Das Computeralgebrasystem MuPAD dient im Rahmen einer fächerübergreifenden Projektarbeit als Werkzeug zur Veranschaulichung der Entstehung von Marsschleifen. Kenntnisse über den Aufbau des Sonnensystems gehören zum Allgemeinwissen. Jedoch: "Das Bekannte überhaupt ist darum, weil es be kannt ist, nicht er kannt" (G.W.F. Hegel). Mit dem Wissen über den Aufbau des Sonnensystems sollte auch ein Einblick in die Geschichte der Erkenntnis seines Aufbaus verbunden sein und der Weg zu dieser Erkenntnis nachvollzogen werden. Die hier angebotenen Unterrichtsmaterialien sind als mögliche Zusammenfassung der Ergebnisse eines entsprechenden fächerverbindenden Projekts (Mathematik, Astronomie, Geschichte) zu betrachten. Vorbemerkungen zum Thema In der Entdeckungsgeschichte des Aufbaus unseres Sonnensystems mussten die Fakten der Beobachtung astronomischer Abläufe verbunden werden mit der Beurteilung der Bedingtheiten der Beobachtung. Das heißt, mit der Beobachtung selbst musste der Beobachter in den Blick genommen werden. In den Worten des Nikolaus Kopernikus: "Alles, was am Fixsternhimmel an Bewegung erscheint, geht nicht von diesem selber, sondern von der Erde aus". Die Beobachtungsdaten der Planeten sind verwirrend: Mal bewegen sie sich auf Kreisbögen, mal wird ihre Bewegung langsamer oder schneller, mal kommen sie für kurze Zeit scheinbar ganz zum Stillstand, mal erscheinen sie weniger lichtstark, mal mehr - was auf starke Unterschiede in der Entfernung von der Erde hindeutet. Vor allem beim Mars, dem Nachbarplaneten der Erde, beschreiben die beobachteten Positionen einen deutlichen "Looping" (Marsschleife) am Firmament. Fächerübergreifende Aspekte Die Thematik verknüpft Bereiche aus den Fächern Mathematik, Physik und Geschichte. Sie hat darüber hinaus auch philosophische Bezüge und bietet sich daher für ein fächerübergreifendes projektorientiertes Vorgehen an. Allein aus den unterschiedlichen mit der Entwicklung des astronomischen Weltbilds verbundenen Biografien und modellhaften Vorstellungen ergibt sich eine Vielzahl von Referats- oder Facharbeitsthemen. Die Möglichkeiten eines vertieften Eindringens in die Thematik sind enorm - deswegen sind auch die Angaben zum Zeitbedarf der Unterrichtseinheit lediglich als vage Vorgabe zu verstehen. Voraussetzungen und Hinweise zum Einsatz der Materialien Informationen zu den Materialien zum Thema Planetenschleifen Die Schülerinnen und Schüler sollen Epizykloiden als Verkettung zweier Drehungen beschreiben und zur Simulation des Planetenmodells von Tycho Brahe einsetzen können (Mathematik). die Peilung des Mars von der Erde aus betrachtet mathematisch als Gleichung einer Gerade im Raum beschreiben können (Mathematik). die Kräfte erkennen, die die Bewegung der Planeten beeinflussen und die Auswirkung des Fehlens dieser Erkenntnis auf die astronomischen Vorstellungen vor Kepler und Newton beurteilen können (Physik). wesentliche Entwicklungen in der Ausformung unseres astronomischen Weltbilds kennen und zusammenfassend beschreiben können (Geschichte). Thema Marsschleifen - die Entdeckung der Himmelsmechanik Autor Rolf Monnerjahn Fächer Mathematik, Astronomie, Geschichte Zielgruppe je nach mathematischem "Tiefgang" Klasse 10 oder Jahrgangsstufe 11/12 Zeitraum etwa 6 Stunden, fächerübergreifende Projektarbeit Technische Voraussetzung Verfügbarkeit von MuPAD/MathWorks Zur vertiefenden Beschäftigung mit der Thematik sei vor allem verwiesen auf: David L. Goodstein, Judith R. Goodstein, "Feynmans verschollene Vorlesung, Die Bewegung der Planeten um die Sonne", München 1998 Jürgen Teichmann, "Wandel des Weltbildes", München 1983 Für die Durchführung der hier angeregten Projektarbeit müssen für den mathematischen Teil Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Prozeduren, Vektoren, Sequenzgenerator beziehungsweise Zählschleife). Tipps und Anregungen zum Einsatz des CAS bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Die drei in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" aufgelisteten Programme/Befehlsabschnitte stellen für die wichtigsten Modelle der Astronomiegeschichte Simulationen zur Verfügung, die je nach unterrichtlichem Einsatz passiv aufgenommen oder (zum Beispiel in einem Mathematik-Leistungskurs im Rahmen der Analytischen Geometrie) von den Schülerinnen und Schülern selbst gestaltet werden können. Bei einer Durchführung der Unterrichtseinheit in Klasse 10 kann nicht auf den mathematischen Hintergrund der zweiten Simulation eingegangen werden, da für diese Methoden aus der Analytischen Geometrie benötigt werden. In jedem Fall leisten die Visualisierungen einen erheblichen Beitrag zur Steigerung des Vorstellungsvermögens. Sie zeigen, wie sich die Aufbereitung von Daten zur Grafik schrittweise aufbaut. wie astronomische Beobachtungen in der räumlichen Situation zu interpretieren sind. wie die Ableitung mathematisch unterschiedlicher Modelle aus Beobachtungsdaten in der grafischen Darstellung auf kleinem Maßstab zu kaum wahrnehmbaren Unterschieden führt, im astronomischen Maßstab aber überaus relevante Konsequenzen hat. Der in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" dargestellte sachlogische und historische Abriss ist auf die elementaren Fakten reduziert - zum Beispiel wurde auf die Erwähnung des dritten Keplerschen Gesetzes völlig verzichtet. Damit wird der Priorität der Erkenntnis vor dem bloßen Kennen, der Priorität prozeduralen Wissens vor dem Faktenwissen Rechnung getragen. Die mathematischen Grundlagen und die Umsetzung mathematischer Beschreibungen in MuPAD-Kommandostrukturen werden in dem separaten Dokument "marsschleifen_mupad_befehle.pdf" dargestellt. Die Animation "animation_marszykloide.avi" veranschaulicht die Entstehung von Zykloiden des Mars nach dem Planetenmodell Tycho-Brahes. Für das Verständnis der Simulation sei verwiesen auf die Lehrer-Online-Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden . Mehr als zwei Jahrtausende lang wurde versucht, die gelegentliche Schleifenform der Marsbahn durch ein Modell zu deuten, das auch in der Aufsicht - also nicht nur in der Bahnebene - die Schleife als Bewegungsspur direkt erklärt: als Zykloide, also als Spur der Verkettung zweier Rotationen (siehe Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden ). Erst die Verwendung hochexakt vermessener Bahndaten und die Frage nach den die Planeten bewegenden Kräfte brachten den Durchbruch zu heutigen Modell unseres Sonnensystems.

"Auf die Plätze, fertig, los!" Die besten Sportlerinnen und Sportler der Welt stehen alle vier Jahre in den Startlöchern, um sich bei den olympischen Spielen miteinander zu messen. Was aber ist die Geschichte dieser Spiele, welche Symbole gibt es, wie lautet das Motto und welche Wettkämpfe werden ausgetragen? Die Unterrichtseinheit gibt den Kindern einen Einblick in diese Dinge, die wichtig sind für das Verständnis dieser Wettkämpfe und die weit über den sportlichen Ehrgeiz hinausgehen. Die Unterrichtseinheit vermittelt rationale Kenntnisse über den sportlichen Wettkampf und seine emotionale Wirkung. Die interaktive Lernumgebung dient dabei als Plattform für die Internetrecherche, von der aus gezielt Webseiten zur Lösung der Arbeitsaufträge zum Thema Olympiade angeklickt werden können. Verschiedene interaktive Übungen und herkömmliche Arbeitsblätter runden die Unterrichtseinheit ab. Zielsetzung Ziel ist die möglichst selbstständige Erforschung des Themas Olympische Spiele. Das wird zum einen möglich durch Lösen von Rätseln, die durch Lösungswörter überprüft werden können. Zum anderen werden Fragen durch Erkunden von Internetseiten beantwortet. Einige Aufgaben sind explizit als Paaraufgaben gekennzeichnet, es sollte den Kindern aber erlaubt sein, sich bei Bedarf auch bei anderen Aufgaben mit Mitschülerinnen oder Mitschülern zusammenzuschließen. Kompetenzerwerb Die Kinder erwerben neben dem rein sachlichen Wissen zu den olympischen Spielen einen emotionalen Mehrwert, indem sie sportlichen Ehrgeiz mit dem Respekt vor der Gegnerin oder dem Gegner verbinden und lernen, dass der Weg wichtiger ist als das Ziel. Beschreibung zu den Arbeitsblättern Arbeitsblatt 1: Dieses Arbeitsblatt gibt einen kurzen Abriss über die Geschichte der Olympischen Spiele von der Antike bis heute. Arbeitsblatt 2: In diesem Arbeitsblatt wird die Wiederbelebung des olympischen Gedankens durch Pierre de Coubertin beschrieben. Arbeitsblatt 3: Dieses Arbeitsblatt enthält einen Steckbrief mit wichtigen Informationen zu Pierre de Coubertin. Arbeitsblatt 4: In diesem Arbeitsblatt wird die Bedeutung der olympischen Symbole Feuer, Ringe, Hymne und Medaillen erklärt. Arbeitsblatt 5: Der olympische Gedanke: Wichtiger als der Sieg ist die Teilnahme, das Streben nach dem Ziel und der Respekt vor den anderen Teilnehmenden. Arbeitsblatt 6: In diesem Arbeitsblatt werden verschiedene olympische Sportarten vorgestellt und in Sommer- und Wintersportarten unterteilt. Arbeitsblatt 7: Dieses Arbeitsblatt fordert dazu auf, drei unterschiedliche olympische Sportarten zu beschreiben. Arbeitsblatt 8: Die Lernenden erstellen Steckbriefe von zwei bekannten Olympiasiegerinnen und Olympiasiegern nach eigener Auswahl. Arbeitsblatt 9: Dieses Arbeitsblatt vergleicht den Medaillenspiegel der Olympischen Spiele 2022 mit dem von Mailand 2026. Arbeitsblatt 10 : In diesem Arbeitsblatt gestalten die Lernenden ein Akrostichon zum Thema Olympiade. Arbeitsblatt 11: Dieses Arbeitsblatt beschäftigt sich mit zusammengesetzten Nomen rund um das Thema Olympia. Arbeitsblatt 12: In diesem Arbeitsblatt üben die Lernenden die Steigerung von Adjektiven, die zum Thema Olympia passen. Arbeitsblatt 13: In diesem Arbeitsblatt wird der Text aus Arbeitsblatt 04 zum olympischen Feuer als Paardiktat zur Hälfte geschrieben, getauscht und gegenseitig korrigiert. Arbeitsblatt 14: Dieses Arbeitsblatt fordert dazu auf, eine Fairplay-Geschichte aus dem eigenen Erfahrungsbereich zu schreiben. Arbeitsblatt 15: In diesem Arbeitsblatt bearbeiten die Lernenden Minusaufgaben mit großen Zahlen sowie Minusaufgaben mit Kommazahlen. Kinder lieben Wettbewerbe, sich aneinander messen, schauen, wer besser oder schneller ist und natürlich möchten sie so weit wie möglich vorne sein. Das ist naturgemäß immer im Sport der Fall, aber auf Wettbewerb ausgerichtet wird sogar trockener Grammatikunterricht spannend: Wer findet die meisten Verben, Nomen… Die olympischen Spiele gehen aber über den reinen Wettbewerb hinaus. Zwar lautet das Motto: Schneller, höher, stärker, dass aber nicht um jeden Preis. Der Wettbewerb muss unter fairen Bedingungen stattfinden und mit der Siegerehrung erkennt eine andere Person neidlos als die Bessere an. Dieser olympische Gedanke gilt aber nicht nur für sportliche Auseinandersetzungen, sondern sollte zum Lebensmotto werden, um als Mitglied der Gesellschaft bestehen zu können und nicht zum Außenstehende zu werden. Das offizielle Motto der Spiele lautet zwar: citius, altius, fortius (schneller, höher, stärker), aber die Ideale von Pierre de Coubertin finden sich am besten im olympischen Credo wieder: "Das Wichtigste an den Olympischen Spielen ist nicht der Sieg, sondern die Teilnahme, wie auch das Wichtigste im Leben nicht der Sieg, sondern das Streben nach einem Ziel ist. Das Wichtigste ist nicht, erobert, sondern gut gekämpft zu haben." Zur theoretischen und virtuellen Aufarbeitung des Themas ist das Internet ein ideales Medium. Es gibt eine Reihe kindgemäßer Seiten, die den Kindern Gelegenheit zum selbstständigen Erforschen geben. Die interaktive Lerneinheit besteht neben der Eingangsseite aus vier weiteren Hauptseiten (Die Olympiade/ Olympische Sprache/Mathe-Marathon/ Dies und Das/), drei intern verlinkten interaktiven Übungen (Hot Potatoes-Lückentexte/Kreuzworträtsel) und 25 externen Links zur gezielten Recherche im Internet. Zur Steigerung der Motivation sind die Aufgaben der Arbeitsblätter oft in Rätseln bzw. Rätselschriften versteckt. An bestimmten Stellen ist auf den Arbeitsblättern Paararbeit gefordert, es ist aber durchaus erwünscht, dass Kinder gemeinsam an dem Projekt arbeiten, gemeinsam Rätsel lösen und dabei auch ihre digitalen Kompetenzen ergänzen. Vorbereitung Die interaktive Lerneinheit kann über den Link (siehe unter externen Links) oder über die Datei "indexOlympiade", die im Ordner "olympische-spiele-interaktive-lernumgebung" zu finden ist, gestartet werden. Erfolgt der zweite Weg, ist es wichtig, dass alle Dateien inklusive der "indexOlympiade" Datei im Ordner "olympische-spiele-interaktive-lernumgebung" bleiben und der gesamte Ordner heruntergeladen wird. Die Datei "indexOlympiade" kann in einem Internetbrowser geöffnet werden. Es empfiehlt sich, vor Beginn der Projektarbeit in der interaktiven Lerneinheit die Abrufbarkeit der einzelnen Links zu überprüfen. Es kann vorkommen, dass Seiten umziehen oder ganz aus dem Netz genommen werden und deshalb nicht mehr erreichbar sind, was für Irritationen während des Unterrichts sorgen kann. Fachkompetenzen Die Schülerinnen und Schüler lernen die Geschichte der olympischen Spiele kennen. kennen den olympischen Gedanken und übertragen ihn vom Sport ins alltägliche Leben. unterscheiden verschiedene Sportarten der Winterspiele und Sommerspiele. Medienkompetenzen Die Schülerinnen und Schüler führen gezielte Recherchen im Internet durch und nutzen es als Informationsquelle. bearbeiten eine interaktive Lerneinheit am Computer. führen interaktive Übungen (HotPotatoes-Lückentext) durch. Sozialkompetenzen Die Schülerinnen und Schüler treffen Absprachen zur Benutzung der Computer-Arbeitsplätze. einigen sich als Partnerinnen und Partner über die Reihenfolge der Aufgaben. helfen sich gegenseitig.

Das Computeralgebrasystem MuPAD dient im Rahmen einer fächerübergreifenden Projektarbeit als Werkzeug zur Gewinnung von Einsichten in die mathematischen Grundlagen der Zentralperspektive. Zudem stehen auch ideengeschichtliche Aspekte im Vordergrund. Querverbindungen zwischen Wissenschaft und Kunst aufzuzeigen, ist in Lehrplänen ein oft genanntes Bildungsziel, das jedoch selten konkretisiert wird. Doch so befruchtend in der Geschichte der Disziplinen Kunst und Mathematik Berührungen und Begegnungen waren, so anregend können sie für den Unterricht sein. Sagt man von der Philosophie, sie sei "ihre Zeit in Gedanken gefasst" (Georg Wilhelm Friedrich Hegel), so kann man von der Kunst sagen, sie sei ihre Zeit in Bildern ausgedrückt. Die Beschäftigung mit der Zentralperspektive, insbesondere mit einer Betrachtung im kunsthistorischen Längsschnitt, gibt Zugriff auf Querverbindungen zwischen Mathematik, Kunst und Philosophie und legt offen, dass epochale Veränderungen nie Sache einer Wissenschaft oder der Gesellschaft allein waren, sondern als Strömung stattfanden, die alle Bereiche von Kultur und Zivilisation umfasste. Von Leonardo da Vincis Äußerung "Die erste Absicht des Malers ist, zu machen, dass eine ebene Fläche sich als ein erhabener [ ... ] Körper darstelle" bis zu Magrittes "Ich benutze die Malerei um das Denken sichtbar zu machen" erfolgt ein Paradigmenwechsel von der Nutzung der Möglichkeiten der Zentralperspektive zum Aufbau einer Illusion der Realität bis zur Nutzung ihrer Defizite zur Zerstörung dieser Illusion und des Aufbaus eines anderen Verständnisses von Realität. Der Unterricht sollte beim Thema Zentralperspektive die Gelegenheit nutzen, ideengeschichtliche Querverbindungen aufzuzeigen. Dieses Anliegen steht in den Materialien dieser Unterrichtseinheit im Vordergrund. Die Unterrichtseinheit ist zwar für den Einsatz in der Jahrgangstufe 11 konzipiert, die MuPAD-Animationen können jedoch durchaus schon unterstützend in den Klassen 7 oder 8 verwendet werden (Beamerpräsentation), in denen ein erster Zugang zum zentralperspektivischen Zeichnen vermittelt wird. Historische Entwicklung und Wandlung Von der Definition der handwerklichen Grundlagen in der Renaissance bis zur Benutzung der Zentralperspektive zur Offenlegung des Illusionären im 20. Jahrhundert Hinweise zum unterrichtlichen Einsatz Welche Einsichten können mithilfe des Computeralgebrasystems bei der experimentellen Annäherung an die Zentralperspektive gewonnen werden? Arbeitsmaterialien Alle Materialien der Unterrichtseinheit im Überblick Die Schülerinnen und Schüler sollen Abbildungseigenschaften der Zentralprojektion als Regeln der zentralperspektivischen Darstellung erkennen (Mathematik). Einblick in die Entwicklung der zentralperspektivischen Darstellung bei Künstlern von der Renaissance bis zur Moderne gewinnen (Bildende Kunst). Thema Nutzung von Eigenschaften der Zentralprojektion als Zeichenregeln zur Darstellung des Raumes in der Ebene Autor Rolf Monnerjahn Fächer Mathematik, Bildende Kunst Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum etwa 8-11 Stunden Technische Voraussetzungen Verfügbarkeit von MuPAD/MathWorks Renaissance - Definition handwerklicher Grundlagen Die Anfänge der zentralperspektivischen Darstellung liegen in der Renaissance. Sie sind verbunden mit einer Hinwendung zum Diesseits nach der Jenseitsorientierung des Mittelalters. Anfänglich werden zentralperspektivische Elemente naiv und unkritisch verwendet: Kanten von Gebäuden, Fugen von Kacheln und ähnliches laufen in die angenommene Tiefe hinein schräg aufeinander zu, ohne sich an einem definierten Fluchtpunkt zu orientieren. In Italien stellen Künstler wie Leon Battista Alberti (1404-1472) und Filippo Brunelleschi (1377-1446), in Deutschland Albrecht Dürer (1471-1528), die zentralperspektivische Darstellung teilweise mithilfe der Mathematik auf eine gesicherte, aber eher noch als handwerklich zu bezeichnende Grundlage. Das Hilfsliniengerüst aus Fluchtlinien und Parallelen zum Bildrahmen genügt aus heutiger Sicht nur einfachen Objektanordnungen. 17. Jahrhundert - das solide mathematische Fundament Im 17. Jahrhundert gibt der französische Architekt und Mathematiker Gérard Desargues (1591-1661) der Zentralperspektive ein ausgereiftes mathematisches Fundament (in dem er übrigens die Euklidische Geometrie überschreitet). Künstler wagen sich jetzt auch an Darstellungen heran, die zwei Fluchtpunkte enthalten. 19. und 20. Jahrhundert - Technik, Offenlegung des Illusionären Ab dem 19. Jahrhundert wird die zentralperspektivische Darstellung eher für die technische Zeichnung bedeutsam als für die Kunst. Gleichwohl erlebt die Zentralperspektive eine Wiedererweckung im Surrealismus des 20. Jahrhunderts. Mit der Perfektion der künstlerischen zentralperspektivischen Darstellung ist aber ihre Überwindung hinsichtlich ihrer ideellen Ursprünge verbunden - sie wird nicht mehr zum Aufbau der Illusion von Wirklichkeit genutzt, sondern geradezu zur Offenlegung des Illusionären, beziehungsweise einer Realität hinter dem Augenscheinlichen. Etliche Künstler machen dabei vor allem Gebrauch von Effekten, die auf dem Verlust der Tiefeninformation bei der Zentralprojektion beruhen. Bruno Ernst, "Der Zauberspiegel des M.C. Escher", Köln 1994 Keine MuPAD-Grundkenntnisse erforderlich Für den Umgang mit dem in der Unterrichtseinheit MuPAD-Notebook (zentralperspektive.mn) müssen keine Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein, da nur fertige MuPAD-Prozeduren genutzt werden. Eine elementare Einführung in die Handhabung des Computeralgebrasystems MuPAD bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Fächerverbindend - Bildende Kunst und Mathematik Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit ist eine von zweien zu dieser Thematik. Sie widmet sich dem Thema eher aus der Sicht der Bildenden Kunst, während die andere mehr auf der Seite des Fachs Mathematik steht (siehe Unterrichtseinheit Abbildung des Raums in die Ebene - Zentralprojektion im Fachportal Mathematik). Die Fähigkeiten zur Interpretation einer zentralperspektivischen Darstellung fallen individuell gleichermaßen unterschiedlich aus wie die Fähigkeiten zur Herstellung einer zentralperspektivischen Zeichnung. Darauf muss der Unterricht sich einrichten. Es sollten einige Grundbegriffe vermittelt werden, damit sprachliche Äußerungen über zentralperspektivische Darstellungen eine Grundlage haben. Darüber hinaus sind aber vor allem die MuPAD-Darstellungen mit ihren manipulativen Möglichkeiten (MuPAD-Notebook "zentralperspektive.mn") dazu gedacht, sich dem Thema eher experimentell zu nähern. Wie weit dann Einsichten gewonnen werden - wie sie im folgenden Text zusammenfassend aufgezählt werden - ist dann Sache der einzelnen Schülerinnen und Schüler. Die Normale zur Projektionsebene durch den Augpunkt heißt Hauptsehstrahl. Der Schnittpunkt des Hauptsehstrahls mit der Projektionsebene heißt Hauptpunkt. Parallelenscharen von Geraden, die parallel zur Projektionsebene verlaufen, werden als Parallelenscharen abgebildet (die Parallelität bleibt erhalten; nicht erhalten bleibt allerdings der Abstand der Parallelen). Alle zur Projektionsebene nicht parallelen Parallelenscharen werden als Geradenbüschel abgebildet. Alle Schnittpunkte solcher Geradenbüschel heißen Fluchtpunkte. Der Schnittpunkt eines Geradenbüschels, das Bild einer zur Projektionsebene normalen Parallelenschar ist, ist der Hauptpunkt. Ist der Hauptpunkt Ursprung eines orthogonalen, dreiachsigen Koordinatensystems und ist die Projektionsebene die xz-Ebene, so heißt die xy-Ebene Horizontalebene. Alle Fluchtpunkte der Bilder von Parallelenscharen, die in zur Horizontalebene parallelen oder orthogonalen Ebenen liegen, liegen auf der Schnittgeraden von Horizontalebene und Projektionsebene (der x-Achse). Diese heißt Horizont. Je kleiner der Betrag des Winkels einer Geraden aus einer solchen Parallelenschar gegen die Projektionsebene ist, um so größer ist der Abstand des zugehörigen Fluchtpunkts vom Hauptpunkt (Grenzfall Parallelität zur Projektionsebene: der Abstand ist unendlich). Bei der Zentralprojektion bleibt die Größe einer Strecke nicht erhalten (es sei denn, sie liegt in der Projektionsebene selbst). Je größer der Abstand einer Strecke zur Projektionsebene (und zum Augpunkt) ist, desto kleiner wird ihre Bildstrecke. Bei Strecken, die parallel zur Projektionsebene liegen, bleiben Teilstreckenverhältnisse erhalten (in Abb. 1 durch die Farbgebung gelb-violett angedeutet). Die MuPAD-Prozedur "ZPszene(Augpunkt,Winkel)" erlaubt uns noch einen Schritt weiter zu gehen: Unter "Winkel" können (durch Komma getrennt) bis zu drei Winkel in Grad angegeben werden. Der zweite aufgezählte Winkel lässt die Szene um die x-Achse rotieren, so dass beobachtet werden kann, was geschieht, wenn man eine Fotokamera schräg nach oben auf Gebäude richtet: Vertikale, in der Wirklichkeit parallele Linien, laufen im Bild nach oben zusammen - die Parallelen im Gegenstandsbereich entfernen sich nach oben von der Projektionsebene, der wiedergegebene Abstand muss also immer kleiner werden. Es entstehen Fluchtpunkte außerhalb der Horizontgerade. Es gibt Ebenen, deren zentralperspektivisches Bild eine Gerade ist (alle Ebenen durch den Augpunkt; das Bild der Horizontalebene ist der Horizont). Es gibt Geraden, deren zentralperspektivisches Bild ein Punkt ist (alle Geraden durch den Augpunkt; das Bild des Sehstrahls ist der Hauptpunkt). Diese Feststellungen sind die Voraussetzung für die Darstellung so genannter "unmöglicher" Objekte (Abb. 2), aber auch für ungewollte Fehler in perspektivischen Darstellungen.