In dieser Unterrichtseinheit zur Expansion des Weltalls erarbeiten die Schülerinnen und Schüler grundlegende Ansätze zum Verständnis des Urknall-Modells. Dabei geht es in erster Linie um die physikalische Interpretation der Rotverschiebung in den Spektren weit entfernter Galaxien. Die Arbeitsblätter nehmen dabei Bezug auf ein Erklärvideo zum Thema Kosmologie. Die Unterrichtsmaterialien können auf Deutsch und auf Englisch (für den englisch-bilingualen Unterricht) heruntergeladen werden.Die Verschiebung von Spektrallinien in den Spektren von Galaxien wird zunächst als Folge des optischen Dopplereffekts gedeutet, was dem Vorgehen von Edwin Hubble bei seinen Auswertungen im Jahre 1929 entspricht. Die Lernenden stellen in diesem Zusammenhang mithilfe von 14 Galaxienspektren ein Entfernung-Geschwindigkeit-Diagramm für die Galaxien auf und bestimmen einen Wert der Hubble-Konstante. In einem weiteren Arbeitsblatt erfahren die Lernenden dann, dass der Astrophysiker George Lemaître die Rotverschiebung der Spektrallinien mit der Ausdehnung des Raumes erklärte und damit als einer der Ersten das Urknall-Modell postulierte. Diese Unterrichtseinheit ist in Zusammenarbeit mit dem Kuratorium für die Tagungen der Nobelpreisträger in Lindau entstanden, das mit dem Nobelpreis ausgezeichnete Forschung Schülerinnen und Schülern, Studierenden sowie dem wissenschaftlichen Nachwuchs näherbringen möchte. Die Unterrichtseinheit ergänzt dabei das Materialangebot der Mediathek der Lindauer Nobelpreisträgertagungen um konkrete Umsetzungsvorschläge für die Unterrichtspraxis in den Sekundarstufen. Weitere Unterrichtseinheiten aus diesem Projekt finden Sie im Themendossier "Die Forschung der Nobelpreisträger im Unterricht" . Das Thema "Expansion des Weltalls" im Unterricht Die Unterrichtseinheit verbindet Inhalte der Oberstufen-Physik (beispielsweise den Dopplereffekt, die Aufnahme und Interpretation von Spektren sowie die Darstellung und Auswertung von Daten) mit interessanten Fragen der modernen Kosmologie. Dadurch werden Inhalte des Physik-Unterrichts in einen stark motivierenden und anwendungsorientierten Kontext gestellt. Vorkenntnisse Im Unterricht sollte die Wellen-Eigenschaft des Lichts bereits behandelt worden sein. Speziell sollten Kenntnisse vorhanden sein, wie man Lichtspektren aufnimmt (Prisma oder optisches Gitter) und auswertet. Kenntnisse zum Dopplereffekt sind nützlich, können aber auch während der Unterrichtseinheit durch Recherche erarbeitet werden. Einige astronomische Grundkenntnisse sollten ebenfalls vorhanden sein. So ist es hilfreich, wenn die Lernenden wissen, was die Einheit "Lichtjahr" bedeutet, was eine Spiralgalaxie ist, und wie das Spektrum des Wasserstoff-Atoms aussieht. Didaktische und methodische Analyse Die Entdeckung von Edwin Hubble, dass die Rotverschiebung in den Spektren von Galaxien mit deren Entfernung von der Erde korreliert, war für die Entwicklung der modernen Kosmologie außerordentlich bedeutsam und befeuerte die Diskussion über die Beschaffenheit und Dynamik des Universums. Theoretische Folgerungen auf der Basis der Allgemeinen Relativitätstheorie konnten nun auf den experimentellen Prüfstand gestellt werden. Selbst Albert Einstein wurde veranlasst, seine Idee eines statischen Universums und die Einführung seiner kosmologischen Konstante zu überdenken. Interessant ist in diesem Zusammenhang, dass Edwin Hubble keineswegs die Idee eines expandierenden Weltalls formulierte, sondern lediglich die Verknüpfung von Entfernung und Rotverschiebung feststellte, dies aber mit einer Relativgeschwindigkeit der Objekte zueinander zu erklären versuchte. Der eigentliche Vater des Urknall-Modells ist aber der belgische Priester und Astrophysiker Georges Lemaître, der die Ergebnisse von Hubble ganz anders interpretierte: Der Raum ist es, der sich kontinuierlich ausdehnt, die Galaxien dabei mitnimmt und so eine scheinbare Bewegung der Objekte bezüglich des Beobachters erzeugt. Die Rotverschiebung entsteht dann dadurch, dass die Lichtwellen praktisch auseinandergezogen werden, wenn der Raum sich auf ihrem Weg zu uns vergrößert hat. Dies nennt man kosmologische Rotverschiebung. Für ein eingängiges Beispiel, das man auch gut im Unterricht vorführen kann, eignet sich ein Luftballon. Dieser wird ein wenig mit Luft gefüllt, dann werden an verschieden Stellen Punkte (Galaxien) mit einem Filzstift aufgezeichnet. Auch eine "Lichtwelle" in Form einer aufgemalten engen Sinuskurve sollte nicht fehlen. Wenn man nun den Luftballon langsam aufbläst (der Raum vergrößert sich), erkennen die Lernenden gut, dass sich die Punkte voneinander wegbewegen, obwohl sie ihren Platz nicht verlassen. Außerdem wird die Lichtwelle auseinandergezogen, was besagter kosmologischer Rotverschiebung entspricht. Die Deutung der Rotverschiebung als Dopplereffekt ist dennoch akzeptabel für nicht zu weit entfernte Galaxien, da der Wert von H 0 dann noch als konstant angesehen werden kann. Allerdings muss man sich bei dieser Deutung darüber im Klaren sein, dass man dann der Galaxie eine Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt zuordnet, als das Licht von ihr ausging. Wird die Rotverschiebung der Galaxie hingegen kosmologisch gedeutet, können wir daran ablesen, in welchem Maße sich das Universum seither ausgedehnt hat. Die Unterrichtseinheit "Die Expansion des Weltalls" orientiert sich in ihrer Struktur an dem wissenschaftshistorischen Weg: So wird zunächst der Dopplereffekt als nützliches Hilfsmittel zur Messung von Geschwindigkeiten im Weltall behandelt. Die Auswertung von Galaxienspektren führt dann unter Verwendung der Dopplerformel zu einem Entfernung-Geschwindigkeit-Diagramm, so wie es Hubble seinerzeit erstellt hatte. Daraus lässt sich dann das Hubble-Gesetz herleiten und aus der Steigung der Regressionsgerade die Hubble-Konstante bestimmen. Dass die Geschwindigkeit, die aus der Rotverschiebung mithilfe der Dopplerformel gewonnen wurde, eher als scheinbare Bewegung verstanden werden sollte, wird schließlich im dritten Arbeitsblatt thematisiert, wenn die Idee des sich aufblähenden Raumes und das Urknall-Modell zur Sprache kommen. Für die Erstellung des Hubble-Diagramms stehen die Spektren von 14 Galaxien zur Verfügung. Diese befinden sich in unserer kosmischen Nachbarschaft, also in einem Raumbereich, in dem die Rotverschiebung deutlich unter 10 % (z=0,1) liegt. Dann nämlich darf man davon ausgehen, dass die Hubble-Konstante wirklich eine Konstante ist. Für weiter entfernte Objekte gilt das nicht mehr, da ihr Licht aus einer Zeit stammt, als die Ausdehnungsrate des Weltalls einen anderen Wert hatte als jetzt. Man weiß inzwischen, das die Expansionsgeschwindigkeit sich im Laufe der Jahrmilliarden verändert hat und die Hubble-Konstante daher zeitabhängig ist (also eher ein Hubble-Parameter ist). Es ist ratsam, dass die Lernenden die 14 Galaxienspektren arbeitsteilig auswerten und ihre Ergebnisse anschließend in einer Tabelle im Plenum eintragen. Die Auswertung erfolgt sinnvollerweise mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. Achten Sie darauf, dass die Lernenden eine Gerade als Trendkurve wählen, die durch den Ursprung geht. Die Lernenden werden feststellen, dass die Streuung der Punkte um diese Gerade recht groß ist. Dies dient als willkommener Anlass, im Plenum die Gründe zu besprechen. Hier sollte vor allem kurz auf die Problematik der Entfernungsmessung von Galaxien eingegangen werden. Der Streit um den Wert der Hubble-Konstanten ist übrigens in der Wissenschaft zurzeit in vollem Gange. Erstaunlicherweise haben gänzlich verschiedene und voneinander unabhängige Methoden zu unterschiedlichen Werten für H 0 geführt, wobei sich die Fehlergrenzen der Ergebnisse kaum überlappen. Bisher konnte niemand schlüssig erklären, woher diese Unterschiede kommen. Das Thema dieser Unterrichtsreihe streift also ein brandaktuelles Thema der modernen Astrophysik. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen den optischen Dopplereffekt kennen und wenden ihn an, um die Geschwindigkeit astronomischer Objekte zu bestimmen. werten Spektren von Galaxien aus und bestimmen aus einem Diagramm die Hubble-Konstante. lernen die grundlegenden Ideen des Urknall-Modells kennen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler recherchieren im Internet und sammeln, sortieren und bewerten Informationen. verwenden ein Tabellenkalkulationsprogramm zur Darstellung und Auswertung von Daten. binden Informationen eines Erklärvideos in ihre Lösungen ein. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Aufgaben in Paar- und Gruppenarbeit. tauschen Informationen und Messergebnisse untereinander aus. diskutieren und hinterfragen Lösungen im Plenum .

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema bildgebende Verfahren wird anhand eines Videos der Nutzen des elektromagnetischen Wellenspektrums für die Weltraum-Teleskopie deutlich gemacht. Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich dabei anhand praktischer Beispiele und methodisch variierend einen Überblick über die verwendeten bildgebenden Verfahren. Die Unterrichtsmaterialien können auf Deutsch und auf Englisch (für den englisch-bilingualen Unterricht) heruntergeladen werden.Die Schülerinnen und Schüler werden in mehreren Lernrunden mit dem elektromagnetischen Wellenspektrum und dessen Nutzen für die Weltraum-Teleskopie vertraut gemacht. Speziell erarbeiten sie dazu den Unterschied zwischen sichtbarem und infrarotem Licht. Darüber hinaus werden die historischen Erkenntnisse mit aktuellen Forschungsaktivitäten in Verbindung gesetzt. Diese Unterrichtseinheit ist in Zusammenarbeit mit dem Kuratorium für die Tagungen der Nobelpreisträger in Lindau entstanden, das mit dem Nobelpreis ausgezeichnete Forschung Schülerinnen und Schülern, Studierenden sowie dem wissenschaftlichen Nachwuchs näherbringen möchte. Die Unterrichtseinheit ergänzt dabei das Materialangebot der Mediathek der Lindauer Nobelpreisträgertagungen um konkrete Umsetzungsvorschläge für die Unterrichtspraxis in den Sekundarstufen. Weitere Unterrichtseinheiten aus diesem Projekt finden Sie im Themendossier "Die Forschung der Nobelpreisträger im Unterricht" . Das Thema "bildgebende Verfahren" im Unterricht Das Thema bildgebende Verfahren auf der Basis des Wellenspektrums ist nicht leicht zu fassen und lässt sich daher durch das Beispiel der Weltraum-Teleskopie besser erläutern. Vor allem die Unterschiede zwischen dem sichtbaren und infraroten Wellenspektrum können somit verdeutlicht und deren Nutzen für die aktuelle Wissenschaft aufgezeigt werden, um zum Beispiel den Urknall besser zu verstehen. Vorkenntnisse Die Unterrichtseinheit setzt keine speziellen Kenntnisse der Lernenden voraus. Hilfreich können jedoch Grundkenntnisse zu Wellen sein. Didaktische Analyse Das Arbeitsmaterial zu bildgebenden Verfahren in der Weltraum-Teleskopie ist als erste fachliche Konfrontation der Schülerinnen und Schüler mit dem Thema konzipiert. Die Lernenden erhalten einen Überblick über den Nutzen bildgebender Verfahren in der Teleskopie sowie Grundkenntnisse in den physikalischen Grundlagen zu elektromagnetischen Wellen im sichtbaren und infraroten Bereich. Methodische Analyse Durch die methodische Aufbereitung der Unterrichtssequenz wird eine hohe Schüleraktivität erreicht. Der Einstieg wie auch das Erklärvideo als Medium sollen das Interesse und die Diskussionsbereitschaft der Lernenden schon zu Beginn der Sequenz wecken. Schwierige Arbeitsaufträge werden durch Partner- und Gruppenarbeiten methodisch aufgefangen. Eine Internetrecherche hat die Doppelfunktion, dass historische und aktuelle Bezüge verknüpft und ein hoher Grad an Schülerselbsttätigkeit erreicht werden kann. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können verschiedene elektromagnetische Wellen benennen und deren Eigenschaften aufzeigen. können unterschiedliche Arten der Weltraum-Teleskopie benennen und deren Vor- und Nachteile erläutern. können aktuellste Technik für die Weltraum-Teleskopie benennen und deren Funktion erläutern. können die historisch gewachsenen Erkenntnisse zu bildgebenden Verfahren in aktuellen wissenschaftlichen Fragestellungen wiedererkennen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können den Informationsgehalt eines Erklärvideos erfassen, strukturiert und aufgabengenbezogen wiedergeben und anwenden. recherchieren Hintergrundinformationen im Internet. spielen Videoclips sequentiell ab. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten konstruktiv in Teams zusammen. setzen sich mit den Arbeitsergebnissen anderer Gruppen konstruktiv auseinander. entwickeln Fachwissen zu aktueller Technik, welche auf die physikalischen Grundkenntnisse abgebildet werden kann, und können dieses auch gegenüber anderen erläutern. Hier können Sie sich das Video zur Unterrichtseinheit "Bildgebende Verfahren in der Weltraum-Teleskopie" anschauen.

Das Dodekaeder ist einer der fünf platonischen Körper, der einzigen regelmäßigen "Vielflächner", deren Seitenflächen regelmäßige Vielecke gleicher Eckenzahl sind. Es hat seit Urzeiten die Aufmerksamkeit von Künstlern und Philosophen gefunden und ist bis heute im Fokus solcher Aufmerksamkeit geblieben. Immer noch gibt es Neues an diesem Körper zu entdecken.Symmetrien üben nicht nur einen großen ästhetischen Reiz aus, sie sind auch in der Natur - der belebten wie der unbelebten - von fundamentaler Bedeutung. Ordnung und Chaos, Symmetrie und Symmetriebrechung sind Grundkategorien in der Wahrnehmung unserer Welt. Das Periodensystem der Elemente, die Postulierung von Quarks als Grundbausteine der Materie, die Entstehung der Welt durch den Urknall - all dies sind wissenschaftliche Ergebnisse, an deren Zustandekommen Betrachtungen der Symmetrie entscheidenden Anteil hatten. So stellt Lisa Randall, theoretische Physikerin, fest: "Der Begriff Symmetrie hat für die Physiker einen heiligen Klang."In den heutigen, an den Bildungsstandards orientierten Lehrplänen, taucht "Symmetrie" als Leitidee auf. Hier wird gefordert, Symmetrien an Körpern und ebenen Figuren zu untersuchen. Dies kann in Bezug auf die platonischen Körper auf sehr unterschiedlichen Anforderungsniveaus erfolgen: Vom Herstellen eines Dodekaeders mit Papier und Schere im 5. Schuljahr über die Berechnung von Streckenlängen, Abständen und Winkeln mit Mitteln der Trigonometrie (Klasse 10) bis hin zu Untersuchungen seiner Symmetriegruppe in der Sekundarstufe II ergeben sich zahlreiche Möglichkeiten. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Hier sind Materialien und Werkzeuge sowie Vorschläge zur Erarbeitung des Themas zusammengetragen. Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, welche primären Symmetrien ein Dodekaeder besitzt und ausgehend davon elementare Größen des Dodekaeders bestimmen können. erkennen, dass aus einer Abbildung beziehungsweise aus Daten des Dodekaeders Abbilder oder Daten der restlichen vier platonischen Körper abgeleitet werden können. erkennen, dass es außer Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder keine anderen regulären Polyeder geben kann. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems (oder geometrischer 3D-Software) Untersuchungen zu den Symmetriegruppen der platonischen Körper durchführen können. Thema Symmetrien des Dodekaeders (und anderer platonischer Körper) Autor Rolf Monnerjahn Fach Mathematik, Bildende Kunst Zielgruppe Sekundarstufe I Zeitraum 7-9 Stunden Technische Voraussetzungen Computeralgebrasystem (MuPAD) oder dynamische 3D-Software Voraussetzungen Für den Unterricht in Mittel- und Oberstufe sollte entweder ein Computeralgebrasystem (hier verwendet: MuPAD) oder Dynamische Geometriesoftware für 3D-Konstruktionen zur Verfügung stehen, da so Symmetrien noch besser veranschaulicht werden können als durch reale Modelle - wobei auf letztere aber keinesfalls verzichtet werden soll. Das Dodekaeder sollte im Sinne eines Spiralcurriculums an mehreren Stellen Objekt des Mathematikunterrichts sein: In der Orientierungsstufe als interessanter Körper, mit dem Schülerinnen und Schüler sich konkret handelnd auseinandersetzen: Herstellen von Kantengerüst und Faltmodell. In der Mittelstufe als Gegenstand trigonometrischer Berechnungen (Winkel und Streckenlängen). In der Oberstufe als Objekt entdeckenden Untersuchens im Hinblick auf Symmetrien und Beziehungen zu den anderen platonischen Körpern und zu den archimedischen Körpern. Arbeit mit realen Modellen Grundlage jeglicher theoretischer Beschäftigung mit den platonischen Körpern sollte ein praktisches, handlungsorientiertes Herangehen durch Herstellung von Flächen- und Kantenmodellen sein. Auch die Symmetrien der platonischen Körper sollten auf der Grundlage der Arbeitsmaterialien zunächst praktisch erkundet werden: durch Rotation der Körpermodelle und Zerschneiden der Kartonmodelle, so dass durch Auflegen auf einen ebenen Spiegel die Vervollständigung des Körpers durch die Spiegelung erfahrbar wird. Die Darstellung der Körper und der Vollzug von Kongruenztransformationen sollten in Einzel- oder Partnerarbeit durch Handhabung eines CAS oder dynamischer 3D-Geometriesoftware erfolgen. Zusammengesetzte Kongruenzabbildungen wie etwa die Drehspiegelung sind praktisch nicht realisierbar, wohl aber mit derartiger Software deutlich zu veranschaulichen. Das hier beigegebene PDF-Dokument (dodekaeder_juwel_der_symmetrie.pdf) stellt eine Auswahl von Berechnungen und Abbildungen bereit, die mit MuPAD erarbeitet wurden. Es ist als Ideensammlung, zusammenfassende Darstellung und Anregung für den Umgang mit einem CAS gedacht. Einzel-, Partner- und Projektarbeit Die Unterrichtseinheit eignet sich vor allem zur Vertiefung von im Kernunterricht erworbenem faktischen und prozeduralen Wissen und sollte daher in Formen von Einzel-, Partner- und Projektarbeit organisiert werden. Dodekaeder und platonische Körper bieten als Unterrichtsobjekt den Vorteil, dass von einfachsten bis zu höchsten Ansprüchen gestufte Problemstellungen möglich sind. Nachfolgend werden Vorschläge für Arbeitsaufträge formuliert und thematischen Blöcken zugeordnet. 1. Die Darstellung der platonischen Körper Die Eckpunktdaten der platonischen Körper nach geeignetem Einzeichnen rechtwinkliger Dreiecke in Schrägbilddarstellungen (Arbeitsblatt 11) sind durch Anwendung der Trigonometrie zu berechnen, Kantenlängen, In- und Umkugelradius, Winkel zwischen Kanten und Winkel zwischen Flächen sind zu bestimmen. 2. Symmetrien der platonischen Körper Hier sind die Spiegelungen, Rotationen und aus Spiegelungen und Rotationen zusammengesetzten Kongruenzabbildungen zu bestimmen, die die platonischen Körper in sich selbst abbilden. Damit über diese Abbildungen Aussagen formuliert werden können, sind in den beigegebenen Arbeitsblättern 1 bis 5 auf die Netze der platonischen Körper die Durchstoßpunkte der Drehachsen aufgezeichnet, Mittellinien, Mittelsenkrechte und Diagonalen der Seitenflächen eingezeichnet, alle Eckpunkte und Flächen durchnummeriert und damit benennbar. Für das Tetraeder ist im Begleitmaterial die vollständige Symmetrietabelle beigegeben (dodekaeder_juwel_der_symmetrie.pdf). Für Ikosaeder und Dodekaeder ist es nicht sinnvoll, die vollständige Symmetrietabelle zu erarbeiten, wohl aber ausgewählte, vor allem zusammengesetzte Kongruenzabbildungen exemplarisch herauszugreifen. 3. Symmetrie als Grundlage von Emergenz Die fünf platonischen Körper sind durch Symmetrie und Dualität aufeinander bezogen. Dualität heißt, dass Hexa- und Oktaeder, Dodeka- und Ikosaeder jeweils durch Zuordnung von Ecken zu Flächenmitten aufeinander bezogen sind. Verbindet man die Flächenmitten eines Dodekaeders, so erhält man ein Ikosaeder, und verbindet man umgekehrt die Flächenmitten eines Ikosaeders, so erhält man ein Dodekaeder. Auch der Würfel ist durch Konstruktion (Aufbringen eines "Walmdachs" auf jede Fläche) zu einem Dodekaeder umzuwandeln (Arbeitsblätter 6,7, Video dodeca_cubus.wmv). Das Dodekaeder erlaubt durch seine umfassende Symmetrie die regulären Polygone Dreieck, Quadrat, Fünfeck, Sechseck und Zehneck mehrfach aus seiner räumlichen Darstellung "herauszulesen". Diese Polygone und die Polyeder sind in die Schrägbilder der platonischen Körper durch Verbinden von Ecken, Flächen- und Kantenmitten, Diagonalenmitten einzuzeichnen (Arbeitsblatt 11). Hier ist Staunen angebracht: Aus einer Konstruktion, die lediglich auf einer Figur mit Winkeln von 108° und fünf Seiten gleicher Länge beruht, gehen - sozusagen als Dreingabe - Dreiecke, Quadrate, andere Fünfecke, Sechsecke, Zehnecke und völlig unterschiedliche Körper hervor! 4. Gesetzmäßigkeiten an den platonischen Körpern Dass es nicht mehr als fünf platonische Körper geben kann (Euklid), dass für ihre Graphen der Euler'sche Polyedersatz (e + f - 2 = k) gilt, dass nur für das Oktaeder ein Euler'scher Rundweg ("Abschreiten" aller Kanten ohne Wiederholung) existiert, sind leicht zu beweisende Gesetzmäßigkeiten. Das Aufsuchen Hamilton'scher Rundwege ("Abschreiten" aller Ecken ohne Wiederholung) ist eine ohne Überforderung realisierbare Erkundungsaufgabe (Arbeitsblatt 12). 5. Archimedische Körper Verzichtet man auf die Forderung, dass der Körper nur von gleichartigen regulären Vielecken begrenzt sein soll, ergeben sich 13 weitere Körper, die archimedischen, bei denen aber auch alle Kanten die gleiche Länge haben. Sie gehen zum Teil durch Abstumpfung der Ecken aus den platonischen Körpern hervor (siehe Arbeitsblatt 11). 6. Polyedersterne Errichtet man auf den Begrenzungsflächen der platonischen Körper Pyramiden, so erhält man Polyedersterne. Es ist eine reizvolle Bastelarbeit, solche Sterne herzustellen, indem man beispielsweise die Pyramidennetze zu den in den Arbeitsblättern 1 bis 5 vorgegebenen Polyedernetzen konstruiert und die Pyramiden auf die Polyederflächen aufklebt. Arbeitsblätter Die Netze aller platonischen Körper sind hier als Schnittbogen herunterzuladen (1-5). Den Netzen sind die Nummerierungen der Ecken und Flächen sowie alle Symmetrieachsen und drehsymmetrischen Zentren der Flächen aufgedruckt. Zusätzlich ist ein Schnittbogen zur Herstellung eines Umstülpmodells Hexaeder - Dodekaeder beigegeben (6, 7). Zwei Arbeitsblätter zeigen die Zentralprojektion des Dodekaeders in verschiedenen Ansichten (10) und die zentralprojektiven Darstellungen aller platonischen Körper (11). Dabei wurden zu jeder Kante Drittelungs- und Halbierungspunkte eingezeichnet, so dass die dualen Körper und die Abstumpfungen eingezeichnet werden können. Ein Arbeitsblatt zeigt die Graphen der platonischen Körper (12), womit Hamilton'sche und Euler'sche Rundwege gesucht werden können. Monnerjahn, Rolf MuPAD im Mathematikunterricht, Verlag Cornelsen, ISBN 978-3-06-000089-0 Zum Einarbeiten in die Handhabung des CAS MuPAD Adam, Paul und Wyss, Arnold Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde, Verlag Freies Geistesleben, ISBN 3-7725-0965-7