochenrationale Funktionen sicher ab. berechnen Funktionswerte und bestimmen Geradengleichungen. können zu einem Punkt des Graphen einer Funktion die Tangente und die Normale bestimmen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler geben Funktionsterme in eine Software ein. überprüfen ihr Ergebnis anhand einer grafischen Darstellung selbst.