Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit basiert auf interaktiven Webseiten mit dynamischen GeoGebra-Applets. Sie schaffen Visualisierungsmöglichkeiten, die auf dem Papier und an der Tafel nicht realisierbar sind und das Verständnis erleichtern. Wie hoch darf ein Schrank höchstens sein, damit man ihn noch durch Kippen aufstellen kann, ohne dass er an der Decke kratzt? Wie weit kann man von einem 30 Meter hohen Ausguck eines Schiffs bei klarer Sicht auf das Meer sehen? Welchen Weg beschreibt ein in einem fahrenden Zug senkrecht nach oben steigender Lichtblitz, wenn man ihn vom Bahnhof aus betrachtet? Bei der Lösung dieser Probleme stößt man auf Dreiecke. Es sind nicht irgendwelche Dreiecke. Es sind Dreiecke mit einem 90°-Winkel: rechtwinklige Dreiecke. Das, was man wissen will, ist eine Seitenlänge dieser Dreiecke. Ausgerechnet die unbekannte Seitenlänge. Doch mit wenigen Tricks kann man aus den bekannten Stücken des Dreiecks die unbekannten berechnen. Damit beschäftigten sich schon die Pythagoräer etwa 500 vor Christus, ja schon über 1.000 Jahre zuvor kannten die Babylonier diese Tricks. Und wer sie kennt, kann auch obige Fragen beantworten... Bei den dynamischen GeoGebra-Applets können die Nutzerinnen und Nutzer mithilfe der Maus oder der Tastatur am Computer die Zeichnungen und Konstruktionen kontinuierlich verändern und so bestimmte Fragestellungen dynamisch verfolgen und überprüfen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Kontrollaufgaben mit einblendbaren Lösungen dienen der Lernzielkontrolle. Einsatz im Unterricht Fachliche Voraussetzungen sowie Hinweise zu den Einsatzmöglichkeiten des Online-Kurses und zur Gestaltung der Arbeitsmaterialien. Unterrichten mit Beamer - Praxiserfahrungen Sowohl der Unterricht an der Tafel als auch mit dem Beamer bietet jeweils Vorteile, die nicht in jedem Fall kombinierbar sind. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck sicher beherrschen. den "Kathetensatz" (mithilfe der Ähnlichkeit) beweisen, formulieren und anwenden können aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat konstruieren können. den "Satz des Pythagoras" (mithilfe des Kathetensatzes) beweisen, formulieren und (insbesondere an Körpern) anwenden können. andere Beweise und die "verallgemeinerte Form" des "Satzes von Pythagoras" kennen lernen. den Umkehrsatz des "Satzes von Pythagoras" formulieren und anwenden können. den "Höhensatz" aus den vorausgehenden Sätzen herleiten, formulieren und anwenden können. Thaleskreis und Ähnlichkeitssätze Erforderliche mathematische Voraussetzungen für den Kurs sind Kenntnis des Thaleskreis und der Ähnlichkeitssätze, die zum Beweis des Kathetensatzes herangezogen werden. Diese Vorkenntnisse werden in der Unterrichtseinheit kurz wiederholt. Deduktive Herleitung Mit dem Kathetensatz kann dann leicht algebraisch oder anschaulich geometrisch der Satz des Pythagoras bewiesen werden. Aus diesen beiden Sätzen resultiert dann wiederum (aus einem einfachen linearen Gleichungssystem) der Höhensatz. Bei dieser Vorgehensweise lernen die Schülerinnen und Schüler unter Anwendung bekannter algebraischer und geometrischer Fertigkeiten das Prinzip der deduktiven Herleitung neuer Sätze kennen. Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras bietet eine gute Gelegenheit, die Problematik von Satz und Umkehrsatz zu vertiefen. Mit einfachen Berechnungen an Körpern soll auch das räumliche Vorstellungsvermögen geschult werden. Für diese Unterrichtseinheit bieten sich verschiedene Einsatzmöglichkeiten an: begleitende dynamische Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Neudurchnahme im Unterricht inklusive Hefteintrag selbstständige Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffes, eventuell in Übungsstunden oder als Hausaufgabe Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte (beispielsweise vor Prüfungen) Selbstständiges Erarbeiten Der Text der Webseiten wurde bewusst prägnant gehalten, um einen selbstständigen Hefteintrag zu erleichtern. (Merk-)Sätze sind (wie im Tafel-Unterricht) rot eingerahmt. Wichtige Formeln oder weiterführende Begriffe sind farblich hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet (siehe Abb. 1, zur Vergrößerung bitte anklicken). Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt. Die Kontrollaufgaben sind kurz und einfach zu bearbeiten, um die Lernenden durch ein schnelles und erfolgreiches Fortkommen zu motivieren. Die Antworten der Kontrollfragen können durch Anklicken der blauen Satz- oder Rechenzeichen angezeigt werden. In nachfolgenden oder begleitenden Übungen sollte der Schwierigkeitsgrad mit reorganisatorischen und Transferaufgaben erhöht werden. Erarbeitung Schritt-für-Schritt Ein großer Vorteil des Unterrichtens an der Tafel, nämlich ein aus dem fragend-entwickelnden Unterricht flexibles, sukzessiv entstehendes Tafelbild, geht bei Präsentationen mit dem Computer verloren. Mit Hilfe von auf Java-Script-Code basierenden Einblendungen wird dieses Defizit zum Teil ausgeglichen. Ergebnisse und Lösungen werden so nicht vorweg projiziert, sondern können nach gemeinsamer Erarbeitung präsentiert werden. Diese Möglichkeit der animierten Wiedergabe ist mit gängiger Präsentationssoftware wie Impress oder Powerpoint leichter realisierbar. Leider gestaltet sich hier jedoch die Einbindung von Java-Applets in Folien als problematisch. Außerdem können Webseiten - unabhängig von Präsentationssoftware und Betriebssystem - online und damit von Schülerinnen und Schülern auch zu Hause verwendet werden. (Tipp: Taste F11 zur Vollbild-Darstellung der Webseiten). Beamereinsatz und Tafelunterricht Die dynamischen Arbeitsblätter könnten parallel zum Tafelunterricht eingesetzt werden, was sich jedoch in der Praxis in engen Klassenzimmern mit mehr als 30 Schülerinnen und Schülern leider oft als sehr umständlich erweist. Die für den Beamer erforderliche Projektionsfläche liegt meist hinter der Tafel. Die Computerräume wiederum sind meist nicht für den Tafelunterricht ausgelegt. Ein in der Praxis nicht immer leicht zu realisierender Kompromiss ist das Abwechseln von Unterrichtsstunden mit Beamer zur Einführung und Fixierung der Inhalte und Übungsstunden mit Tafel zur Einübung und Festigung des Gelernten anhand von Aufgaben zum Beispiel aus dem begleitenden Lehrbuch.

In der Unterrichtseinheit zum Thema "Kreise im gleichseitigen Dreieck" stellen die Schülerinnen und Schüler geometrische Betrachtungen zum Einbeschreiben in Dreiecken an und erarbeiten die algebraische Berechnung von Radien und Flächen.Der Inkreis eines Dreiecks wird durch Konstruktion bereits in Klasse 7 thematisiert. Mit den Mitteln der Algebra und Ideen aus der Geometrie lassen sich für einen Kreis der Radius und somit die Fläche bestimmen. Mit diesem Unterrichtsmaterial können sich die Schülerinnen und Schüler aber darüber hinaus nun erarbeiten, welche Folgen es hat, wenn man nicht nur einen, sondern 3, 6, 10 oder mehr kongruente Kreise in ein gleichseitiges Dreieck einbeschreibt. Dabei können selbstständig Hilfeleistungen zur Lösungsfindung herangezogen werden. Das Thema "Kreise im gleichseitigen Dreieck" im Unterricht Kennenlernen von irrationalen Wurzeln – Kennenlernen des Satzes von Pythagoras: irrationale Zahlen bei Längenbetrachtungen erscheinen in unterschiedlichen Kontexten. Schon die Diagonale in einem Quadrat lässt sich nur mit Hilfe der Wurzel aus 2 exakt bestimmen. Aber Wurzeln treten bei Längenbetrachtungen in vielen Figuren auf. Zum Erarbeiten von Endergebnissen ist oft auch ein sicherer Umgang mit Wurzeln nötig. Vorkenntnisse Die Formeln zur Berechnung von Kreis- und Dreiecksflächen sind bekannt. Wiederholt werden besondere Linien im Dreieck und deren Bedeutung. Der Satz des Pythagoras sowie die Bedeutung von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck sind nötig, auch wenn manche Überlegungen mit Hilfe der Ähnlichkeit gelöst werden können. Ein sicherer Umgang mit Wurzeln und Termen wird vorausgesetzt und geübt. Didaktische Analyse Gelingt es den Schülerinnen und Schülern Teilfiguren zu erkennen? Während der Umgang mit Termen zur Berechnung von Flächen für die Lernenden eine Selbstverständlichkeit sein sollte, treten häufig Schwierigkeiten auf, passende Teilstücke in einer Fragestellung zu entdecken. Oft genügt der Hinweis auf wenige Hilfslinien, sodass den Schülerinnen und Schülern ein anderer Blick auf das Problem gelingt. Ein Teil der Lerngruppe benötigt mehr Hilfen, dem anderen fällt diese Einteilungen leicht. Mit dem vorgestellten Problem können leistungsstarke Schülerinnen und Schüler anspruchsvollere Probleme bearbeiten. Die Vorstellung der Lösung wird aber auch den schwächeren Schülerinnen und Schülern verständlich sein, vor allem da sie sich mit ähnlichen Fragenstellungen beschäftigen konnten. Dadurch, dass sich alle Schülerinnen und Schüler mit der Thematik auseinandergesetzt haben, wird ihnen das Endergebnis – egal ob sie schwierige Fragen selbst oder nur die Einstiegsaufgaben gemeistert haben – plausibel erscheinen. Methodische Analyse Wenn ein Schüler oder eine Schülerin nicht mehr weiter kommt, können unterschiedliche kurze Hilfeleistungen auf den Arbeitsblättern gegeben werden. Vieles sollen die Schülerinnen und Schüler allein oder in Partnerarbeit lösen. So kann sehr individuelle spezielle Unterstützung erfolgen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren und modellieren mathematisch. lösen Probleme mathematisch. gehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um. arbeiten mit mathematischen Darstellungen kommunizieren mathematisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sicher am PC mit einem dynamischen Geometrie-System. verstehen, wie eine Tabellenkalkulation viele Werte bestimmt und darstellt. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich in der Gruppenarbeit ein. geben zur Erarbeitung und Vorstellung von Inhalten Unterstützung und fragen nach individuellen Hilfen von anderen.

Die hier vorgestellte Lerneinheit zur Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie nutzt interaktive Webseiten mit dynamischen GeoGebra-Applets. Animierte Simulationen aus der Lernumgebung bieten Visualisierungsmöglichkeiten, die auf dem Papier und an der Tafel nicht realisierbar sind und die das Verständnis erleichtern.Die Grundzüge der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) basieren auf einer einfachen Formel. Nein, nicht E = mc², sondern v = s/t. Ausgehend von zwei einfachen Annahmen lieferten revolutionäre Gedankenexperimente über die Laufzeit von Licht, gemessen von zueinander bewegten Beobachtern, verblüffende neue Erkenntnisse über Raum und Zeit. Und mithilfe des guten alten Pythagoras (Link zur Lernumgebung "Die Satzgruppe des Pythagoras" des Autors bei Geogebra.org) sind auch die zugehörigen Formeln für die Zeitdilatation und die Längenkontraktion schnell hergeleitet. In der Lernumgebung zur Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie können Lehrende und Schülerinnen und Schüler mithilfe der Maus am Monitor Darstellungen und Konstellationen kontinuierlich verändern. Bestimmte Fragestellungen lassen sich so dynamisch verfolgen und überprüfen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den physikalischen Sachverhalten. So wird die Relativität der Gleichzeitigkeit am Beispiel der Beobachtung eines Lichtblitzes erkundet, der in der Mitte einer fliegenden Rakete gezündet wird. Die Geschwindigkeit des Raumschiffs können die Lernenden dabei variieren. Kinematik der SRT - prägnant und kompakt Weder für die Lehrkraft noch für die interessierten Schülerinnen und Schüler ist es befriedigend, wenn Formeln vom Himmel fallen, insbesondere wenn es um die populäre Relativitätstheorie geht. Andererseits sehen zeitlich knapp kalkulierte Lehrpläne meist nur eine Mitteilung oder einen Hinweis auf die Gleichungen der Zeitdilatation oder der Längenkontraktion vor. Intention der hier vorgestellten interaktiven Lerneinheit ist es daher, die Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie möglichst prägnant und kompakt zu erläutern, ohne auf die Herleitung der zugehörigen Formeln zu verzichten. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dabei auch, dass mathematische Grundkenntnisse fundamental, ja hier sogar ausreichend sind, um zu neuen Erkenntnissen zu gelangen. Die erarbeiteten Formeln sollten in Anwendungsaufgaben (beispielsweise Durchqueren der Atmosphäre von Myonen oder Reise zu ?-Centauri) gefestigt werden. In der Unterrichtspraxis führte die Lerneinheit stets automatisch zu Diskussionen, die auf das Zwillingsparadoxon, das Hafele-Keating-Experiment und die Kausalitätsproblematik abzielten und von der Lehrkraft aufgenommen werden konnten. Anknüpfungspunkt für die Dynamik der SRT Auf diese Weise erhalten die Lernenden trotz der Einschränkungen des alltäglichen Unterrichtbetriebs einen über bloße Mitteilungen hinausgehenden Einblick in die SRT, der als Basis für weiterführende, eigenständige Forschungen und als Anknüpfungspunkt für die Dynamik der SRT dienen kann. Einsatzmöglichkeiten und Aufbau der Materialien Die Konzeption der Texte, Zusatzinformationen, Lösungen und die Interaktivität der Lernumgebung werden hier skizziert. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung der Postulate der Speziellen Relativitätstheorie verstehen. die Notwendigkeit einer präzisen Definition von Ort und Zeit eines Ereignisses einsehen. die Relativität der Gleichzeitigkeit als zwingende Konsequenz der Postulate erkennen. die Formel für die Zeitdilatation herleiten und anwenden können. die Formel für die Längenkontraktion herleiten und anwenden können. die Zitate aus Originalarbeiten richtig deuten und dem Gelernten zuordnen können. Für die Lerneinheit bieten sich zwei Einsatzmöglichkeiten an: begleitende dynamische Visualisierung der Erklärung von Einsteins Gedankenexperimenten während der Neudurchnahme im Unterricht selbstständige, aktiv-entdeckende Erarbeitung des (eventuell bereits im Unterricht thematisierten) Stoffes Texte und Zusatzinformationen Der erläuternde Text wurde bewusst möglichst prägnant gehalten, um eine zügige Erarbeitung und Fixierung im Heft zu erleichtern. Per Klick auf die kleinen Notizblock-Symbole können Kästen mit Zitaten aus den Originalarbeiten von Galileo Galilei (1564-1642) oder Albert Einstein (1879-1955) oder auch weiterführende Erläuterungen ein- und ausgeblendet werden. Dabei wird ein direkter Bezug des behandelten Stoffs zu den originalen Ausführungen hergestellt (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Einige Begriffe sind farblich hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet. Sparsamer Einsatz von Hyperlinks Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt. Lediglich die Problematik der Abgrenzung von Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit und Relativität der Gleichzeitigkeit in unterschiedlichen Inertialsystemen wurde in verlinkte Unterkapitel ausgelagert. Lösungen Per Klick auf blaue Satz- oder Gleichheitszeichen werden Lösungen zu Fragen oder mathematischen Herleitungen angezeigt. Interaktivität - Animationen und Reglerjustierung Auf eine Bedienungsanleitung der Applets wurde verzichtet. Erfahrungsgemäß werden die interaktiven Möglichkeiten bei einer ernsthaften Beschäftigung mit den Animationen von Schülerinnen und Schülern leicht selbst entdeckt. Der kleine Abspielknopf (meist links unten) in den Applets erlaubt eine kontinuierliche Animation der Darstellungen. Für das Einstellen bestimmter Konstellationen erweist sich aber auch die manuelle Justierung durch die Schieberegler in den Applets als hilfreich. Parameter oder Einblendungen können jederzeit auch während der Animation verändert werden.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Parabel entdecken und erforschen die Lernenden mithilfe dynamischer Geometriesoftware die Graphen quadratischer Funktionen beziehungsweise ganzrationaler Funktionen geradzahligen Grades." Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt gleich weit entfernt sind ." " Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, die ..." Eine solche Aussage gibt es tatsächlich auch für die Parabel. Sie zu entdecken und zu erforschen, dazu regt die hier vorgestellte Unterrichtseinheit an. Die Parabel als Graph quadratischer Funktionen beziehungsweise ganzrationaler Funktionen geradzahligen Grades, ist ein fester Bestandteil des Mathematik-Unterrichts. Dagegen ist die Behandlung ihrer geometrischen Eigenschaften in den Lehrplänen meist nur fakultativ vorgesehen, obwohl die Ortslinien- und Brennpunkteigenschaft der Parabel vielfältige Anwendungen in der Technik finden. Es lohnt sich eine genauere Betrachtung. Zur Durchführung der Unterrichtseinheit sollten optimaler Weise ein Tablet oder ein PC pro Schülerin und Schüler zur Verfügung stehen. Auf den Endgeräten muss die GeoGebra-Software installiert sein. Zur Verwendung der GeoGebra-Dateien wird kein Internet benötigt.Die Unterrichtseinheit "Die Parabel als Ortslinie" basiert auf interaktiven und dynamischen GeoGebra-Applets. Sie schaffen Visualisierungsmöglichkeiten, die auf Papier oder an der Tafel nicht realisierbar sind und somit das Verständnis erleichtern. Die Lehrkraft und die Lernenden können mithilfe der Maus oder dem Finger die Zeichnungen und Konstruktionen kontinuierlich am Computer oder auf Tablets verändern und so bestimmte Fragestellungen dynamisch verfolgen und überprüfen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Aufgaben mit einblendbaren Hilfestellungen dienen der Lernzielkontrolle. Die Unterrichtseinheit kann zur dynamischen Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Neuerarbeitung des Themas im Unterricht oder zur eigenständigen Erarbeitung der Lerninhalte eingesetzt werden. Die Einheit eignet sich auch zur selbstständigen Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffes, als Ergänzung in Übungsstunden oder als Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte. Erforderliche mathematische Voraussetzungen für die Unterrichtseinheit sind die Kenntnis der Parabel als Graph quadratischer Funktionen (beziehungsweise ganzrationaler Funktionen geradzahligen Grades) und der Satz des Pythagoras zum Beweis der Ortslinieneigenschaft der Parabel. Bei genügend Zeit kann auch auf die Umkehrung des Satzes der Ortslinieneigenschaft sowie auf den Beweis der Brennpunkteigenschaft (mithilfe des Reflexionsgesetzes) eingegangen werden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler erfahren experimentell die Parabel als Punktmenge mit besonderen geometrischen Eigenschaften. erklären die Begriffe Brennpunkt und Leitgerade einer Parabel. führen den Beweis der Ortslinieneigenschaft der Parabel. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verwenden computergestützte Software zum Konstruieren. erforschen Konstruktionsanweisungen in interaktiven Dateien. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler diskutieren ihre Lösungsstrategien und tauschen ihre Erkenntnisse in Paararbeit aus. passen Kommunikation und Verhalten an die jeweilige digitale Umgebung an.

Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist eine Kugel im Raum, aus der durch geschicktes Aufsetzen von sechs Kegelhütchen ein neuartiger Körper mit interessanten Eigenschaften entsteht. Die Konstruktion führt schließlich zu den Platonischen Körpern, der Frage nach dichtesten Kugelpackungen und Euklid, der in der Tradition von Platons Sicht der Mathematik steht.Die Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler innerhalb eines Mathematik-Pluskurses oder einer Mathematik AG der Mittelstufe geeignet. Die verwendete POV-Ray-Software steht kostenfrei zur Verfügung. Geometrische Argumentationsaufgaben wechseln sich mit POV-Ray-Aufgaben zur Veranschaulichung der Ergebnisse ab. Der Schwierigkeitsgrad steigt von Aufgabe zu Aufgabe. Während der Arbeit an den POV-Ray-Konstruktionen ist eine Internetverbindung hilfreich, da die Schülerinnen und Schüler dann stets auf Online-Manuals zu POV-Ray zugreifen oder sich bei Problemen Hilfe über eine Suchmaschine holen können.Die Schülerinnen und Schüler müssen mit dem Satz des Thales und dem Satz des Pythagoras vertraut sein und bereits Kegel im Unterricht behandelt haben. Ausgehend von der Betrachtung einer Kugel im Raum klären sie die ersten geometrischen Überlegungen durch die Anfertigung von geeigneten Schnittbildern. Dadurch werden Probleme der räumlichen Geometrie auf elementargeometrische Fragestellungen in der Ebene reduziert. Parallel wird das kostenlose 3D-Programm POV-Ray zur Visualisierung herangezogen. Als Grundlage dafür wird die Datei "basis.pov" zur Verfügung gestellt, welche einen Hintergrund, eine geeignete Kameraperspektive und eine Lichtquelle erzeugt. Darauf aufbauend sollen die Lernenden mithilfe geeigneter POV-Ray-Funktionen ("sphere", "cone" oder "cylinder") den betrachteten Körper sukzessive zusammenbauen und darstellen. Die Datei "basis.pov" ist so vorgefertigt, dass sich schnell erste Erfolgserlebnisse einstellen. Zudem werden auch die Lösungs-Codes zur Verfügung gestellt. Themen und Verlauf der Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler erstellen mit POV-Ray Konstruktionen zu den Themen Verpackung einer Kugel im Oktaeder, dichteste Kugelpackung und Platonische Körper. Hinweise zu einigen Teilaufgaben und Materialien Kommentare zu ausgewählten Teilaufgaben der Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler sollen ihr räumliches Vorstellungsvermögen trainieren. erkennen, dass zur Lösung räumlicher Lageprobleme oft elementargeometrische Überlegungen in geeigneten Schnittebenen ausreichen. ein 3D-Programm (hier POV-Ray) zur grafischen Erzeugung von einfachen und zusammengesetzten Körpern erfolgreich bedienen können. anhand eines mathematikhistorischen Originaltextes einen Beweis nachvollziehen. anhand eines mathematikphilosophischen Originaltextes Einblick in eine mögliche (die platonische) Sichtweise auf die Mathematik gewinnen. durch die Recherche über eine aktuelle mathematische Problemstellung einen Eindruck von der Entwicklung mathematischen Wissens (beziehungsweise mathematischer Wahrheiten) bekommen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Geometrie mit POV-Ray - Platonische Körper und dichteste Kugelpackungen Autor Prof. Dr. Matthias Brandl Fach Mathematik (Informatik) Zielgruppe Mathematik-Pluskurs, Mathematik AG, begabte Schülerinnen und Schüler der Mittelstufe Zeitraum mindestens 4 Stunden Technische Voraussetzungen ein Computer pro Person oder Schülergruppe, möglichst mit Internetanschluss Software POV-Ray (kostenfreier Download aus dem Internet) Filler, A., Rieper, F. 3D-Computergrafik … und die Mathematik dahinter, Verlag Jutta Pohl, Remchingen, 2007 Filler, A. Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik in den Mathematikunterricht der Sekundarstufe II im Stoffgebiet Analytische Geometrie, Habilitationsschrift , 2007 Platon Der Staat, deutsch von Rudolf Rufener, dtv München, 4. Auflage, 2004 Euclides Die Elemente: Bücher I-XIII / von Euklid, aus dem Griechischen übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer mit einem Vorwort von W. Trageser, Reprint, 2. Auflage - Thun; Frankfurt am Main: Deutsch, 1996 Kegel-Kugel-Kombination Der Körper entsteht durch geschicktes Aufsetzen von Kegeln auf eine Kugel. Hierdurch entstehen glatte Übergänge, so dass die paarweise Verbindung von je zwei Kegelspitzen einen neuen Körper (Oktaeder) entstehen lässt, in dem die Kegel-Kugel-Kombination "nahtlos verpackt" ist. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt die Zwischenschritte der Konstruktion mit der POV-Ray-Software (siehe Arbeitsblatt "geometrie_mit_povray.pdf"). Variation der Aufgabenstellung Eine Variation erfolgt durch die Frage nach Kugeln innerhalb beziehungsweise außerhalb des Oktaedergitters, deren Oberfläche nicht die Kanten, sondern die Seiten beziehungsweise die Ecken des Oktaeders berührt (Abb. 2). Dadurch werden erneut die räumliche Vorstellungskraft der Schülerinnen und Schüler sowie ihr Umgang mit POV-Ray trainiert. Die Frage nach einem "dichten" Ausfüllen des Oktaeder-Gitters mit sechs kleinen Kugeln führt nach der geometrischen und computergrafischen Lösung auf die mathematisch hoch aktuelle Frage nach der dichtesten Kugelpackung. Bisher gibt es nur einen Computerbeweis von Thomas C. Hales aus dem Jahr 1998, von dessen Richtigkeit man bislang aber "nur" zu 99 Prozent überzeugt ist. Man schätzt, dass die Erstellung eines rein formalen Beweises noch etwa zwanzig Jahre dauern wird. Die Schülerinnen und Schüler sollen hierzu selbstständig recherchieren, ihre Funde präsentieren und eine dieser Packungen mit POV-Ray realisieren (Abb. 3). Im Folgenden geht es weiter mit dem Oktaeder als Platonischem Körper. Die Tatsache, dass es nur fünf Platonische Körper gibt, soll anhand des Originalbeweises aus Euklids Elementen nachvollzogen werden. Schließlich beschäftigen sich die Lernenden auf einem separaten Arbeitsblatt (mathematik_bei_platon.pdf) mit einem Auszug aus Platons "Der Staat", worin sich Aufschlüsse über Platons Philosophie und insbesondere die Sicht auf die Mathematik gewinnen lassen, die erklären, warum Euklid keine Anwendungen der Mathematik in seine Elemente aufgenommen hat. Die fünf platonischen Körper Den Abschluss der Unterrichtseinheit bildet der Auftrag, sich über die Eulersche Polyederformel zu erkundigen und sie anhand der Platonischen Körper zu illustrieren. Mit POV-Ray lassen sich durch vorimplementierte Funktionen dann auch noch zügig die fünf regulären Polyeder erzeugen (Abb. 4). Förderung der "scientific literacy" Diese "Spiele" mit Kugel, Kegel und den Platonischen Körpern sollen die Schülerinnen und Schüler ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen. Insbesondere die Beschäftigung mit mathematikhistorischen und -philosophischen Originaltexten soll die Lernenden "abseits" der reinen Rechenmathematik für das Wesen dieser Wissenschaft gewinnen. Zudem ist es erstaunlich, wie leicht mathematikphilosophische Originaltexte aufgrund ihrer Prosa- beziehungsweise Dialogform verständlich sind! Teilaufgabe p: Dichteste Kugelpackung Die Aufgabe führt zu einer noch immer aktuellen mathematischen Fragestellung, die das Wesen eines mathematischen Beweises in Frage stellt. Sind Computer bei Beweisen zulässig oder nicht? In Form einer kleinen Präsentation sollen die Lernenden ihre "Funde" zum Problem der dichtesten Kugelpackung präsentieren und schließlich auch eine solche mit POV-Ray erzeugen (Abb. 5), was hohe Anforderungen an ihre geometrisch-räumliche Abstraktionsfähigkeit stellt. Allerdings wird zur Bestimmung der Kugelmittelpunkte keine höhere Mathematik, sondern im Wesentlichen nur der Satz des Pythagoras beziehungsweise die Höhe im gleichseitigen Dreieck benötigt. Die kanonische Schulmathematik reicht also völlig aus. Teilaufgabe r: Platonische Körper Ab hier weitet sich der mathematische Blickwinkel beträchtlich. Die Beschäftigung mit einem Originalbeweis von Euklid und das Studium einer Original-Textpassage aus Platons "Der Staat" führen zwar weg vom "harten Rechnen und Programmieren", tragen aber wesentlich dazu bei, das Verständnis der Lernenden von und für Mathematik auf dem Weg einer "(scientific) literacy" zu fördern. Es findet eine Verknüpfung mathematischer Abstraktionsfähigkeit und literarischer Lesefähigkeit statt. Teilaufgabe t: Eulersche Polyederformel Die Aufgabe fordert die Schülerinnen und Schüler schließlich dazu auf, sich selbstständig in einen unbekannten Sachverhalt einzuarbeiten und diesen mit dem bisher Gelernten zu verknüpfen.

In der Einheit "Fibonaccizahlen, Automaten und Strichcodes" soll den Lernenden ein Einblick in das Denken in Strukturen aus der Informatik an einem aus dem Alltag bekannten Problem mit Strichcodes nahegebracht werden.Strichcodes sind auf allen Produkten zu finden; an der Kasse werden über Strichcodes Produkten Preise zugeordnet. Aber wie viele verschiedene Strichcodes gibt es eigentlich? Da gewisse Bedingungen an die Folge von schwarzen und weißen Strichen zu stellen sind, eignen sich Automaten aus der Informatik als Mittel, um hier kombinatorische Fragestellungen zu lösen. Das Thema "Fibonaccizahlen, Automaten und Strichcodes" im Unterricht Die Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe dieser Unterrichtseinheit Automaten kennenlernen. Sie üben sich außerdem im Umgang mit irrationalen Wurzeln und dem Satz des Pythagoras. Zudem gewinnen sie Einblick in die Lösung kombinatorischer Fragestellungen mit Automaten. Als Hilfsmittel wird dabei Excel (oder ein anderes Tabellenkalkulationsprogramm) verwendet. Vorkenntnisse Grundkenntnisse der Kombinatorik sind für diese Einheit nötig. Allerdings genügen hier schon die Kenntnis der Fakultät, so des Zählprinzips. Mithilfe dieser Grundlagen ist ein einfacher Einstieg in den Bereich möglich. Da Tabellenkalkulationen zur Bestimmung von Werten verwendet werden, sollte diese bekannt und der Umgang vertraut sein. Didaktische Analyse Gelingt es den Lernenden Darstellungen in Automaten in einer Tabellenkalkulation zu nutzen, um Anzahlen von Möglichkeiten zu bestimmen? Während das Mittel "Zustandsautomaten" den Schülerinnen und Schülern neu sein sollte, wird ihnen der Umgang mit Tabellenkalkulationen vertraut sein. Zustandsautomaten bei der bearbeitenden Fragestellungen sind leicht überblickbar. Deswegen eignet sich das Thema zum Kennenlernen dieses Mediums. Methodische Analyse Da die Schülerschaft viel in Anwesenheit der Lehrkraft erarbeiten soll, können Fragen zu verschiedenen Zeitpunkten möglich sein. Dies ist für Lernende motivierend, da sie wissen, dass ihnen bei Schwierigkeiten an der richtigen Stelle geholfen wird. Die Arbeiten außerhalb des Unterrichts werden in den darauffolgenden Stunden ausführlich besprochen, damit auch dort Rückmeldungen zu allen möglichen Schwierigkeiten erfolgen kann. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren mathematisch. lösen Probleme mathematisch. modellieren mathematisch. gehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um. verwenden mathematische Darstellungen und Darstellungen aus dem Fachbereich Informatik zu verwenden. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sicher am PC mit einer Tabellenkalkulation. verstehen, wie eine Tabellenkalkulation viele Werte bestimmen und darstellen kann. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich in Gruppenarbeit ein. geben Hilfeleistungen und fragen nach individuellen Hilfen von anderen. Strichcodes im Alltag An jeder Einkaufskasse werden sie verwendet: Strichcodes. Die Kassiererin, die früher noch Preise in die Tastatur der Kasse eintippte, ist für viele Jugendliche eine Geschichte aus längst vergangener Zeit. In einer Discothek in Barcelona wird nicht mehr nur mit Barem bezahlt. Besucher können sich einen Chip implantieren lassen. Sobald sie eine Bestellung aufgeben, werden sie anhand ihres Chips erkannt und ihr Konto wird via Online-Banking belastet. Strichcodes - Folgen von schwarzen und weißen Strichen - codieren eindeutig, um welches Produkt beziehungsweise um welche Person es sich handelt. Wie viele Objekte können verschlüsselt werden? Aber wie viele verschiede Objekte kann man mit Codes verschlüsseln und wovon hängt diese Anzahl ab? Einen ersten Einblick liefert eine Reihe von schwarzen und weißen Feldern, wie sie in Abb. 1 dargestellt ist. Wenn nun zehn Felder verwendet werden - wie viele verschiedene Muster können entstehen, wenn nur die Farben schwarz und weiß verwendet werden dürfen? Die Antwort, 210, ist schnell gefunden. Jedes Feld hat zwei verschiedene Möglichkeiten. Jedes Feld kann beliebig an jedes Feld angehängt werden. Und deswegen ist pro Feld ein Faktor 2 zu berücksichtigen. Anforderungen an den Code Doch schon bei diesem einfachen Problem kommt schnell folgende Frage auf: Woran kann der Scanner, der die Abfolge schwarzer und weißer Felder entziffern soll, erkennen, ob es zwei oder drei schwarze Felder nebeneinander sind? Dasselbe Problem ergibt sich auch bei den weißen Feldern, denn die schwarzen Trennstriche zwischen den weißen Feldern treten bei Strichcodes nicht auf. Somit werden Bedingungen an den Code gestellt: Das erste und das letzte Feld müssen schwarz sein. Für die Zahl gleicher nebeneinanderliegender Felder muss eine Höchstgrenze festgelegt werden (zwei, drei, vier … ). Erweiterung Eine Erweiterung des Themas ergibt sich daraus, dass nicht nur "Schwarz und Weiß", sondern mehrere Farben für den Aufbau eines Codes zugelassen werden. Dass in diesem Zusammenhang die Fibonacci-Zahlen auftreten ist überraschend - weniger, dass mit Automaten und Zustandsübergängen Lösungen gefunden werden können. Und dass dabei Tabellenkalkulationsprogramme wie Excel eine wunderbare Hilfe bieten, rundet die Thematik ab.