In der Grundschule werden die Schülerinnen und Schüler durch aktives Handeln an den Symmetriebegriff herangeführt. Sie sollen achsensymmetrische Figuren in ihrer Umwelt entdecken, sie nachbauen und bildlich darstellen.Symmetrien und symmetrische Figuren begegnen und überall. Nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Umwelt und in der Natur treffen wir auf verschiedene Formen der Symmetrie: Gebäude, Straßen, Schilder, Pflanzen, ... An vielen Dingen lassen sich Eigenschaften der Symmetrie entdecken. Auch die Herstellung von achsensymmetrischen Gegenständen gestaltet sich einfach. Zu Beginn der Unterrichtseinheit erstellen die Lernenden symmetrische Figuren durch Ausschneiden aus gefaltetem Papier oder mit Klecksbildern. Anschließend entdecken die Lernenden Symmetrien am eigenen Körper und erstellen dazu Spiegelbilder ihres eigenen Gesichts. Dabei stellen sie fest, dass der Körper und das Gesicht (auch wenn es auf den ersten Blick so scheinen mag) nicht immer symmetrisch. In einem nächsten Schritt werden auf Abbildungen von achsensymmetrischen Gegenständen (am Beispiel von Buchstaben) die Symmetrieachsen durch Falten oder mithilfe eines Spiegels gefunden. Schließlich sollen die Schülerinnen und Schüler unvollständige symmetrische Figuren vollenden und ergänzen können. Bei allem wird immer großer Wert darauf gelegt, dass die Kinder in ihrer Umwelt Symmetrien erkennen. Nun sind aber die wenigsten Dinge in der Umwelt im mathematischen Sinne symmetrisch. In diesem Projekt geht es darum, "natürliche Dinge" (hier unsere Gesichter) auf Symmetrie zu untersuchen. Bewusst wird hier auf die Punkt- oder Drehsymmetrie verzichtet, da diese im Rahmen des Mathematik-Unterrichts der Grundschule zu komplex sind. Das Projekt basiert auf Arbeit an Lernstationen. Wahrnehmung von Symmetrie Achsensymmetrie im mathematischen Sinne Rings um uns herum befinden sich symmetrische Formen. Eine Leiter mit schrägen Sprossen ist ebenso unpraktisch wie ein Stuhl mit ungleichen Beinen oder ein Drachen mit verschieden großen Hälften. Die Gewinnchancen beim Fußball wären ungleich verteilt, wenn die Felder nicht symmetrisch angelegt wären. Auch die Natur bietet viele symmetrische Formen (Schneeflocken, Blätter, Blüten, Insekten, ...). Kinder nehmen sie unbewusst wahr, ohne zu bemerken, dass bei natürlichen Dingen eine Achsensymmetrie im rein mathematischen Sinne nicht immer vorliegt. So ist auch der menschliche Körper nur auf den ersten Blick spiegelgleich. Unsere Arme und Beine sind nicht immer hundertprozentig gleich lang. Der Unterschied ist allerdings so minimal, dass er kaum bemerkt wird. Symmetrie und Ästhetik Symmetrische Objekte werden häufig als schön oder ästhetisch ansprechend bezeichnet. Sie sind aus der Kunst und Architektur nicht wegzudenken. Das Gehirn speichert und analysiert symmetrische Figuren schneller als asymmetrische. Ihre Struktur ist schneller erkennbar und besser zu behalten. Das Erkennen symmetrischer Eigenschaften ist ein Grundstein des räumlichen Vorstellungsvermögens. Es fördert neben der Einsicht in geometrische Eigenschaften auch die Einsicht in die arithmetischen Bezüge (zum Beispiel Verdopplung, Halbierung). Anbindung an die Lehrpläne Bereich des Geometrieunterrichts Im Bereich des Geometrieunterrichts wird die Behandlung der Achsensymmetrie zum Zweig "Muster, Ornamente, Achsensymmetrie" gezählt. Die Schülerinnen und Schüler "sollen achsensymmetrische Figuren erkennen und herstellen und die Symmetrieachsen in Figuren einzeichnen können". Des Weiteren wird, wie in den Rahmenplänen beschrieben, das ästhetische Empfinden der Schülerinnen und Schüler angeregt und ihre Beobachtungsfähigkeit geschult. Dies befähigt sie, in ihrer Umwelt geometrische Formen sowie geometrische Eigenschaften und Beziehungen zu erkennen und zur Orientierung zu nutzen. Anschauliches und handlungsorientiertes Lernen Das Lernen im Mathematikunterricht soll wirklichkeitsnah und in lebendigen Anwendungszusammenhängen erfolgen. Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten sollen im Mathematikunterricht durch entdeckendes, anschauliches und handlungsorientiertes Lernen erworben werden. Der Lerninhalt wird im Rahmen eines differenzierten Unterrichts auf unterschiedliche Weise präsentiert und auf verschiedenen Lernniveaus angeboten. Differenzierter Unterricht In der Unterrichtseinheit finden die fachdidaktischen Grundsätze im Mathematikunterricht Berücksichtigung. Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten sollen durch entdeckendes, anschauliches und handlungsorientiertes Lernen erworben werden. Die Präsentation von Lerninhalten erfolgt im Rahmen eines differenzierten Unterrichts auf unterschiedliche Weise und unter besonderer Berücksichtigung verschiedener Lernniveaus. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler werden mithilfe symmetrischer Figuren an den Symmetriebegriff herangeführt. lernen Symmetrie in Form und Farbe kennen. entdecken Symmetrien in ihrer Umwelt und benennen sie. ergänzen Teilfiguren symmetrisch (legen und spiegeln). untersuchen menschliche Gesichter mithilfe des Computers und des Smartphones auf Symmetrie. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erkennen den Computer und das Smartphone als Hilfs- und Arbeitsmittel. arbeiten mit digitalen Medien, um mathematische Phänomene zu entdecken.

Das Dodekaeder ist einer der fünf platonischen Körper, der einzigen regelmäßigen "Vielflächner", deren Seitenflächen regelmäßige Vielecke gleicher Eckenzahl sind. Es hat seit Urzeiten die Aufmerksamkeit von Künstlern und Philosophen gefunden und ist bis heute im Fokus solcher Aufmerksamkeit geblieben. Immer noch gibt es Neues an diesem Körper zu entdecken.Symmetrien üben nicht nur einen großen ästhetischen Reiz aus, sie sind auch in der Natur - der belebten wie der unbelebten - von fundamentaler Bedeutung. Ordnung und Chaos, Symmetrie und Symmetriebrechung sind Grundkategorien in der Wahrnehmung unserer Welt. Das Periodensystem der Elemente, die Postulierung von Quarks als Grundbausteine der Materie, die Entstehung der Welt durch den Urknall - all dies sind wissenschaftliche Ergebnisse, an deren Zustandekommen Betrachtungen der Symmetrie entscheidenden Anteil hatten. So stellt Lisa Randall, theoretische Physikerin, fest: "Der Begriff Symmetrie hat für die Physiker einen heiligen Klang."In den heutigen, an den Bildungsstandards orientierten Lehrplänen, taucht "Symmetrie" als Leitidee auf. Hier wird gefordert, Symmetrien an Körpern und ebenen Figuren zu untersuchen. Dies kann in Bezug auf die platonischen Körper auf sehr unterschiedlichen Anforderungsniveaus erfolgen: Vom Herstellen eines Dodekaeders mit Papier und Schere im 5. Schuljahr über die Berechnung von Streckenlängen, Abständen und Winkeln mit Mitteln der Trigonometrie (Klasse 10) bis hin zu Untersuchungen seiner Symmetriegruppe in der Sekundarstufe II ergeben sich zahlreiche Möglichkeiten. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Hier sind Materialien und Werkzeuge sowie Vorschläge zur Erarbeitung des Themas zusammengetragen. Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, welche primären Symmetrien ein Dodekaeder besitzt und ausgehend davon elementare Größen des Dodekaeders bestimmen können. erkennen, dass aus einer Abbildung beziehungsweise aus Daten des Dodekaeders Abbilder oder Daten der restlichen vier platonischen Körper abgeleitet werden können. erkennen, dass es außer Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder keine anderen regulären Polyeder geben kann. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems (oder geometrischer 3D-Software) Untersuchungen zu den Symmetriegruppen der platonischen Körper durchführen können. Thema Symmetrien des Dodekaeders (und anderer platonischer Körper) Autor Rolf Monnerjahn Fach Mathematik, Bildende Kunst Zielgruppe Sekundarstufe I Zeitraum 7-9 Stunden Technische Voraussetzungen Computeralgebrasystem (MuPAD) oder dynamische 3D-Software Voraussetzungen Für den Unterricht in Mittel- und Oberstufe sollte entweder ein Computeralgebrasystem (hier verwendet: MuPAD) oder Dynamische Geometriesoftware für 3D-Konstruktionen zur Verfügung stehen, da so Symmetrien noch besser veranschaulicht werden können als durch reale Modelle - wobei auf letztere aber keinesfalls verzichtet werden soll. Das Dodekaeder sollte im Sinne eines Spiralcurriculums an mehreren Stellen Objekt des Mathematikunterrichts sein: In der Orientierungsstufe als interessanter Körper, mit dem Schülerinnen und Schüler sich konkret handelnd auseinandersetzen: Herstellen von Kantengerüst und Faltmodell. In der Mittelstufe als Gegenstand trigonometrischer Berechnungen (Winkel und Streckenlängen). In der Oberstufe als Objekt entdeckenden Untersuchens im Hinblick auf Symmetrien und Beziehungen zu den anderen platonischen Körpern und zu den archimedischen Körpern. Arbeit mit realen Modellen Grundlage jeglicher theoretischer Beschäftigung mit den platonischen Körpern sollte ein praktisches, handlungsorientiertes Herangehen durch Herstellung von Flächen- und Kantenmodellen sein. Auch die Symmetrien der platonischen Körper sollten auf der Grundlage der Arbeitsmaterialien zunächst praktisch erkundet werden: durch Rotation der Körpermodelle und Zerschneiden der Kartonmodelle, so dass durch Auflegen auf einen ebenen Spiegel die Vervollständigung des Körpers durch die Spiegelung erfahrbar wird. Die Darstellung der Körper und der Vollzug von Kongruenztransformationen sollten in Einzel- oder Partnerarbeit durch Handhabung eines CAS oder dynamischer 3D-Geometriesoftware erfolgen. Zusammengesetzte Kongruenzabbildungen wie etwa die Drehspiegelung sind praktisch nicht realisierbar, wohl aber mit derartiger Software deutlich zu veranschaulichen. Das hier beigegebene PDF-Dokument (dodekaeder_juwel_der_symmetrie.pdf) stellt eine Auswahl von Berechnungen und Abbildungen bereit, die mit MuPAD erarbeitet wurden. Es ist als Ideensammlung, zusammenfassende Darstellung und Anregung für den Umgang mit einem CAS gedacht. Einzel-, Partner- und Projektarbeit Die Unterrichtseinheit eignet sich vor allem zur Vertiefung von im Kernunterricht erworbenem faktischen und prozeduralen Wissen und sollte daher in Formen von Einzel-, Partner- und Projektarbeit organisiert werden. Dodekaeder und platonische Körper bieten als Unterrichtsobjekt den Vorteil, dass von einfachsten bis zu höchsten Ansprüchen gestufte Problemstellungen möglich sind. Nachfolgend werden Vorschläge für Arbeitsaufträge formuliert und thematischen Blöcken zugeordnet. 1. Die Darstellung der platonischen Körper Die Eckpunktdaten der platonischen Körper nach geeignetem Einzeichnen rechtwinkliger Dreiecke in Schrägbilddarstellungen (Arbeitsblatt 11) sind durch Anwendung der Trigonometrie zu berechnen, Kantenlängen, In- und Umkugelradius, Winkel zwischen Kanten und Winkel zwischen Flächen sind zu bestimmen. 2. Symmetrien der platonischen Körper Hier sind die Spiegelungen, Rotationen und aus Spiegelungen und Rotationen zusammengesetzten Kongruenzabbildungen zu bestimmen, die die platonischen Körper in sich selbst abbilden. Damit über diese Abbildungen Aussagen formuliert werden können, sind in den beigegebenen Arbeitsblättern 1 bis 5 auf die Netze der platonischen Körper die Durchstoßpunkte der Drehachsen aufgezeichnet, Mittellinien, Mittelsenkrechte und Diagonalen der Seitenflächen eingezeichnet, alle Eckpunkte und Flächen durchnummeriert und damit benennbar. Für das Tetraeder ist im Begleitmaterial die vollständige Symmetrietabelle beigegeben (dodekaeder_juwel_der_symmetrie.pdf). Für Ikosaeder und Dodekaeder ist es nicht sinnvoll, die vollständige Symmetrietabelle zu erarbeiten, wohl aber ausgewählte, vor allem zusammengesetzte Kongruenzabbildungen exemplarisch herauszugreifen. 3. Symmetrie als Grundlage von Emergenz Die fünf platonischen Körper sind durch Symmetrie und Dualität aufeinander bezogen. Dualität heißt, dass Hexa- und Oktaeder, Dodeka- und Ikosaeder jeweils durch Zuordnung von Ecken zu Flächenmitten aufeinander bezogen sind. Verbindet man die Flächenmitten eines Dodekaeders, so erhält man ein Ikosaeder, und verbindet man umgekehrt die Flächenmitten eines Ikosaeders, so erhält man ein Dodekaeder. Auch der Würfel ist durch Konstruktion (Aufbringen eines "Walmdachs" auf jede Fläche) zu einem Dodekaeder umzuwandeln (Arbeitsblätter 6,7, Video dodeca_cubus.wmv). Das Dodekaeder erlaubt durch seine umfassende Symmetrie die regulären Polygone Dreieck, Quadrat, Fünfeck, Sechseck und Zehneck mehrfach aus seiner räumlichen Darstellung "herauszulesen". Diese Polygone und die Polyeder sind in die Schrägbilder der platonischen Körper durch Verbinden von Ecken, Flächen- und Kantenmitten, Diagonalenmitten einzuzeichnen (Arbeitsblatt 11). Hier ist Staunen angebracht: Aus einer Konstruktion, die lediglich auf einer Figur mit Winkeln von 108° und fünf Seiten gleicher Länge beruht, gehen - sozusagen als Dreingabe - Dreiecke, Quadrate, andere Fünfecke, Sechsecke, Zehnecke und völlig unterschiedliche Körper hervor! 4. Gesetzmäßigkeiten an den platonischen Körpern Dass es nicht mehr als fünf platonische Körper geben kann (Euklid), dass für ihre Graphen der Euler'sche Polyedersatz (e + f - 2 = k) gilt, dass nur für das Oktaeder ein Euler'scher Rundweg ("Abschreiten" aller Kanten ohne Wiederholung) existiert, sind leicht zu beweisende Gesetzmäßigkeiten. Das Aufsuchen Hamilton'scher Rundwege ("Abschreiten" aller Ecken ohne Wiederholung) ist eine ohne Überforderung realisierbare Erkundungsaufgabe (Arbeitsblatt 12). 5. Archimedische Körper Verzichtet man auf die Forderung, dass der Körper nur von gleichartigen regulären Vielecken begrenzt sein soll, ergeben sich 13 weitere Körper, die archimedischen, bei denen aber auch alle Kanten die gleiche Länge haben. Sie gehen zum Teil durch Abstumpfung der Ecken aus den platonischen Körpern hervor (siehe Arbeitsblatt 11). 6. Polyedersterne Errichtet man auf den Begrenzungsflächen der platonischen Körper Pyramiden, so erhält man Polyedersterne. Es ist eine reizvolle Bastelarbeit, solche Sterne herzustellen, indem man beispielsweise die Pyramidennetze zu den in den Arbeitsblättern 1 bis 5 vorgegebenen Polyedernetzen konstruiert und die Pyramiden auf die Polyederflächen aufklebt. Arbeitsblätter Die Netze aller platonischen Körper sind hier als Schnittbogen herunterzuladen (1-5). Den Netzen sind die Nummerierungen der Ecken und Flächen sowie alle Symmetrieachsen und drehsymmetrischen Zentren der Flächen aufgedruckt. Zusätzlich ist ein Schnittbogen zur Herstellung eines Umstülpmodells Hexaeder - Dodekaeder beigegeben (6, 7). Zwei Arbeitsblätter zeigen die Zentralprojektion des Dodekaeders in verschiedenen Ansichten (10) und die zentralprojektiven Darstellungen aller platonischen Körper (11). Dabei wurden zu jeder Kante Drittelungs- und Halbierungspunkte eingezeichnet, so dass die dualen Körper und die Abstumpfungen eingezeichnet werden können. Ein Arbeitsblatt zeigt die Graphen der platonischen Körper (12), womit Hamilton'sche und Euler'sche Rundwege gesucht werden können. Monnerjahn, Rolf MuPAD im Mathematikunterricht, Verlag Cornelsen, ISBN 978-3-06-000089-0 Zum Einarbeiten in die Handhabung des CAS MuPAD Adam, Paul und Wyss, Arnold Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde, Verlag Freies Geistesleben, ISBN 3-7725-0965-7

Diese Unterrichtseinheit zum Thema "Symmetrie und Konkrete Kunst" eignet sich zur Vertiefung und Festigung geometrischen Wissens und verbindet das Unterrichtsfach Mathematik mit der Kunst. Die Lernenden erarbeiten in Gruppen ein PrimarWebQuest zur Achsen- oder Drehsymmetrie und zum Künstler Richard Paul Lohse.Die Unterrichtseinheit eignet sich für die dritte oder vierte Klasse, da die Raumauffassung und das Vorstellungsvermögen laut Rahmenplan in dieser Altersstufe weit genug ausgeprägt sind. Der fächerverbindende Unterricht wird mit der digitalen PrimarWebQuest-Methode verknüpft. Die Lernenden werden damit in eine für sie unbekannte Unterrichtssituation mit neuen Herausforderungen versetzt. Die Gruppen behandeln entweder die Achsen- oder die Drehsymmetrie. Die Themen "Symmetrie und Konkrete Kunst" im Unterricht "Symmetrie" ist innerhalb der Geometrie eine Eigenschaft von Figuren oder Objekten, die durch eine Kongruenzabbildung auf sich selbst abgebildet werden. Die Achsenspiegelung/-symmetrie, Drehung/Dreh- und Punktsymmetrie sowie die Translation werden unterschieden. Jede Kongruenzabbildung kann aus mehreren Achsenspiegelungen entstehen. Die Konkrete Kunst beruht auf geometrischen Grundsätzen. Symmetrie ist sowohl in der Natur als auch in der Kunst zu finden. Sie ist für unsere Raumvorstellung relevant. Durch das Arbeiten mit Grundsätzen der Konkreten Kunst werden Regelmäßigkeiten erkannt und der Bildaufbau kann rekonstruiert werden. Vorkenntnisse Die Lernenden sollten die Achsensymmetrie erkennen, benennen sowie achsensymmetrische Muster vervollständigen können. Außerdem müssen sie wichtige Informationen aus Texten entnehmen können. Darüber hinaus sollten sie mit Bleistift, Lineal und Wachsmalstiften umgehen können. Vorteilhaft wären Erfahrungen bezüglich Computer- oder Tablet-Nutzung. Didaktische Analyse Der Symmetriebegriff ist Teil der Leitideen "Raum und Form" sowie "Muster und Strukturen" der Bildungsstandards. Diese beinhalten das Erkennen, Beschreiben und Nutzen von Symmetrien und Gesetzmäßigkeiten sowie das Fortsetzen, systematische Verändern und eigenständige Entwickeln geometrischer Muster. Schwierigkeiten könnten beim Selektieren von Informationen sowie bei der Anwendung des erarbeiteten Wissens entstehen. Methodische Analyse Das Wissen sollte schrittweise und interaktiv gefestigt werden. Außerdem sollte die Lehrkraft zur Unterstützung bereitstehen. Die Inhalte werden innerhalb einer Zwischenreflexion wiederholt. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können die Achsensymmetrie beziehungsweise die Dreh- und Punktsymmetrie erkennen sowie Beispiele in der Umwelt benennen und erläutern. können Grundsätze der Konkreten Kunst erkennen, benennen und beschreiben. Außerdem kennen sie den Künstler Richard Paul Lohse. können eigenständig ein achsensymmetrisches beziehungsweise dreh- oder punktsymmetrisches Kunstwerk erstellen, in welchem sie die Grundsätze der Konkreten Kunst bezüglich der Formen und Farben beachten. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können angemessen mit dem zu bearbeitenden PrimarWebQuest auf einem (Tablet-)Computer umgehen. können mit der App "GeoBoard" umgehen, indem sie ihr geplantes Kunstwerk auf einem digitalen Geobrett spannen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können innerhalb von Gruppen ein PrimarWebQuest bearbeiten, indem sie gemeinsam Informationen recherchieren und sich austauschen. können gemeinsam ihr erarbeitetes Wissen anwenden, indem sie die Kunstmappe ausfüllen.

In dieser Unterrichtseinheit zum Rechnen in Restklassen stellen die Schülerinnen und Schüler nach einer Einführung Multiplikationstafeln modulo n auf und färben diese ein – sowohl von Hand als auch mithilfe einer programmierten Excel-Tabelle. Anhand der Farbmuster der Tabellen lassen sich spielerisch Strukturen der Multiplikationstafeln entdecken und analysieren. Erkenntnisse über Besonderheiten der zu n teilerfremden Reste führen hin auf das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion. In einer Fortsetzung der Unterrichtsreihe können später auch Potenzen modulo n in analoger Weise mit gefärbten Tabellen untersucht werden. In der Unterrichtseinheit "Rechnen in Restklassen" arbeiten die Schülerinnen und Schüler überwiegend in Kleingruppen. Wichtigstes Medium sind die hier bereitgestellten Arbeitsblätter, die zur Diskussion und Sicherung der Ergebnisse auch als Folien vorliegen sollten. Um die Vorwegnahme von Ergebnissen zu vermeiden, dürfen nicht alle in einer Datei enthaltene Arbeitsblätter gleichzeitig ausgegeben werden. Die zentralen Teile 2 und 3 dieser Unterrichtsreihe wurden für eine Arbeitsgemeinschaft begabter Schülerinnen und Schüler der Klassen 7-8 konzipiert. Der vorbereitende Teil 1 wurde in derselben Lerngruppe bereits in Klasse 5 behandelt. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien Die Einheit besteht aus drei Teilen: (1) Einführung in Restklassen, (2) Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien, (3) Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen, phi-Funktion. Die Schülerinnen und Schüler kennen grundlegende Begriffe und Rechenregeln für das Rechnen in Restklassen und wenden sie an. stellen Multiplikationstafeln für Restklassen auf und beschreiben deren Strukturen, zum Beispiel Symmetrien, mithilfe von Einfärbungen erkunden und für andere verständlich. beschreiben Symmetrien von quadratischen Matrizen ("Tabellen") formal. entwickeln Argumentationen und elementare zahlentheoretische Beweise. erkunden die Werteverteilung von a x mod n (bei festem a und n) mithilfe der eingefärbten Multiplikationstafeln, beschreiben sie und beweisen die Aussagen formal. lösen lineare Kongruenzen. bestimmen Multiplikationstafeln für das reduzierte Restsystem erzeugen und phi(n) für kleine n. Begriffe und Regeln für das Rechnen in Restklassen Im ersten Teil der Unterrichtsreihe (zwei Zeitstunden) lernen die Schülerinnen und Schüler in Analogie zur Unterscheidung von geraden und ungeraden Zahlen die Begriffe "Restklasse", "Modul", "Kongruenz" sowie elementare Regeln für das Rechnen in Restklassen anhand von Arbeitsblättern kennen (restklassen_1.pdf; im Download-Paket der Startseite befinden sich neben den PDFs auch alle Dateien im editierbaren RTF-Format). Einfärbung der Multiplikationstafeln von Hand Im zweiten Teil (zwei bis drei Zeitstunden) stellen die Lernenden zunächst selbst Multiplikationstafeln modulo n auf. In einem weiteren Arbeitsblatt (alle Arbeitsblätter siehe restklassen_2.pdf) färben sie die bereits fertig ausgedruckten Multiplikationstafeln bis n = 12 von Hand ein (gleiche Reste - gleiche Farben). Dadurch wird der Blick auf die Struktur der Tabellen gelenkt und eine spielerische Analyse ihrer Eigenschaften eingeleitet, die durch ein Arbeitsblatt zur formalen Beschreibung der Symmetrieeigenschaften vertieft wird. Durch die Einfärbung der Multiplikationstafeln von Hand haben die Schülerinnen und Schüler Zeit und sind gehalten, sich eingehend mit den Tafeln und ihrer Struktur zu beschäftigen. Einige interessante Schülerbeobachtungen aus diesem Teil der Unterrichtsreihe sind dokumentiert (restklassen_2_schuelerbeitraege.pdf). Automatische Einfärbung mit Excel Erst nach der händischen Arbeit mit den Tabellen kommt die Excel-Datei (produkte_in_restklassen.xls) zum Einsatz, um bei der systematischen Erforschung schnell zwischen verschiedenen, auch größeren, Moduln wechseln zu können. Bei Eingabe des Moduls erfolgt die Einfärbung automatisch. Bei kleinen Lerngruppen reicht es, die Datei auf einem Rechner mit angeschlossenem Beamer auszuführen und den jeweils gewünschten Modul auf Zuruf einzugeben. Ergänzend dazu erhalten die Schülerinnen und Schüler ein Arbeitsblatt mit fertig eingefärbten Tafeln bis n = 10. Besser ist es jedoch (vor allem in Teil 3), wenn die Schülerinnen und Schüler eigene Rechner benutzen und verschiedene Moduln selbst eingeben können. Fortführung der Untersuchung der Multiplikationstafeln Im dritten Teil (zwei bis drei Zeitstunden) wird die systematische Untersuchung der Multiplikationstafeln fortgesetzt. Die zugehörigen Arbeitsblätter (restklassen_3.pdf) enthalten engere Fragestellungen, die auf die Anzahl und die Verteilung der in einer Tabellenzeile auftretenden Farben beziehungsweise Reste in Abhängigkeit von der Zeilennummer abzielen, also auf die Werteverteilung von a x mod n bei festem a und n. Dabei ist insbesondere der Fall ggT(a,n) = 1 von Interesse. Die Antworten werden mithilfe der Excel-Datei (produkte_in_restklassen.xls) zunächst empirisch gefunden und dann bewiesen. Lineare Kongruenzen, reduziertes Restsystem, phi-Funktion Die Ergebnisse führen auf die Lösung von linearen Kongruenzen, das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion, die aber im hier dargestellten Rahmen nur ansatzweise behandelt wird. Die praktischen Anwendungen in Form von "handfesten" Rechenaufgaben (lineare Kongruenzen) wurden von den Schülerinnen und Schülern dankbar angenommen. Bei der Bestimmung von phi(n) leistet die Excel-Datei wieder gute Dienste, da man mit der Tastenkombination Strg+R zum reduzierten Restsystem übergehen kann. Auch hier gilt: Computer nicht zu früh einsetzen! Beobachtungen und Beweise Die intendierten Beobachtungen und die zugehörigen Beweise werden hier ebenfalls zum Download angeboten (restklassen_3_beobachtungen.pdf). Die Beweise können in dieser Form auch der Lerngruppe zum Nacharbeiten zur Verfügung gestellt werden, zumal unter Umständen nicht alle im Unterricht vollständig ausgeführt werden können.

In dieser Unterrichtseinheit ­­­­­­entdecken die Lernenden die Eigenschaften von Quadraten und Rechtecken mithilfe der mathematischen Radiosendung "Wer wohnt im Haus der Vierecke?" vom hr2-Kinderfunkkolleg Mathematik. Diese soll die Schülerinnen und Schüler darin unterstützen, Zusammenhänge und Beziehungen zwischen den beiden Viereckarten (fach)sprachlich beschreiben zu können. Vierecke zählen zu den bekanntesten geometrischen Formen in der Mathematik. Sie können in vielen unterschiedlichen Formen auftreten und sind aufgrund ihrer Vielfältigkeit ein spannender Anlass, um im Geometrieunterricht Zusammenhänge zwischen geometrischen Formen zu entdecken und zu begründen. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit zwei besonderen Vierecken: dem Quadrat und dem Rechteck. Sie lernen die geometrischen Eigenschaften von Quadraten und Rechtecken kennen, bevor sie diese vergleichen, zueinander in Beziehung setzen und in das (vereinfachte) "Haus der Vierecke" einordnen. Da die Schülerinnen und Schüler mathematische Fachsprache nutzen müssen, um die Eigenschaften besonderer Vierecke und Zusammenhänge zwischen diesen beschreiben zu können, beinhaltet die folgende Lerneinheit neben der Förderung fachmathematischer Kompetenzen auch sprachförderliche Elemente. Dadurch werden mathematische und (fach)sprachliche Kompetenzen gleichermaßen gefördert. Zur Erarbeitung der Begriffe "Quadrat" und "Rechteck" werden Ausschnitte aus dem Radiobeitrag verwendet. In diesen werden die Eigenschaften des Quadrats und des Rechtecks beschrieben und miteinander verglichen. Zudem werden beide Vierecke in das vereinfachte "Haus der Vierecke" eingeordnet. Die Schülerinnen und Schüler erhalten Höraufträge in Form von Steckbriefen, welche sie während des Hörens der Radiobeiträge ausfüllen sollen. Auf diese Weise kann der Prozess des Zuhörens, insbesondere selektives Zuhören und sinnentnehmendes Zuhören, unterstützt werden. Außerdem wird die Möglichkeit gegeben, das Gehörte eigenständig zu visualisieren. In Paararbeit werden die Ergebnisse verglichen sowie Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Viereckarten erarbeitet. Abschließend werden das Quadrat und das Rechteck gemeinsam in das "Haus der Vierecke" eingeordnet und Zusammenhänge zwischen ihnen begründet. Nach ähnlichem Schema können anschließend die noch fehlenden Viereckarten behandelt, das "Haus der Vierecke" weiter gefüllt werden und so vertiefende Gespräche über die Zusammenhänge zwischen allen Viereckarten stattfinden. Fachlich fundierte Informationen zur Methode des sprachsensiblen Unterrichtens finden Sie in unserem Fachartikel " Sprachsensibler Mathematikunterricht mithilfe einer Radiosendung ". Quadrate und Rechtecke sind bereits aus dem geometrischen Anfangsunterricht bekannt und eignen sich besonders als Einstieg in die Arbeit mit dem "Haus der Vierecke". An diese Vorerfahrungen knüpft die hier dargestellte Lerneinheit an. Die Lernenden sollten dafür bereits Vorkenntnisse zu den Aspekten "rechter Winkel", "Parallelität" sowie "Symmetrie" mitbringen. Bei der Unterrichtseinheit handelt es sich um eine sprachsensible Lernumgebung mit einem mathematischen und einem sprachlichen Lernpfad. Aus mathematischer Perspektive ist herauszuarbeiten, inwiefern das Quadrat und das Rechteck miteinander verwandt sind. In sprachlicher Hinsicht soll bei der Beschreibung der Vierecke und ihrer Zusammenhänge mathematische Fachsprache genutzt werden. Ausschnitte eines mathematischen Radiobeitrages werden hierfür als (fach)sprachliches Vorbild eingesetzt. Um den Zuhörprozess zu unterstützen, sollen Höraufträge in Form von auszufüllenden Steckbriefen zum Quadrat und zum Rechteck bearbeitet werden. Insgesamt kann durch den Radiobeitrag in Kombination mit den Höraufträgen der Begriffserwerb in Bezug auf Eigenschaften geometrischer Formen gefördert werden. Die Lernenden füllen während des Hörens der Radioausschnitte zum Quadrat und zum Rechteck die entsprechenden Steckbriefe aus. Dadurch, dass diese in Unterpunkte strukturiert sind, wird die Aufmerksamkeit während des Zuhörprozesses auf wichtige Teilaspekte gelenkt. Die Abbildungen der Vierecke auf den Arbeitsblättern ermöglichen ein Markieren oder Beschriften, wodurch das Gehörte eigenständig visualisiert und in der vergleichenden Partnerarbeit besser nachvollzogen werden kann. Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den Eigenschaften von Quadrat und Rechteck erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler in Paararbeit und halten die Ergebnisse auf einem Arbeitsblatt schriftlich fest. Als sprachliche Unterstützung befinden sich auf dem Arbeitsblatt passende Satzanfänge. Darüber hinaus kann ein Wortspeicher mit wichtigen geometrischen Begriffen genutzt werden. Das gemeinsame Einordnen der beiden Vierecke in das "Haus der Vierecke" soll Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften von Quadrat und Rechteck deutlich machen und Begriffshierarchien verdeutlichen. Das mathematische Begründen stellt dabei eine große Herausforderung dar und kann beispielsweise durch den Einsatz des Wortspeichers oder der festgehaltenen Ergebnisse unterstützt werden. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erkennen, benennen und unterscheiden Quadrate und Rechtecke voneinander aufgrund ihrer Eigenschaften. nutzen mathematische Fachsprache, um die Eigenschaften von Quadraten und Rechtecken zu beschreiben. ordnen das Quadrat und das Rechteck begründet in das "Haus der Vierecke" ein. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen das Medium Radio zur Unterstützung ihres Lernprozesses, indem sie einem Radiobeitrag relevante Informationen entnehmen und mit diesen arbeiten. bedienen ein technisches Endgerät für die Wiedergabe eines auditiven Mediums. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler stellen ihre Arbeitsergebnisse adressatengerecht vor. kooperieren mit ihren Mitschülerinnen und Mitschülern und berücksichtigen deren Meinungen und Vorgehensweisen während der Paararbeit. helfen sich gegenseitig bei Fragen und Problemen.

In dieser Unterrichtseinheit wird am Beispiel der Einführung in die Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponent gezeigt, wie sich Schülerinnen und Schüler mit dynamischen Arbeitsmaterialien die Eigenschaften dieser Funktionen durch Experimentieren und Beobachten erarbeiten können.Eigenschaften von Potenzfunktionen anhand ihrer Graphen eigenständig zu entdecken und Funktionsgleichungen zu interpretieren ist eine interessante Alternative zur herkömmlichen Einführung der Potenzfunktion. Die dafür notwendige experimentelle Umgebung, die Lernende im Erkenntnisprozess unterstützt und begleitet, wird mithilfe von interaktiven dynamischen Arbeitsblättern realisiert. Die Kombination von Übungen am Computer und schriftlicher Zusammenfassungen schafft eine neue und interessante Unterrichtsform. Am Beispiel der Einführung in die Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponent soll aufgezeigt werden, wie Schülerinnen und Schüler sich die Eigenschaften dieser Funktionen durch Experimentieren und Beobachten erarbeiten können. Durch die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen werden sie in die Lage versetzt, sich ihrem eigenen Lerntempo entsprechend mit den Eigenschaften von Potenzfunktionen aktiv auseinander zu setzen. Die inhaltliche Aufbereitung der einzelnen interaktiven dynamischen Arbeitsblätter bietet eine Vorstrukturierung der zu erarbeitenden Unterrichtsinhalte. So leitet die Unterteilung in geradzahlige und ungeradzahlige Exponenten sowie die Vorgabe von jeweils neun zu prüfenden Aussagen zu zielgerichtetem Experimentieren an und unterstützt den individuellen Lernprozess. Die Zahl n als Exponent steht im Folgenden in allen Funktionsgleichungen stets für eine natürliche Zahl. Voraussetzungen und Hinweise zu den Materialien Inhaltliche und technische Voraussetzungen sowie allgemeine Hinweise zum Aufbau und zur Nutzung der Online-Arbeitsblätter Unterrichtsverlauf Hinweise zur Nutzung der einzelnen Arbeitsblätter mit Screenshots Die Schüler und Schülerinnen erkennen, dass die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x n für gerade und ungerade Exponenten unterschiedlich sind und diese benennen können. können den Einfluss des Parameters a in der Funktionsgleichung y = ax n auf den Verlauf des Graphen beschreiben. erkennen, dass die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x -n für gerade und ungerade Exponenten unterschiedlich sind und diese benennen können. können den Einfluss des Parameters a in der Funktionsgleichung y = ax -n auf den Verlauf des Graphen beschreiben. können anhand vorgegebener Graphen deren Gleichung ermitteln. Inhaltliche Voraussetzungen Das hier vorgestellte Übungskonzept setzt voraus, dass die Schülerinnen und Schüler Begriffe wie etwa Funktion, Definitionsmenge und Wertemenge bereits kennen und über grundlegende Kenntnisse zum Thema Symmetrien von Funktionsgraphen verfügen. Technische Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit beinhaltet insgesamt fünf Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss das Java Plugin (1.4.2 oder höher, kostenloser Download) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Die Bedienung aller Online-Arbeitsblätter ist identisch und ermöglicht somit nach einer kurzen Einführung durch die Lehrkraft ein selbstständiges Arbeiten der Schülerinnen und Schüler. Bei allen Arbeitsblättern wird beim Seitenstart der dynamische Graph einer Potenzfunktion erzeugt. Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die in der linken Spalte des Arbeitsblatts stehenden 18 Aussagen überprüfen und die zutreffenden jeweils per Mausklick auswählen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Zur Lösungsfindung können sie mit dem Schieberegler n unterschiedliche Funktionsgraphen erzeugen. Wenn die Schülerinnen und Schüler der Ansicht sind, alle Eigenschaften gefunden zu haben, so können sie ihre Lösung mit einem Klick auf den Button "Auswertung" überprüfen lassen. Je nach Richtigkeit und Vollständigkeit der Schülerbeobachtung wird ein entsprechendes Pop-up-Fenster erzeugt. Sind alle Eigenschaften richtig zugeordnet erscheint die Bestätigung: "Ausgezeichnet! Das hast du sehr gut gemacht! Du hast beide Fälle richtig bearbeitet." (Abb. 2a)." Wurde hingegen keiner der beiden Fälle richtig bearbeitet, erscheint im Pop-up-Fenster die Meldung: "Schade! Leider beide Fälle falsch! Versuche es noch einmal!" (Abb. 2b). Hat eine Schülerin oder ein Schüler einen der beiden Fälle, zum Beispiel "n ist gerade", richtig analysiert und den Fall "n ist ungerade" falsch oder unvollständig beschrieben, so erscheint im Pop-up-Fenster die Meldung: "Schade! Nur ein Fall ist richtig erkannt! Versuche es noch einmal!" (Abb. 2c). Bei den Rückmeldungen auf unvollständige oder falsche Eingaben erfolgt keine detaillierte Fehleranalyse. Die Schülerinnen und Schüler werden dadurch gezwungen, alle Aussagen erneut auf ihre Richtigkeit zu überprüfen und ihre Beobachtungen zu präzisieren. Funktionen mit der Gleichung y = ax n In einem weiteren Schritt schließt sich im Unterricht die Betrachtung von Funktionsgraphen an, denen die Gleichung y = ax n zu Grunde liegt. Aufbau und Funktionsweise des Arbeitsblatts (Abb. 3, Platzhalter bitte anklicken) sind identisch zum vorhergehenden. Das dynamische Element besitzt zusätzlich einen Schieberegler für den Parameter a. Neben dem Graphen zur Funktion y = ax n wird der Graph zur Funktionsgleichung y = x n dynamisch erzeugt und grau eingezeichnet. Dadurch lassen sich die Veränderungen der Graphen, die durch den Parameter a veranlasst werden, gezielt beobachten. Die Aufgabe der Schülerinnen und Schüler besteht wieder darin, die Eigenschaften der Funktionen zu finden. Funktionen mit der Gleichung y = x -n Die Konzeption der zweiten Unterrichtsstunde orientiert sich am Verlauf der vorhergehenden. Nach einer kurzen Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse anhand der dort angefertigten Folie erfolgt eine Einführung in die Funktionsweise des Arbeitsblatts (Abb. 4) durch die Lehrkraft. Die Schülerinnen und Schüler experimentieren dann wieder eigenständig, um die Eigenschaften der vorliegenden Funktionen zu erkunden. Im Anschluss werden die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten im Arbeitsblatt "hefteintrag_2.pdf" festgehalten. Die Zuordnung der vier Funktionsgraphen im PDF-Arbeitsblatt kann wieder in Partnerarbeit als Element einer Ergebnissicherung verwendet werden. Funktionen mit der Gleichung y = ax -n Es schließt sich im weiteren Verlauf der Unterrichtsstunde die Betrachtung von Funktionsgraphen an, denen die Gleichung y = ax -n zu Grunde liegt (Abb. 5). Aufbau und Funktionsweise des Arbeitsblatts sind im Wesentlichen wieder identisch zum vorhergehenden. Zusätzlich besitzt das dynamische Element des Arbeitsblatts einen Schieberegler für den Parameter a. Der Graph zur Funktionsgleichung y = x -n wird ebenfalls wieder erzeugt und grau eingezeichnet. Haben die Schülerinnen und Schüler die Eigenschaften gefunden, können sie erneut ihre Angaben mit einem Klick auf den Button "Auswertung" prüfen lassen. Graphen werden Funktionsgleichungen zugeordnet Mit den Übungen der dritten Unterrichtsstunde können die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse bezüglich der Eigenschaften von Potenzfunktionen weiter vertiefen und auf unterschiedliche Graphen anwenden. Das dynamische Arbeitsblatt (Abb. 6) weist die gewohnte Zweiteilung auf. In der linken Spalte sind zwölf Funktionsgleichungen vorgegeben. Beim Seitenstart oder nach dem Klick auf den Button "Neue Aufgabe" wird in der rechten Spalte des Arbeitsblatts der Graph einer Potenzfunktion erzeugt. Dabei kann zur Lösungsfindung ein Punkt auf dem jeweiligen Graphen bewegt werden, dessen Koordinaten fortlaufend aktualisiert und angezeigt werden. Die Aufgabe der Schülerinnen und Schüler besteht darin, die richtige Gleichung für den gezeichneten Graphen anzugeben, in dem sie diese per Mausklick aus den gegebenen Gleichungen auswählen. Nach einem Klick auf den Button "Auswertung" erhält die Schülerin oder der Schüler eine der Eingabe entsprechende Rückmeldung. Differenzierte Auskunft über Schülerleistungen Die Rückmeldung gibt dabei neben der Bewertung der Schülerlösung zusätzlich Auskunft darüber, wie viele Lösungsversuche die Schülerin oder der Schüler für die aktuelle Aufgabe benötigt hat, wie viele Versuche insgesamt unternommen wurden und wie viele Aufgaben bisher gelöst wurden. Die beobachtende Lehrkraft erhält so einen schnellen Überblick über die Leistungsfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. Schriftliches Formulieren, um Kenntnisse zu festigen und zu vertiefen An diese Übung am Computer schließt sich wieder eine Zusammenfassung mit einer herkömmlichen Übung an. Dabei kommt das Arbeitsblatt "potenzfunktionen_quiz.pdf" zum Einsatz. Auch hier sollen Funktionsgraphen Funktionsgleichungen zugeordnet werden. Doch sollten die Schülerinnen und Schüler nun zusätzlich schriftlich festhalten, an welchen Besonderheiten des Graphen sie die Funktionsgleichung bestimmt haben. Das schriftliche Formulieren von gewonnenen Erkenntnissen ist nach einer am Computer durchgeführten Übung immer notwendig, damit sich die Lernenden mit der den Aufgaben zu Grunde liegenden Struktur auseinandersetzen und so ihre Kenntnisse weiter festigen und vertiefen können.